1、运 动 学,西北工业大学 朱西平 支希哲 侯美丽,点的运动,运 动 学,目录,12用矢量法表示点的速度和加速度,13用直角坐标法表示点的速度和加速度,11确定点的运动的基本方法点的运动方程,14用自然法表示点的速度和加速度,第一章 点的运动, 自然法, 坐标法, 矢量法,第一章 点的运动,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,（1）、定义： 以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方法称为自然法。,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,（2）、运动方程：设动点M 沿已知轨迹曲线运动，在轨迹曲线上任选一定点O作为量取弧长的起点，并规定由原点O向一方量得的弧长取正值，向
2、另一方量得的弧长取负值。这种带有正负值的弧长OM 称为动点的弧坐标，用s表示。点在轨迹上的位置可由弧坐标s完全确定。,1. 自然法,当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数，即,这个方程表示了点M沿已知轨迹的运动规律，称为自然法表示的点M的运动方程。, 自然法,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。,动点M对于所选直角坐标系的位置，可由它的三个坐标x，y，z 决定。当点M 运动时，这些坐标一般地可以表示为时间t 的单值连续函数，即,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,2.坐标法 通常采用直角坐标。,若函
3、数f1， f2 ， f3都是已知的，则动点M 对应于任一瞬间t 的位置即可完全确定。,在运动方程的三个式子中消去t 即得直角坐标形式的轨迹方程。,矢径r 唯一的决定了点M的位置。当点M 运动时，矢径r 是随时间而变的矢量，一般可表示为时间t的单值连续函数,由定点O画到动点M的有向线段OM=r称为动点M的矢径，它的解析式为,这方程称为点M的矢量形式的运动方程。,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,3.矢量法,矢径端点在空间描出的曲线称为矢端图，它就是动点的轨迹。,矢量法确定点的位置比直角坐标法简明，理论推导时常用。, 矢量法,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,矢量法实例,例1-
4、1 椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动。求规尺上任一点M 的轨迹方程。,已知:, 例题1-1,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,例题1-1,运 动 演 示, 例题1-1,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成,消去上式中的角，即得M点的轨迹方程:,解:, 例题1-1,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,轨 迹 演 示, 例题1-1,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,M点的轨迹是什么曲线 ？, 思考题, 例题1-1,1-1 确定点的运动的基本方法点的运
5、动方程,轨 迹 演 示, 例题1-1,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,例1-2 曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且lr，角=t，其中是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动。试求滑块B的运动方程，速度和加速度。, 例题1-2,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,例题1-2,运 动 演 示, 例题1-2,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标,将=t 代入上式得,令= r/l，将上式中的根式展开，有,解:, 例题1-2,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程,略去4以及更高阶项，并利用关系,滑块B的
6、速度和加速度分别为,则,可表示为, 例题1-2,1-1 确定点的运动的基本方法点的运动方程, 位移, 速度, 加速度,1-2 用矢量法表示点的速度和加速度,1-2 用矢量法表示点的速度和加速度,设有一点M沿曲线AB运动，在任一瞬时t，该点之位置可由如下矢径确定,显然，当动点M沿 AB 运动时，r是一变矢量。,1. 位 移,从瞬时 t 到 t +t ，动点位置由M改变到M，其矢径分别为r和r。在时间间隔t内，r 之变化量为,它表示在t时间内动点矢径之改变，称为动点在t时间内的位移。,B,M,O,r0,A,B,M0,M,r,r,由矢导数定义知，动点之速度v的方向沿动点的矢端图（即轨迹曲线）的切线方
7、向，并与此点的运动方向一致。,当t0时，v的极限值称为动点在瞬间t 之速度,比值,表示动点在t时间内的平均速度。,即点的速度等于它之矢径对时间的一阶导数。,M,r,B,O,r0,A,M0,M,r,r,1-2 用矢量法表示点的速度和加速度,2. 速 度,设从某一固定点O画出动点在连续瞬间t0 ，t,t+t、t2.速度矢,在t时间内，速度改变量为 ，比值 称为在t 时间内之平均加速度,连接各速度矢量之端点，可得一曲线，称为速度矢端图，此时可视v为一变矢量。,M,v0,M0,M,M,1-2 用矢量法表示点的速度和加速度,3. 加 速 度,（1）、平均加速度,当t0时， 之极限称为动点在瞬时t 之瞬时
8、加速度。,即动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，或等于它的矢径对时间的二阶导数。其方向沿速度矢端图之切线，并指向速度矢端运动的方向。,a*,v,v,O,v0, 加速度,1-2 用矢量法表示点的速度和加速度,（2）、瞬时加速度,直角坐标法表示点的速度,直角坐标法表示点的加速度,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,由于沿固定轴的单位矢i、j、k不随时间而变,它们对时间的导数都等于零,故得,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,已知动点的直角坐标形式的运动方程,由坐标原点O画出动点的矢径,因而有速度的矢量法表达式,1. 直角坐标法表示点的速度,即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影
9、,分别等于动点的对应坐标对时间的一阶导数。,以vx，vy ，vz ，代表速度v 在固定轴x，y，z上的投影，则有,与前式比较，得, 速 度,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,已知动点速度的投影，可求出速度矢量v的大小和方向余弦。, 速 度,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,把速度v 的表达式对时间t 求导数，可得加速度的矢量表达式,另一方面，有分解式,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,2. 直角坐标法表示点的加速度,速度v 的矢量表达式,其中ax，ay，az是加速度a 在固定轴x，y，z上的投影。比较上列两式，得,即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于点的
