1、2017 年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1若集合 M=x|x22x0，N=x|x|1，则 MN= 2若复数 z 满足 2z+ =32i，其中 i 为虚数单位，则 z= 3若 sin= ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于 4函数 的最小正周期 T= 5函数 f（x）=2 x+m 的反函数为 y=f1（x） ，且 y=f1（x）的图象过点 Q（5，2） ，那么 m= 6点（1，0）到双曲线 的渐近线的距离是 7若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 8从 5 名学生中任选 3 人分别担任语文、数
2、学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9方程 x2+y24tx2ty+3t24=0（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）10若 an 是（2+x） n（nN *，n2，xR）展开式中 x2 项的二项式系数，则 = 11设数列a n是集合x|x=3 s+3t，st 且 s，t N中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a 2=10，a 3=12，a 4=28，a 5=30，a 6=36，将数列a n中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则 a15 的值为 12曲线 C 是平面内到直线 l1：x=1
3、 和直线 l2：y=1 的距离之积等于常数 k2（k0）的点的轨迹，下列四个结论：曲线 C 过点（ 1，1） ；曲线 C 关于点（ 1，1）成中心对称；若点 P 在曲线 C 上，点 A、B 分别在直线 l1、l 2 上，则|PA|+|PB |不小于 2k；设 P0 为曲线 C 上任意一点，则点 P0 关于直线 l1：x= 1，点（ 1，1）及直线 f（x）对称的点分别为P1、P 2、P 3，则四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k2；其中，所有正确结论的序号是 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13给定空间中的直线 l 与平面 ，则“直线 l 与平面 垂直 ”是“
4、直线 l 垂直于平面 上无数条直线” 的（ ）条件A充分非必要 B必要非充分C充要 D既不充分也不必要14已知 x、yR，且 xy0，则（ ）A BClog 2x+log2y0 Dsinx siny015某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A8 B8 C82 D16已知函数 f（x）= （a 0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0， B ， C ， D ， ） 三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形
5、，PA平面 ABCD，PB、PD 与平面 ABCD 所成的角依次是 和 ，AP=2 ，E 、 F 依次是 PB、PC 的中点；（1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥 PAFD 的体积18已知ABC 中，AC=1 ， ，设BAC=x，记 ；（1）求函数 f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数 f（x）的单调递增区间，并求方程 的解19已知椭圆 C 以原点为中心，左焦点 F 的坐标是（1，0） ，长轴长是短轴长的 倍，直线 l 与椭圆 C 交于点 A 与 B，且 A、B 都在 x 轴上方，满足OFA+OFB=180；（1）求椭圆 C 的标准方程
6、；（2）对于动直线 l，是否存在一个定点，无论 OFA 如何变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由20已知函数 g（x）=ax 22ax+1+b（a0）在区间2，3上的最大值为 4，最小值为 1，记 f（x）=g（|x|） ，xR；（1）求实数 a、b 的值；（2）若不等式 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的范围；（3）对于定义在p，q上的函数 m（x） ，设 x0=p，x n=q，用任意 xi（i=1，2，n1）将p，q划分成 n个小区间，其中 xi1x ix i+1，若存在一个常数 M0，使得不等式|m（x 0） m（x 1）|+|m（x 1） m（
7、x 2）|+|m（x n1） m（x n）|M 恒成立，则称函数 m（x）为在 p，q上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在1，3上的有界变差函数，并求出 M 的最小值21数列b n的前 n 项和为 Sn，且对任意正整数 n，都有 ；（1）试证明数列b n是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列a n共有 2017 项，其首项与公比均为 2，在数列a n的每相邻两项 ai 与 ai+1 之间插入 i个（1） ibi（iN *）后，得到一个新数列c n，求数列c n中所有项的和；（3）如果存在 nN*，使不等式 成立，若存在，求实数 的范围，若不存在，请说明理由2017 年上海市金山区高
