1、 12017 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 I考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含非选择题（第 1 题 第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需改动，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线
2、条、符号等须加黑、加粗。一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。1 （5 分）已知集合 A=1，2，B=a，a 2+3若 AB=1，则实数 a 的值为 2 （5 分）已知复数 z=（1+i） （1+2i） ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 3 （5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件4 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是 16（第 4 题） （第 6 题） （第
3、 12 题）5 （5 分）若 tan（ ）= 则 tan= 6126 （5 分）如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 17 （5 分）记函数 f（x ）= 定义域为 D在区间4，5上随机取一个数 x，则6xxD 的概率是 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别132y交于点 P，Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是 9 （5 分）等比数列a n的各项均为实数，其前 n 项为 Sn，已知 S3= ，S 6= ，则 a8= 4
4、710 （5 分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 11 （5 分）已知函数 ，其中 e 是自然对数的底数若xexf12)(30则实数 a 的取值范围是 2()1(aff12 （5 分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ，OABC2与 的夹角为 ，且 tan=7， 与 的夹角为 45若OAC=m +n （m，nR） ，则 m+n= B13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A （12，0） ，B（ 0，6） ，点 P 在圆 O：x 2+y2
5、=50上若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是 PA14 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，其中集合 ，则方程 的解的Df,)(2 *,|Nnx 0lg)(xf个数是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。15 （14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，AB AD，BCBD ，平面 ABD平面 BCD，点E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：3（1）EF 平面 ABC；（2）ADAC16 （14 分）已知向量 =（cosx，sinx ） ， =（3， ） ，x 0， ab（1）若 ，求 x 的值；a
6、b（2）记 f（x） = ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： （ab0）的左、12yx右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 P 在椭圆 E 上，且位于第1一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标18 （16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为432cm，容器的底面对角线 AC 的长为 cm，容器的两底面对角
7、线 EG，E 1G1 的长710分别为 14cm 和 62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没入水中部分的长度19 （16 分）对于给定的正整数 k，若数列a n满足：5ank+ank+1+an1+an+1+an+k1+an+k=2kan对任意正整数 n（nk ）总成立，则称数列a n是“P（k ）数列” （1）证明
8、：等差数列a n是“P（3）数列” ；（2）若数列a n既是“P（2）数列” ，又是“P（3）数列 ”，证明：a n是等差数列20 （16 分）已知函数 （a0，b R）有极值，且导函数 ，1)(23xxf f的极值点是 f（x）的零点 （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）)(x（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 23a；（3）若 ， ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围f)(xf)( 2762017 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 II（附加题）考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 2 页，均为非选
9、择题（第 21 题 第 23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需改动，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。三、附加题：本大题共 3 小题，共计 40 分。21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答
10、题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A 【选修 4-1：几何证明选讲】 （10 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C，APPC，P 为垂足求证：（1）PAC =CAB；（2）AC 2 =APABB 【选修 4-2：矩阵与变换】 （10 分）7已知矩阵 A= ，B= 012 （1）求 AB；（2）若曲线 C1： 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2 的方128yx程C 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，
