1、水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 第 17 讲 数项级数 (一 ) 级数的概念与性质 (二 ) 正项级数的判敛问题 (三 ) 任意项级数的判敛问题 (四 ) 综合例题 级数内容提要 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是数与函数的一种重要表示形式，也是研究函数的一种重要方法。级数问题的基础是极限理论。数项级数、幂级数、傅里叶级数是我们研究的三种基本级数。为了掌握好数项级数的有关内容，必须理解数项级数的有关概念，熟练掌握级数运算的记号，掌握并运用收敛级数的基本性质及常见的判别法（比较、比值
2、、根式、莱布尼兹、绝对值），做到正确判断正项级数、交错级数及任意项级数的敛散性。 171 数项级数基本概念 171 1 定义与符号运算 定义 17.1： 设 是一个数列，则称表达式 nuLL+=3211uuuunn为一个数项级数，简称级数，其中 称为数项级数的通项（或一般项） 。 nu=nkknuS1称为数项级数的前 项部分和。 n级数的部分和记号 与级数一般项 的运算关系是 =nkknuS1nu11 +=nnnuSS ， =nu1nnSS 定义 17.2： 若级数 的部分和数列=1nnu nS 有极限，则称级数 收敛， 极限值=1nnu SSnn=lim称为此级数的和 ；当 不存在时, 则称
3、级数 发散。 nnSlim=1nnu根据级数收敛的定义，其和为 。 SSuunnknknnn= 11limlim例 17.1 几何级数(等比级数-尺度1) +=1121nnnaxaxaxaaxLL (a 0, x R ) . 【解】 显然有, xxaSnn=1)1(, L,2,1=n . 刘坤林 谭泽光 编 1水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 当 | 时, =x nu=1nnu17.2.1 正项级数基本属性 刘坤林 谭泽光 编 4水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-
4、62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 正项级数的基本属性是：部分和数列=1nnu nS 为单增数列。由此属性，构成下述几个正项级数判敛法的理论基础。 定理 17.1（正项级数收敛的充要条件） 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列=1nnu nS有上界。 例 17.6 讨论 p 级数=11npn的收敛性（尺度 2）。 【证】由pn1的单调性与积分估值定理得到 +nnppnnpdxxndxx11111， 所以 =+ mpmnnnpmnpmnnnpmpdxxdxxndxxdxx1212211211111， 故当 时，部分和有界，级数收敛；而当 1p 1p
5、 时，部分和无界，级数发散。 17.2.2正项级数的判敛法 (1) 定理 17.3 （直接比较法） 若存在 ，使得当 时，有0N Nn nnvu 0 ，则 （1 ） 当级数 收敛时，级数 收敛； =1nnv=1nnu（2 ） 当级数 发散时，级数 发散。 =1nnu=1nnv【证】只证（1 ）设级数 收敛，则部分和 有界，即存在 与 ，使当时 且 ，因此 ，即=1nnv=nkknvS1NN 10MNn MSnA则 0 ， ，使当 时有 0N Nn +=A ，则232AbaAnnp=1nnu（2 ） 当 +p 0nupn1高阶或同价无穷小量，则 收敛；当 时，若 是=1nnu 1p 0nupn1
6、低阶或同价无穷小量，则 发散。也就是说，当 时，级数 的敛散性可以由无穷小量=1nnu0nu=1nnu )( nun的阶来判断。 例 17.7 设 1)1(lim,0,01=nnpnnaenpa 且 ，若级数 收敛，则=1nna p 的取值范围是),2( + 。 【解】 1limlim)1(lim11=pnnnpnnnpnnananaen ，因级数 收敛，由比阶法， =1nna则级数 =111npn收敛，于是得到 。 2p刘坤林 谭泽光 编 6水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 注： 比阶判