8、考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1若集合 M=x|x22x0，N=x|x|1，则 MN= （1，2） 【考点】交集及其运算【分析】解 x22x0 可得集合 M=x|0x2，解|x|1 可得集合 N，由交集的定义，分析可得答案【解答】解：x 22x00x 2，则集合 M=x|0x2=（0，2）|x|1x1 或 x1，则集合 N=x|1x1=（，1）（1，+） ，则 MN=（1，2） ，故答案为：（1，2）2若复数 z 满足 2z+ =32i，其中 i 为虚数单位，则 z= 1 2i 【考点】复数代数形式的
9、加减运算【分析】设复数 z=a+bi， （a、b 是实数） ，则 =abi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得 a、b 的值，从而得到复数 z 的值【解答】解：设 z=a+bi， （a、b 是实数） ，则 =abi，2z+ =32i，2a+2bi+abi=32i，3a=3，b= 2，解得 a=1，b= 2，则 z=12i故答案为：12i3若 sin= ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于 【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos，进而可求 tan 的值【解答】解：sin= ，且 为第四象限角，cos= = = ，tan= = = 故答案为：
10、 4函数 的最小正周期 T= 【考点】二阶行列式与逆矩阵；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法【分析】利用行列式的计算方法化简 f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出 的值，即可求出最小正周期【解答】解：f（x）=cos 2xsin2x=cos2x，=2 ，T=故答案为：5函数 f（x）=2 x+m 的反函数为 y=f1（x） ，且 y=f1（x）的图象过点 Q（5，2） ，那么 m= 1 【考点】反函数【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于 y=x 对称，利用对称关系可得答案【解答】解：f（x）=2 x+m 的反函数 y=f1（x） ，
11、函数 y=f1（ x）的图象经过 Q（5，2） ，原函数与反函数的图象关于 y=x 对称，f（x）=2 x+m 的图象经过 Q（2，5） ，即 4+m=5，解得：m=1故答案为：16点（1，0）到双曲线 的渐近线的距离是 【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：双曲线 的一条渐近线方程为：x+2y=0，点（1，0）到双曲线 的渐近线的距离是： = 故答案为： 7若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 4 【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：作出不等式
12、组对应的平面区域如图：（阴影部分） 设 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（1，2） ，代入目标函数 z=2x+y 得 z=12+2=4即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4故答案为：48从 5 名学生中任选 3 人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有 48 种不同的选法（结果用数值表示） 【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表【解答】解：先从除了甲之外的 4 人选 1 人
13、为数学课代表，再从包含甲在内的 4 人中选 2 人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有 A41A42=48 种，故学生甲不能担任数学课代表，共有 48 种不同的选法故答案为 489方程 x2+y24tx2ty+3t24=0（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 x2y=0 （结果化为普通方程）【考点】轨迹方程【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令 x=2t，y=t ，消去 t 即可得到 y 与 x 的解析式【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x2t ） 2+（yt ） 2=t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为 ，所以消去 t 可得 x=2y，即 x2y=0故答案为：x2y
14、=010若 an 是（2+x） n（nN *，n2，xR）展开式中 x2 项的二项式系数，则 = 2 【考点】数列的极限；二项式定理的应用【分析】 （2+x） n（其中 n=2，3，4，）的展开式，T r+1，令 r=2，可得 an，再利用求和公式化简，利用数列的极限即可得出【解答】解：（2+x） n（其中 n=2，3，4，）的展开式，T r+1= ，令 r=2，可得：T3=2n2 x2a n 是二项式（2+x） n（其中 n=2，3，4，）的展开式中 x 的二项式系数，a n= = 则 = 2 = =2故答案为：211设数列a n是集合x|x=3 s+3t，st 且 s，t N中所有的数从小