11、曲线 C 的参28yx数方程为 （s 为参数） 设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小yx2值D 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分）已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c 2+d2=16，证明 ac+bd822 （10 分）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1平面 ABCD，且8AB=AD=2，AA 1= ，BAD=1203（1）求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；（2）求二面角 BA1DA 的正弦值23已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（m ，n N*，n2） ，这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机的
12、逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，3，m+n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（k =1， 2，3，m +n） 1 2 3 m+n（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p；（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是 X 的数学期望，证明 E（X ） )1(nm92017 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考答案与试题解析数学 I一、填空题。1 （5 分）已知集合 A=1，2，B=a，a 2+3若 AB=1，则实数 a 的值为 1 【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 A=1，2 ，B=a，a 2+3AB=1，
13、a=1 或 a2+3=1，解得 a=1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用2 （5 分）已知复数 z=（1+i） （1+2i） ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 10【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：复数 z=（1+i） （1+2i）=12+3i =1+3i，|z|= = 23)1(0故答案为： 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用
14、分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取106的数目10【解答】解：产品总数为 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 辆进行检验，抽样比例为= ，106则应从丙种型号的产品中抽取 300 =18 件106故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取4 （5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是 2 16【分
15、析】直接模拟程序即得结论【解答】解：初始值 x= ，不满足 x1，6y=2+log 2 =2log2 =214故答案为：2【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题5 （5 分）若 tan（ ）= 则 tan= 1.4 461【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：tan（ ）=461tan4tan1t 6tan6=tan+1，解得 tan=1.4故答案为：1.4【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6 （5 分）如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记11圆柱 O1O2 的体积为 V1，
16、球 O 的体积为 V2，则 的值是 1.5 1【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果【解答】解：设球的半径为 R，则球的体积为： R3，4圆柱的体积为：R 22R=2R3则 3421V故答案为： 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力7 （5 分）记函数 f（x ）= 定义域为 D在区间4，5上随机取一个数 x，则26xxD 的概率是 95【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：由 6+xx20 得 x2x60，得2x3，则 D=2，3，则在区间 4，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率 P= = )4
17、(5239故答案为： 95【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别132yx交于点 P，Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是 3【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积12【解答】解：双曲线 的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，132y233所以 P（ ， ） ，Q（ ， ） ，F 1（ 2，0） F 2（ 2，0） 2则四边形 F1PF2Q 的面积是
18、： = 34故答案为： 3【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力9 （5 分）等比数列a n的各项均为实数，其前 n 项为 Sn，已知 S3= ，S 6= ，则 a8= 4732 【分析】设等比数列a n的公比为 q1，S 3= ，S 6= ，可得 ，471)(3qa，联立解出即可得出4631)(q【解答】解：设等比数列a n的公比为 q1，S3= ，S 6= ， ， ，47471)(3a4631)(a解得 a1= ，q=2 ，则 a8= =32724故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）某公司一年购买某
19、种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 30 【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和为 ，利用基本不等式04的性质即可得出13【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 60x42=240（万元） ，x90当且仅当 x=30 时取等号故答案为：30【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11 （5 分）已知函数 ，其中 e 是自然对数的底数若xexf12)(30则实数 a 的取值范围是 ， 2()1(aff 5.0【分析】求出 f