7、敛法是讨论正项级数敛散性的常用方法，本题主要考查比阶判敛法及等价无穷小量等有关内容。 例 17.8 设 在 上单调增加且有界，求证级数 收敛。 )(xf ),0 +=11nnndxxfnf )()(【证】由 在 )(xf ),0 + 上单调增加有界，则 可积，且有 )(xf)()()( nfdxxfnfnn11 ，或 ， )()()(11nfdxxfnfnn于是 0 ，所以为正项级数。 )()()()1nfnfdxxfnfnn=11nnndxxfnf )()(再注意到 ， )0()()1()(1fnfkfkfSnkn=且由于 在 单调增加且有界，所以极限 存在，由此得到 )(xf ),0 +x
8、xf )(lim极限 存在，即级数 收敛， )0()(limlim fnfSnnn=11nnfnf )()(由正项级数比较判定准则，级数收敛。 =11nnndxxfnf )()(3) 定理 17.5 （自我比较法 比率判敛法） 设 ，且 0nu =+nnn uu1lim ，则 （1 ）当 1 时，级数 发散，且=1nnu +=nnulim ； （3 ）当 1= 时，级数 的敛散性无法判断。 =1nnu【证】只证（1 ）。 1lim1 ， 0N ，使当 时有 Nn += ，则 1211nu =nnnulim ，则 （1 ）当 1 时，级数 发散，且=1nnu +=nnulim ； （3 ）当 1
9、= 时，级数 的敛散性无法判断。 =1nnu与比值判敛法类似，根值判敛法也可以与绝对值判敛法结合在一起判断任意项级数的敛散性和求幂级数的收敛半径。 (5) 定理 17.7 （积分判敛法） 设 ，则级数收敛的充分必要条件是存在 ，使得广义积分 收敛。 0)( nf=1)(nnf 1N+Ndxxf )(典型例题是：级数=1ln1nnn发散，因为+= 22)ln(lnln1xdxxx发散。 例 17.9 判断 =+12)1(2nnn的收敛性。 【解】 1212)1(2lim nnvunnnnvvuu11 + ，证明：若级数 收敛，则级数 收敛。 =1nnv =1nnu【证】因为 ，且0,0 nnvu
10、nnnnvvuu11 + ，所以nnnnvuvu+11， 从而 111111vuvuvuvunnnnnn+L， 故 nnvvuu110 nu =11)1(nnnu对于交错级数，我们有下述常用的判敛法。 定理 17.8（莱布尼兹判敛法） 若 ),3,2,1(0L= nun满足： （1 ）数列 单减，即nu ),3,2,1(1L=+nuunn； （ 2） 0lim =nnu ， 则交错级数 收敛，且 =11)1(nnnunnnkkknnnnnuuuRuu =+111111)1()1( 。 定理 8.7 中的两个条件也称为莱布尼兹条件。莱布尼兹判敛法不仅给出了交错级数的收敛性结论，而且还给出了用部分
11、和近似级数和时的误差限，这是一般判敛法做不到的。 例 17 12 设数列 na 非负单减，且级数 发散，证明级数=1)1(nnna=+1)1(1nnna收敛。 刘坤林 谭泽光 编 9水木艾迪 www.etsinghua.org 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 【证】因为数列 非负（有下界）单减，所以极限 存在，记 ， nannalim Aann=lim由极限的保序性，则 。 0A由于交错级数发散, 根据莱布尼兹判敛法, 通项极限=1)1(nnna 0A ，故 。 0A再由极限的性质，存在 ，使得当 时，有 0N Nn 02Aan，
12、故当 时，有 NnnnnAa)21(1)1(10+MMf )( ，于是 ()221Mxxf 。 令nx1= ， =1212nnM收敛，由比较法，所以 级数=11nnf 绝对收敛。 【解2 】 用极限比较法：211nnfn)(limCfxxfxxfxx=)0(212)(lim)(lim020（常数）。 例 17 14 设 为常数, 则级数a( )=121sinn nnna( C ) (A)绝对收敛； （B）条件收敛； (C）发散； （D）敛散性与 取值有关。 a【解 】 利用级数运算法则，=12)sin(nnna收敛（绝对收敛），=11n n发散，因此原级数发散。 例 17 15 判断级数 +=
13、111ln1nnn的收敛性。 【解1 】因为 011ln1+nn，且 1111lnlim =+nnn， 所以+nn11ln1与nn1在 n 时是等价无穷小量。 而 p 级数=11n nn收敛，根据比阶判敛法知级数= +11ln1nnnn收敛。 【解2 】因为nn111ln0 nu!)1()!1(limlim111nannnauunnnnnnnn+=+ eanann=+=)11(lim ， 根据比率法，当 ea 时，由 +=nnulim ，得知该级数发散。当 ea = 时，因为数列nn)11( + 单调递增趋于 ，所以 e 1)11(1+=+nnnneuu， 即 ，故 ，于是当nnuu +10l
