1、主要内容,二次型的概念,化二次型为标准型,二次型及其标准形,合同矩阵,于是 (2) 式可写成,二、二次型的概念,定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式,f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 + + annxn2 +,2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn (2),为二次型.,取 aij = aji , 则,2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,f(x1 , x2 , , xn) = a11x12 + a12x1x2 + + a1nx1xn +a21x2x1 + a22x22 + + a2nx2xn
2、+ +an1 xnx1 + an2xnx2 + + annxn2,若记 A = (aij)nn , x = (x1 , x2 , , xn)T , 则,关系.,(2) 式所表示的二次型可以表示成,其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩,阵.,称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩.,这样,实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的,例 1 已知二次型,写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.,显然，二次型的秩为,解 设 f = xTAx , 则,例 2 已知二次型,写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.,解 设 f = xTAx, 则,定义 2 如果一个二次型只含变
3、量的平方项，,则称这个二次型为标准形.,如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中,取值，则称之为规范形.,的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.,二次型的秩的意义：,一个二次型,合同矩阵,定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆,矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 可逆矩阵C称为合同变化矩阵.,对于二次型，我们讨论的主要问题是:,寻求,可逆的线性变换 x = Cy，使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形，就是要使,三、化二次型为标准型,也就是要使 CTAC 成为对角矩阵,即CTAC =.,由P155的,结论应用于二次型, 同样存在定理：,有
4、正交矩阵 Q , 使 Q-1AQ = , 即 QTAQ = .,把此,知, 任给实对称矩阵 A , 总,定理 1,总有正交变换 x = Cy , 使 f 化为标准形,其中1 , 2 , , n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值.,f = 1y12 + 2 y22 + + nyn2 ,推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.,任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:,1. 写出二次型 f 的矩阵 A .,2. 求出矩阵 A 的所有特征值: 1, 2, ,
5、n.,3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础解系, 并正交、单位化得: P1, P2, ,Pn.,4. 得正交矩阵:C= (P1, P2, ,Pn).,5. 正交变换 x = Cy 将 f 化为标准形:,例1 求一个正交变换 x = Cy, 将二次型 f 化为标准形.,解,f 的矩阵为:,A的特征值为:,对 1= 4,对 2 = 3= 5,正交化得：,单位化得：,得正交矩阵: C= (P1, P2, P3),故正交变换 将 f 化为标准形:,使得 C-1AC = =,说明:,则可逆变换 (其中 P=CK ),将 f 化为规范形:,解,f 的矩阵为:,由 f 的标准形可知A的特征值
6、为:,对 1=1,对 2 = 0,对 3 = 4,故所求正交阵为 P = (P1, P2, P3),另一种方法：配方法,若二次型含有 xi 的平方项, 则先把含有 xi 的乘积项 先集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止.,例3 用配方法化二次型为标准形, 并求所用变换矩阵.,解,可将 f 化为标准形:,所用变换矩阵为,惯性定理,主要内容,正定二次型的定义,正定二次型,正定二次型的条件,二次型的标准形不是唯一的,只是标准形中系数不为零的平方项数的个数是唯一的(即是二次型的秩).其中正系数的个数也是唯一的(从而负系数的个数也唯一)。,二次型的标准形中正系数的个数称为二次
7、,型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性,指数.,若二次型 f 的秩为 r ,正惯性指数为 p，,则负惯性指数为r-p.,中正数的个数相等.,定理 1 设有实二次型 f = xTAx, 它的秩为,r , 有两个可逆变换,x = Cy 及 x = Pz,使 f = k1y12 + k2y22 + + kryr2 (ki 0),及 f = l1z12 + l2z22 + + lrzr2 (li 0),则 k1 , k2 , , kr 中正数的个数与 l1 , l2 , , lr,一、惯性定理,这个定理称为惯性定理.,定义 1 二次型 f(x) = xTAx, 如果,二次型, 并称对称矩阵 A 是负
8、定的.,如果对任何 x 0 都有 f(x) 0, 则称 f 为负定,为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的;,对任 x 0, 都有 f(x) 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f,二、正定二次型的定义,定理 2 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的充,它的标准形的 n 个系数全为正，即它,三、正定二次型的条件,推论 对称矩阵 A 为正定的充要条件是,A 的特征值全为正.,的规范形的 n 个系数全为 1.,要条件是,定理 3 对称矩阵 A 为正定的充要条件是,对称矩阵 A 为负定的充要条件是， 奇数阶主子式,A 的各阶主子式都为正, 即,为负, 而偶数阶主子式为正。,例 1 判定下列二次型的正定性.,不是,是,