20、（x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（ x）为奇函数，原不等式即为 2a21a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围【解答】解：函数 的导数为：xef12)(3f（ x）=3x 22+ex+ =0，1x可得 f（x）在 R 上递增；又 f（x）+f（x）=（ x） 3+2x+exex+x32x+ex =0，1可得 f（x）为奇函数，则 f（a1）+f（2a 2）0，即有 f（2a 2）f（a 1）=f（1a） ，即有 2a21a，解得1 a 故答案为： 1， 2【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义
21、法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题1412 （5 分）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ，OABC2与 的夹角为 ，且 tan=7， 与 的夹角为 45若OAC=m +n （m，nR） ，则 m+n= 3 B【分析】如图所示，建立直角坐标系A（1，0） 由 与 的夹角为 ，且OACtan=7可得 cos= ，sin= C（ ， ） 可得 cos（ +45）2517517= sin （+45 ）= B（ ， ） 利用 =m +n （m，nR） ，即可得5334B出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0） 由 与 的夹角为 ，且 ta
22、n=7OCcos= ， sin= 257C（ ， ） 1cos（+45 ）= （cos sin）= 253sin（+45 ）= （sin+cos ）= 4B（ ， ） 534 =m +n （m，nR） ，OCA =m n， =0+ n，175解得 n= ，m= 4则 m+n=3故答案为：3【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1513 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A （12，0） ，B（ 0，6） ，点 P 在圆 O：x 2+y2=50上若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ，1 BPA 25【分析】根据题意，设 P（x 0，y 0）
23、 ，由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x0+y0+50，分析可得其表示表示直线 2x+y+50 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案【解答】解：根据题意，设 P（x 0，y 0） ，则有 x02+y02=50，=（12x 0，y 0） （ x0，6y 0）=（12+x 0）x 0y0（6y 0）=12x 0+6y+x02+y0220，PBA化为：12x 0+6y0+300，即 2x0+y0+50，表示直线 2x+y+50 以及直线下方的区域，联立 ，解可得 x0=5 或 x0=1，502结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x0 的取值范围是 ，125
24、故答案为： ，1 2【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y 0 的关系式14 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，其中集合 ，则方程 的解的Df,)(2 *,|Nnx 0lg)(xf个数是 8 【分析】由已知中 f（x ）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0，1）上，其中集合 ，分析 f（x）的图象与 y=lgx 图Dxf,)(2 *,|Nnx象交点的个数，进而可得答案【解答】解：在区间0，1）上， ，Dxf,)(2第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，16又 f（x）是定义在 R 上
25、且周期为 1 的函数，在区间1，2）上， ，此时 f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交Dxf,)()2点；同理：区间2，3）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间3，4）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间4，5）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间5，6）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间6，7）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间7，8）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间8，9）上，f（x ）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间9，+）上，f
26、（x）的图象与 y=lgx 无交点；故 f（x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 的解的个数是 80lg)(故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档二、解答题。15 （14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，AB AD，BCBD ，平面 ABD平面 BCD，点E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：（1）EF 平面 ABC；（2）ADAC17【分析】 （1）利用 ABEF 及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 CD 上点 G，连结 FG、EG 使得 FGBC，则 EGAC，利用线
27、面垂直的性质定理可知 FGAD，结合线面垂直的判定定理可知 AD平面 EFG，从而可得结论【解答】证明：（1）ABAD，EF AD，且 A、B、E、 F 四点共面，ABEF，又 EF平面 ABC，AB 平面 ABC，由线面平行判定定理可知：EF平面 ABC；（2）在线段 CD 上取点 G，连结 FG、EG 使得 FGBC，则 EGAC，BCBD，FGBC，又 平面 ABD平面 BCD，FG平面 ABD，FGAD，又 ADEF，且 EFFG=F，AD平面 EFG，ADEG，故 ADAC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及
