1、2015-2016 学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1复数 43i 虚部为（ ）A3i B 3 C3i D32用反证法证明命题“设 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A方程 x2+ax+b=0 没有实根B方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根C方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根D方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根3下列三句话按“三段论” 模式排列顺序正确的是（ ）y=cosx（x R）是三角函数；三角
2、函数是周期函数； y=cosx（xR）是周期函数A B C D4在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）A B C D选修 4-1：几何证明选讲5如图，若ACDABC，则下列式子中成立的是（ ）AACAD =ABCD BACBC=ABAD CCD 2=ADDB DAC 2=ADAB选修 4-4：坐标系与参数方程6极坐标方程 2cos2sin=0 表示的曲线是（ ）A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线选修 4-5：不等式选讲7不等式 1 的解集是（ ）A （，1）B （4，+）C （4，2） D （4，1）8以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，两条流程线与“推理与证明
3、”中的思维方法匹配正确的是（ ）A综合法， 分析法 B 分析法，综合法C综合法， 反证法 D分析法，反证法9如图是某同学为求 50 个偶数：2，4，6，100 的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）A BC D选修 4-1：几何证明选讲10如图，PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PO 交圆 O 于 B，C 两点，PA= ，PB=1，则ABC=（ ）A70 B60 C45 D30选修 4-4：坐标系与参数方程11若点 P 为曲线 （ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的最短距离为（ ）A B C D2选修 4-5：不等式选讲12已知
4、函数 f（x ）是 R 上的增函数，A（0， 2） ，B（3，2）是其图象上的两点，记不等式|f（ x+2）| 2 的解集 M，则 RM=（ ）A （2， 1） B （ 1，2）C （，2 1，+ ） D （，12 ，+）13以下判断正确的个数是（ ）相关系数 r，| r|值越小，变量之间的相关性越强命题“存在 xR，x 2+x1 0”的否定是“不存在 xR，x 2+x10”“pq”为真是“ p”为假的必要不充分条件若回归直线的斜率估计值是 1.23，样本点的中心为（4，5） ，则回归直线方程是=1.23x+0.08A4 B2 C3 D114已知 a，b0，a+b=5 ，则 + 的最大值为（
5、）A18 B9 C3 D215设函数 y=f（x）的定义域为 D，若对于任意 x1、x 2D ，当 x1+x2=2a 时，恒有 f（x 1）+f（x 2）=2b，则称点（a，b）为函数 y=f（x）图象的对称中心研究函数 f（x ）= x+sinx3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）A4031 B4031 C 8062 D8062选修 4-1：几何证明选讲16如图，锐角三角形 ABC 中，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 D、E，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ）AcosA BsinA Csin 2A Dcos 2A选修 4-4：坐标系与参数方程1
6、7直线 （t 为参数）被曲线 所截的弦长为（ ）A B C D选修 4-5：不等式选讲18不等式|x+3|x 1|2 a对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，2 B （ ， 22，+） C2，+） DaR二、填空题：（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分）19若复数 z 满足（2 i）z=4+3i（i 为虚数单位） ，则 z=_20具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如下表所示：x 0 1 2 3Y 1 1 m 8若 y 与 x 的回归直线方程为 =3x ，则 m 的值是_21已知 an=logn+1（n+2） （nN *） ，观察下列算式：a1a2=
7、log23log34= =2；a1a2a3a4a5a6=log23log34 = =3；若 a1a2a3am=2016（mN *） ，则 m 的值为_选修 4-1：几何证明选讲22 （几何证明选讲选做题）如图，在矩形 ABCD 中， ，BC=3 ，BE AC ，垂足为 E，则 ED=_选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1 的极坐标方程为 （cos+sin）= 2，曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数） ，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_选修 4-5：不等式选讲24设 a，b，m，nR，且 a2+b
8、2=3，ma +mb=3，则 的最小值为_三、解答题（本大题共 1 小题，共 70 分，解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤）选修 4-1：几何证明选讲25如图所示，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 P，CD=10cm，AP：PB=1：5，求O 的半径选修 4-4：坐标系与参数方程26在极坐标系中，曲线 C： =2acos（a0） ，l：cos （ ）= ，C 与 l 有且只有一个公共点，求 a选修 4-5：不等式选讲27已知函数 f（x ）= + ，求 f（x）的最大值28复数 z=（ 1i）a 23a+2+i（aR ） ，（1）若 z= ，求 |z|；（2）若在复平面内复数 z