15、到大排列成的数列，即a1=4，a 2=10，a 3=12，a 4=28，a 5=30，a 6=36，将数列a n中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则 a15 的值为 324 【考点】归纳推理【分析】如果用（t，s）表示 3s+3t，则 4=（0，1）=3 0+31，10=（0，2）=3 0+32，12=（1，2）=31+32，利用归纳推理即可得出【解答】解：如果用（t，s）表示 3s+3t，则 4=（0，1）=3 0+31，10=（0，2）=3 0+32，12=（1，2）=3 1+32，28=（0，3）=3 0+33，30=（1，3）=3 1+33，36=（2，3
16、）=3 2+33，利用归纳推理即可得：a 15=（4，5） ，则 a15=34+35=324故答案为：32412曲线 C 是平面内到直线 l1：x=1 和直线 l2：y=1 的距离之积等于常数 k2（k0）的点的轨迹，下列四个结论：曲线 C 过点（ 1，1） ；曲线 C 关于点（ 1，1）成中心对称；若点 P 在曲线 C 上，点 A、B 分别在直线 l1、l 2 上，则|PA|+|PB |不小于 2k；设 P0 为曲线 C 上任意一点，则点 P0 关于直线 l1：x= 1，点（ 1，1）及直线 f（x）对称的点分别为P1、P 2、P 3，则四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k2；其中，
17、所有正确结论的序号是 【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题意曲线 C 是平面内到直线 l1：x=1 和直线 l2：y=1 的距离之积等于常数 k2（k0）的点的轨迹利用直接法，设动点坐标为（x，y） ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y） ，则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1|y1|=k 2，对于，将（1，1）代入验证，此方程不过此点，所以 错；对于，把方程中的 x 被2 x 代换，y 被 2y 代换，方程不变，故此曲线关于（1，1）对称所以正确；对于，由题意知点 P 在曲线 C 上，点 A，B 分别在直线 l1，l 2 上
18、，则|PA|x+1|，|PB |y1|PA|+|PB|2 =2k，所以正确；对于，由题意知点 P 在曲线 C 上，根据对称性，则四边形 P0P1P2P3 的面积=2|x+1|2|y1|=4|x+1|y1|=4k 2所以正确故答案为：二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13给定空间中的直线 l 与平面 ，则“直线 l 与平面 垂直 ”是“直线 l 垂直于平面 上无数条直线” 的（ ）条件A充分非必要 B必要非充分C充要 D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：若：直线 l 与平面 垂直”，则“直线 l 垂
19、直于平面 上无数条直线”，是充分条件；若直线 l 垂直于平面 上无数条直线，则直线 l 与平面 不一定垂直，不是必要条件，故选：A14已知 x、yR，且 xy0，则（ ）A BClog 2x+log2y0 Dsinx siny0【考点】不等式比较大小【分析】根据不等式的性质判断 A，根据特殊值，判断 C，D，根据指数函数的性质判断 B【解答】解：因为 xy0，所以 ，故 A 错误，因为 y=（ ） x 为减函数，故 B 正确，因为当 1xy0 时，log 2x+log2y=log2xy0，故 C 错误，因为当 x=，y= 时，sinxsiny 0，故 D 错误，故选：B15某几何体的三视图如图
20、所示，则它的体积为（ ）A8 B8 C82 D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为 2，圆锥的底面半径为 1，高为 2，则正方体的体积为 V1=23=8，圆锥的体积为 V2= 122= ，则该几何体的体积为 V=8 ，故选 A16已知函数 f（x）= （a 0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0， B ， C ， D ，
21、） 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1 在0，+）递减，则 0a1，函数 f（x）在 R 上单调递减，则：；解得， ；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2 x 有且仅有一个解，故在（，0）上， |f（x）|=2x 同样有且仅有一个解，当 3a2 即 a 时，联立|x 2+（4a 3）x+3a|=2x，则=（4a 2） 24（3a2）=0 ，解得 a= 或 1（舍去） ，当 13a2 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为 ， ，故选：C三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PB、PD 与平面 ABCD 所成的角依次是 和 ，AP=2 ，E 、 F 依次是 PB、PC 的中点；（1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥 PAFD 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