28、判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题16 （14 分）已知向量 =（cosx，sinx ） ， =（3， ） ，x 0， ab（1）若 ，求 x 的值；ab（2）记 f（x） = ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值【分析】 （1）根据向量的平行即可得到 tanx= ，问题得以解决；3（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1） =（cosx，sinx） ， =（3， ） ， ，abab cosx= sinx，3tanx= ，x 0， ，18x= ；65（2）f（x）= = cosx sinx= （ cosx sinx）= cos（ ） ，
29、ba3232136xx 0， ， ， ，67 cos（ ） ，1x23当 时，f（ x）有最大值，最大值 ，0当 时，f（x ）有最小值，最大值 6532【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： （ab0）的左、12yx右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 P 在椭圆 E 上，且位于第1一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1，过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E
30、上，求点 P 的坐标【分析】 （1）由椭圆的离心率公式求得 ，由椭圆的准线方程 ，则ca2cax2，即可求得 和 的值，则 ，即可求得椭圆方程；82caac322b（2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF2 的斜率及直线 PF1 的斜率，则即可求得 l2 及 l1 的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 ，联立即可求得 P 点20xy19坐标【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率 ，则 ，21acec椭圆的准线方程 ，由 ，cax282c由解得： ， ，1则 ，322ab椭圆的标准方程： ；142yx（2）设 P（x 0，y 0） ，则直线 PF2 的斜率 ，102x
31、ykPF则直线 l2 的斜率 ，直线 l2 的方程 ，021xk)(0y直线 PF1 的斜率 ，01xyPF则直线 l1 的斜率 ，直线 l1 的方程 ，01yk)1(0xy联立 ，解得： ，则 Q（ ， ） ，)1(00xy02yx0x2yP 、 Q 两点关于 y 轴对称，则 ，则 ，021120x ，解得： ，13420xy7340yx又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：P（ ， ） 743【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查20数形结合思想，考查计算能力，属于中档题18 （16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均
32、为32cm，容器的底面对角线 AC 的长为 cm，容器的两底面对角线 EG，E 1G1 的长710分别为 14cm 和 62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没入水中部分的长度【分析】 （1）设玻璃棒在 CC1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作 NPMC，交 AC 于点 P，推导出 CC1平面 AB
33、CD，CC 1AC，NPAC，求出 MC=30cm，推导出ANPAMC，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度；（2）设玻璃棒在 GG1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NPEG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQE1G1，交 E1G1 于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E 1E=40cm，由正弦定理求出 sinGEM= ，由此能求出玻璃棒 l 没入水中部分的长度【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 ACM 中，过 N 作 NPMC，交 AC 于点 P，ABCDA1B1C1D1 为正四棱柱，
34、CC 1平面 ABCD，又 AC平面 ABCD，CC 1AC，NP AC，NP=12cm，且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm，NPMC， ANPAMC，21 ， ，得 AN=16cm，MCNPA30124玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm；（2）设玻璃棒在 GG1 上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 E1EGG1 中，过点 N 作 NPEG，交 EG 于点 P，过点 E 作 EQE1G1，交 E1G1 于点 Q，EFGHE1F1G1H1 为正四棱台，EE 1=GG1，EGE 1G1，EGE 1G1，EE1G1G 为等腰梯形，画出平面 E1EGG1 的平面图，E
35、1G1=62cm，EG=14 cm，EQ=32cm ，NP=12cm ，E1Q=24cm，由勾股定理得：E 1E=40cm，sinEE1G1= ，sinEGM =sinEE1G1= ，cos EGM= ，545453根据正弦定理得： ，sinEMG= ，cosEMG= ，EMsinsin27254sinGEM=sin（EGM +EMG）=sin EGMcosEMG+cosEGMsinEMG= ，3EN= =20cm，GEMNPsi玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm【点评】本题考查玻璃棒 l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运
36、算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题19 （16 分）对于给定的正整数 k，若数列a n满足：ank+ank+1+an1+an+1+an+k1+an+k=2kan对任意正整数 n（nk ）总成立，则称数列a n是22“P（k ）数列” （1）证明：等差数列a n是“P（3）数列” ；（2）若数列a n既是“P（2）数列” ，又是“P（3）数列 ”，证明：a n是等差数列【分析】 （1）由题意可知根据等差数列的性质，a n3+an2+an1+an+1+an+2+an+3=（a n3+an+3）+（a n2+an+2）+（a n1+an+1）23 an，根据“P（k