9、对应的点在第一象限，求 a 的范围29某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图：（）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；（）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？年级名次是否近视150 9511000近视 41 32不近视 9 18P（K
10、2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005K 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：K 2= 30观察下面的解答过程：已知正实数 a，b 满足 a+b=1，求 + 的最大值解： =a+ ， =b+ ，相加得 + = （ + ）a+b+3=4， + 2 ，等号在 a=b= 时取得，即 + 的最大值为 2 请类比以上解题法，使用综合法证明下题：已知正实数 x，y ，z 满足 x+y+z=3，求 + + 的最大值31某种产品的广告费支出 x 与销售额 y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）求回归直
11、线方程；（2）试预测广告费支出为 10 万元时，销售额多大？（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率（ ，a= b ）选修 4-1：几何证明选讲32如图，AB 是O 的直径， AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交O 于点 D，DEAC，交AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 = ，求 的值选修 4-4：坐标系与参数方程33已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos=0，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（3，0） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直
12、角坐标方程与直线 l 的参数方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点，求|MA |+|MB|选修 4-5：不等式选讲34设 f（x）=|x1| |x+3|（1）解不等式 f（x ）2；（2）若不等式 f（x ）kx+1 在 x 3，1上恒成立，求实数 k 的取值范围参考答案一、选择题1.B 2A 3B 4B5 D6D7D8A 9A10 B 11A 12C 13B14C 15C 16D 17C 18 C二、填空题191+2i 20 4 212 20162 22 23 （2，4） 24三、解答题25解：设 AP=k，PB =5k，CD=10，由相交弦定理得：CPPD =APPB， ，C
13、D=10 ，5 k2=25，解得 k= （舍负） ， = =3 ，O 的半径为 3 cm26解：曲线 C：=2acos （a0） ，即 2=2acos（a 0） ，x 2+y2=2ax，配方可得：C 的直角坐标方程为（x a） 2+y2=a2直线 l：cos （ ）= ，展开为 + = ，可得直角坐标方程：由直线与圆相切可得： ，a0解得：a=127解：由柯西不等式有当且仅当 ，即 x=1 时，等号成立所以，f（x）最大值的是 328解：z=（1 i）a 23a+2+i=a23a+2+（1a 2）i ，（1）由 知，1a 2=0，故 a=1当 a=1 时，z=0；当 a=1 时，z =6（2）
14、由已知得，复数的实部和虚部皆大于 0，即 ，即 ，所以1 a129解：（）设各组的频率为 fi（i=1，2，3，4，5，6） ，由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 27，24，21，18所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人，故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000 =820（）K 2= = 4.1103.841因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系30证明： ， 因为 x+y+z=3，所以 当且仅当等号在 x=y=z=1 时取得即 得最大值为 31解
15、：（1） = = =5， = = =50， = = =6.5，因此，所求回归直线方程为 y=6.5x+17.5.（2）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为 10 万元时，y=6.510+17.5=82.5（万元） ，即这种产品的销售收入大约为 82.5 万元（3）x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 7030.5 43.5 50 56.5 69.5基本事件：（30，40） ， （30，60） ， （30，50） ， （30，70） ， （40，60） ， （40，50） ， （40，70） ，（60，50） ， （60，70） ， （50，70）共 10 个两组数据其预测值与
16、实际值之差的绝对值都超过 5 有（60，50） ，所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为1 = 32 （1）证明：连结 OD，由圆的性质得ODA= OAD=DAC，ODAE，又 AEDE，DEOD，又 OD 为半径，DE 是O 切线（2）解：过 D 作 DHAB 于 H，则有DOH=CAB，cosDOH=cos CAB= = ，设 OD=5x，则 AB=10x，OH=2x，AH=7x，BAC 的平分线 AD 交O 于点 D，DEAC ，DHAB，交 AB 于 H，AEDAHD，AE=AH=7 x，又 ODAE，AEFDOF， = = = = 33解：（1）对于 C：
17、由 =4cos，得 2=4cos， ，x 2+y2=4x，对于 l：有 （2）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2将直线 l 的参数方程带入圆的直角坐标方程 x2+y24x=0，得 ，化简得 ，34解：（1）f（x ）=| x1|x+3|，x3 时，f（x ）= x+1+x+3=42，x 3；3 x1 时，f（x ）= x+1x3=2x22，x 2，3x 2；x1 时，f（x）=x1 x3=4 2，不成立综上，不等式的解集为x| x 2；（2）x 3，1时，f（x）=x+1x 3=2x2，由于不等式 f（x ）kx+1 在 x 3，1上恒成立，2 x2kx +1 在 x3， 1上恒成立，k2g（x）= 2 在 x 3，1上为增函数， 1g（x）1k1
