1、(2017 河南) 如图 1, 在 RtABC 中,A=90,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,AD=AE, 连接 DC,点 M,P,N 分别为 DE,DC,BC 的中点. (1)观察猜想 图 1 中,线段 PM 与 PN 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接 MN,BD,CE,判断 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 AD=4,AB=10,请直接写出PMN 面积的最大值.答案详解解:(1) 点 P,N 是 BC,CD 的中点, PNBD，PN=1/2BD, 点 P,
2、M 是 CD,DE 的中点, , , , , , , , , , , , , , 故答案为: , , (2)由旋转知, , , , , , , 同(1)的方法,利用三角形的中位线得, , , , 是等腰三角形, 同(1)的方法得, , , 同(1)的方法得, , , , , , , , 是等腰直角三角形, (3)如图 2, 同(2)的方法得 , 是等腰直角三角形, 最大时, 的面积最大, 且 DE 在顶点 A 上面, 最大 , 连接 AM,AN, 在 中, , , , 在 中, , , , 解析:(1)利用三角形的中位线得出 , ,进而判断出 ,即可得出结论,另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论; (2)先判断出 ,得出 ,同(1)的方法得出 , ,即可得出 ,同(1)的方法即可得出结论; (3)先判断出 MN 最大时 , 的面积最大,进而求出 AN,AM,即可得出 MN 最大,最后用面积公式即可得出结论.