37、）数列” 的定义，可得数列 an是“P（3）数列” ；（2）由“P（k ）数列”的定义，则an2+an1+an+1+an+2=4an，a n3+an2+an1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得 2an=an1+an+1，即可证明数列a n是等差数列【解答】解：（1）证明：设等差数列a n首项为 a1，公差为 d，则 an=a1+（n1）d，则 an3+an2+an1+an+1+an+2+an+3，=（a n3+an+3）+（a n2+an+2）+（a n1+an+1） ，=2an+2an+2an，=23an，等差数列 an是“P（3）数列” ；（2）证明：由数列a n是“
38、P（2）数列”则 an2+an1+an+1+an+2=4an，数列a n是“P（3）数列”a n3+an2+an1+an+1+an+2+an+3=6an，由可知： an3+an2+an+an+1=4an1，an1+an+an+2+an+3=4an+1，由（+ ）：2a n=6an4an14an+1，整理得：2a n=an1+an+1，数列 an是等差数列【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题2320 （16 分）已知函数 （a0，b R）有极值，且导函数 ，1)(23xxf f的极值点是 f（x）的零点 （极值点是指函数取极值时对应的自
39、变量的值）)(x（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 23a；（3）若 ， ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围f)(xf)( 27【分析】 （1）通过对 求导可知 g（x）= ， =3x2+2ax+b，进而123bxaf)(再求导可知 ， =6x+2a，通过令 ， =0 进而可知 ， 的极小值点为 x= ，从g)(g)( 3a而 ，整理可知 （a0） ，结合 （a0，b0)3(af b3921)(23xfR）有极值可知 ， =0 有两个不等的实根，进而可知 a3；f)(x（2）通过（1）构造函数 ，242 8195813)(abah)27(4
40、(33a结合 a3 可知 h（a）0，从而可得结论；（3）通过（1）可知 ， 的极小值为 ， = ，利用韦达定理及完全平方关f)(xf)3(a2b系可知 的两个极值之和为 ，进而问题转化为解不等式)(fy274332ab ，因式分解即得结论2374ab92【解答】 （1）解： ，1)(23bxaxfg（x）= ， =3x2+2ax+b， ， =6x+2a，fg)(令 ， =0，解得 x= )(3由于当 x 时 ， 0，g（x）= ， 单调递增；a)(f)(x当 x 时 ， 0，g（x）= ， 单调递减；3 ， 的极小值点为 x= ，f)(3a24由于导函数 ， 的极值点是原函数 f（x）的零点
41、，f)(x ，即 （a0） 0)3(afb392 （a0，b R）有极值，12xxf ， =3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根，)(4a 212b0，即 0，解得 a3，a932 （a3） ；9（2）证明：由（1）可知 ，242 8193581)( aabh)27(4(33a由于 a3，所以 h（a）0，即 b23a；（3）解：由（1）可知 ， 的极小值为 ， = ，f)(xf)3(2b设 x1，x 2 是 的两个极值点，则 ， ，)(fy21ax321x )()()( 21321bxaf )() 2121221 xxxx，374ab又 ， ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，)(xf
42、f)( 27 ，32ab274b932a7a3，所以 ，54630 ，)(9)(2a ，12由于 a3 时， ，025 ，解得 ，6a0a6a 的取值范围是 ， 3(【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题数学 II（附加题）三、附加题。21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两小题作答。若多做，则按作答的前两小题评分。A 【选修 4-1：几何证明选讲】 （10 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C，APPC，P 为垂足求证：（1）PAC =CAB；（2）AC 2 =APA
43、B【分析】 （1）利用弦切角定理可得：ACP =ABC利用圆的性质可得 ACB=90再利用三角形内角和定理即可证明；（2）由（1）可得：APCACB，即可证明【解答】证明：（1）直线 PC 切半圆 O 于点 C，ACP=ABCAB 为半圆 O 的直径，ACB=90APPC， APC=90PAC=90ACP，CAB=90 ABC，PAC=CAB；（2）由（1）可得：APCACB， ACPBAC2 =APAB【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题26B 【选修 4-2：矩阵与变换】 （10 分）已知矩阵 A= ，B
44、= 01 2 （1）求 AB；（2）若曲线 C1： 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2 的方128yx程【分析】 （1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 C1 的方程化简即可【解答】解：（1）AB= ；0201 （2）设点 P（x ，y ）为曲线 C1 的任意一点，点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P（x 0，y 0） ，则 ，即 x0=2y，y 0=x，y201 x=y0，y= ， ，即 x02+y02=8，182曲线 C2 的方程为 x2+y2=8【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题C 【选修 4-4：坐标系与参数方程】
45、 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参28yx数方程为 （s 为参数） 设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小yx2值【分析】求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s 的函数，27从而得出最短距离【解答】解：直线 l 的直角坐标方程为 x2y+8=0，P 到直线 l 的距离 ，54)(5|842|2ssd当 时， d 取得最小值 2s【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题D 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分）已知 a，b，c，d 为实数，且 a2+b2=4，c 2+d2=16，证明 ac+bd8【分析】a 2+b2=4，c 2+d2=16，令 a=2cos，b=2sin，c=4cos ，d=4sin 代入 ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明【解答】证明：a 2+b2=4，c 2+d2=16，令 a=2cos，b=2sin ，c =4cos，d=4sinac+bd=8（coscos+sin sin）=8co