14、im nnu ea = 时，该级数发散。 当 时，原级数显然收敛。 0=a例 17 18 设正项级数 收敛，则D 。 =1nnu(A) 极限nnnuu1lim+小于 1。 (B) 极限nnnuu1lim+小于等于 1。 刘坤林 谭泽光 编 12水木艾迪 www.etsinghua.org 电话： 010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 (C) 若极限nnnuu1lim+存在，其值小于 1。(D) 若极限nnnuu1lim+存在，其值小于等于 1。 【解 】本题主要考查正项级数的比率判敛法。由正项级数 收敛并不能保证极限=1nnunnnuu1lim
15、+存在，例如当取 31222)12(1,)2(1=nununn时，级数 收敛，但由于=1nnu +=122limnnn uu，所以极限nnnuu1lim+不存在，故选项(A) ，(B) 错误。 利用 21nun= 时的级数可以排除掉选项(C) 。根据比率判敛法，若极限nnnuu1lim+存在，则当其值大于 1时，级数 发散。因此选项(D) 正确。 =1nnu例 17 19 设级数 绝对收敛，且极限 存在，证明级数 绝对收敛。 =1nnannblim=1nnnba【证 】 因为极限 存在，所以数列 有界，即存在 与 ，使当 时有 nnblim nb 0N 0M Nn Mbn ， 于是 nnnaM
16、ba ，又因为级数 绝对收敛，所以级数=1nna=1nna 收敛，根据比 较判敛法知级数=1nnnba 收敛，即级数 绝对收敛。 =1nnnba例 17 20 设=40tanxdxann，证明对任意的常数 0 ，级数=1nnna收敛。 【证 】令 tx =tan ，则 +=102401tan dtttxdxnn， 所以 111010102+= 时， p 级数=+111nn收敛，根据比较判敛法知级数=1nnna收敛。 例 17 21 若级数 ， 都发散，则C 。 =1nnu=1nnv刘坤林 谭泽光 编 13水木艾迪 www.etsinghua.org 电话： 010-62701055/82378
17、805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 (A) 发散。 (B) 发散。(C) +=1)(nnnvunnnvu=1=+1)(nnnvu 发散。 (D) 发散。 =+122)(nnnvu【解 】选项(A),(B)考查的是收敛级数的加法和乘法运算的反面，只要取nvnunn1,1= 就可以说明选项(A), (B), （ D）错误。选项(C) 考查了级数的收敛与绝对收敛之间的关系，也考查了正项级数收敛的充分必要条件。因为级数和 都发散，所以级数=1nnu=1nnv=1nnu 和=1nnv 也都发散，因而级数=+1)(nnnvu 发散。故选项(C) 正确。 例 17 22 设 )11ln()1
18、(nunn+= ，则级数 )(A 与 都收敛 与 都发散 =1nnu=12nnu )(B=1nnu=12nnu)(C 收敛而 发散 发散而 收敛 =1nnu=12nnu )(D=1nnu=12nnu答案： 。 属于条件收敛的莱布尼茈级数。 )(C=1nnu例 17 23 级数21cos1)1(=nnnb（ 0b ，常数）为 。答案 )(B)(A 条件收敛。 绝对收敛。 )(B)(C 收敛性与 b的取值有关。 发散。 )(D【解 】 22cos1)1(limnbnnn042sin2lim2222=bnbnn， 由正项级数的比阶判别法，该级数绝对收敛收敛。 例 17 24 级数=+1)1(1lnn
19、nnnb（ ，常数）为 。 答案 。 0b )(D)(A 条件收敛 绝对收敛 )(B)(C 收敛性与 b的取值有关 发散 )(D【解 】因为 bnbnnbnnn=+lim)1ln(lim 可知 )1ln(1=+nnb发散， 刘坤林 谭泽光 编 14水木艾迪 www.etsinghua.org 电话： 010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 又=1)1(nnn收敛，所以由运算法则，=+1)1(1lnnnnnb发散。 例 17 25 已知 收敛，则=12nnu=1)1(nnnnu 。答案 。 )(A)(A 绝对收敛。 条件收敛 。 收敛性与 的取值有关。 发散。 )(B )(C b )(D【解 】 答案 。级数)(A=121n n收敛，而 )1(21)1(22nununnn+ , 由正项级数比较法推出该级数绝对收敛。 刘坤林 谭泽光 编 15