10、速度的对应投影对时间的一阶导数，或者等于对应坐标对时间的二阶导数。, 加速度,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,加速度的矢量表达式,加速度的分解式,已知动点加速度的投影，可求出加速度a 的大小和方向余弦, 加速度,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,例1-3 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角=t，其中是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。,O,H,C,D,M,x,y, 例题1-3,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,例题1-3,O,A,H,B
11、,C,D,M,x,y,解：,1.求M点的运动方程。, 例题1-3,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一圈的时间 T=2/ ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。,O,A,H,B,C,D,M,x,y,P,以 代入，得M点的运动方程,E, 例题1-3,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,求坐标 x，y 对时间的一阶导数，得,故得M点速度 v 的大小和方向，有,M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。,O,A,H,B,C,D,M,P,x,y,2.求M点的瞬时速度。, 例题1-3,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速
12、度,求vx，vy 对时间的一阶导数，得,故得M点加速度 a 的大小和方向，有,x=0, y=0;,当t = 0时，有,这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。,O,A,H,B,C,D,M,P,E,x,y,3.求M点的瞬时加速度。, 例题1-3,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度,轨 迹 演 示, 例题1-3,1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度, 点的速度在自然轴上的投影, 曲线的曲率自然轴系, 点的加速度在自然轴上的投影,1-4 自然法表示点的速度和加速度,比值 可用来表示弧MM的平均弯曲程度，并称为平均曲率。,当点M趋近于点
13、M时，平均曲率的极限值称为曲线在点M处的曲率，用k 表示，有,T,M,T,M,s,T1, （取绝对值）称为曲线对应于弧 MM的邻角，可用来说明该曲线的弯曲程度。,1-4 自然法表示点的速度和加速度,1. 曲线的曲率 自然轴系,曲线在点M的曲率的倒数，称为曲线在点M的曲率半径，用表示，有, 曲线的曲率,1-4 自然法表示点的速度和加速度,曲 率, 密切面,1-4 自然法表示点的速度和加速度,在图中点M趋近于M，即 趋近于零的过程中，包括直线 MT 和MT1的平面，将绕MT转动而趋近于某一极限位置；在这极限位置的平面称为曲线在点M的密切面或曲率平面。,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 密切面,
14、通过点M而与切线垂直的平面，称为曲线在点M 的法面。, 法面主法线副法线,M,法面,法面与密切面的交线MN称为主法线。,法面内与主法线垂直的直线MB称为副法线。,密切面,1-4 自然法表示点的速度和加速度,在点M处曲线的切线、主法线和副法线组成一个空间坐标架，称为点M的自然轴系；,各轴的正向规定如下：设用et,en,eb代表这三个轴的轴向单位矢，则et指向弧坐标增加的一方，en指向曲线的凹边，而 eb = et en ；,M, 自然轴系,eb,en,et,1-4 自然法表示点的速度和加速度,可见自然轴系是随点M的位置而改变的直角空间坐标架，它在研究点沿已知轨迹的运动时有重要的意义。,曲线上的点
15、都具有自己的自然轴系，故et ,en ,eb都是方向随点M的位置而改变的单位矢。, 自然轴系,1-4 自然法表示点的速度和加速度,M,r,s,A,B,M,O,r,r,s,v,(),(),O1,M点的速度（矢量）为,设已知点M的运动轨迹和运动方程,大小,1-4 自然法表示点的速度和加速度,2. 点的速度在自然轴上的投影,M,r,s,A,B,M,O,r,r,s,v,(),(),O1,方向沿轨迹在M处的切线et 并指向弧坐标增加的一方。,et,方向,可见，点M的速度是沿轨迹切线，并可表示为,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 速度的投影,即：动点的速度在切线上的投影，等于它的弧坐标对时间的一阶导数
16、。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。,其中v 是速度矢量在切线正向的投影，大小等于, 速度的投影,M,r,s,A,B,M,O,r,r,s,v,(),(),O1,t,1-4 自然法表示点的速度和加速度,根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式,1-4 自然法表示点的速度和加速度,3. 点的加速度在自然轴上的投影,?, 加速度的投影,1-4 自然法表示点的速度和加速度,大小,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影,因为,所以,方向,et,et,et,M,et,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影,当 0时， et 和 et以及 et 同处于M点的密切面内，这时，
17、 et 的极限方向垂直于et ，亦即沿 en方向。,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影, 加速度在自然轴系上的投影形式,切向加速度,法向加速度,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影, 讨论,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影,动点的加速度在切线上的投影，等于速度在切线上的投影对时间的导数；加速度在主法线上的投影，等于速度的平方除以轨迹在动点处的曲率半径；加速度在副法线上的投影恒等于零。,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影, 结 论,加速度a与主法线所成的角度（恒取绝对值），由下式确定,因为加速度的两个分量an 与at 是相互垂直的，
18、故得加速度a 的大小为,T,et,a,N,M,en,(),(),an,at,加速度大小和方向,1-4 自然法表示点的速度和加速度, 加速度的投影,例1-4 飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2 的规律沿半径r=1 500 m的圆弧作机动飞行（如图）。其中s以m计，t以s计。当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。, 例题1-4,1-4 自然法表示点的速度和加速度,例题1-4,解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用 自然法求解。取M0为弧坐标 s 的原点，s 的正负方向如图所示。,当t = 5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定,先求出飞机的速度和切向加速度、法向
19、加速度, 例题1-4,1-4 自然法表示点的速度和加速度,故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为,代入 t = 5s,得, 例题1-4,1-4 自然法表示点的速度和加速度,例1-5 试求例 4中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。,O,H,C,D,M,x,y,P,v, 例题1-5,1-4 自然法表示点的速度和加速度,例题1-5,解：,因而它的切向加速度,注意，当 时， 而当 时， ；两者相差一个负号。在 以后，M点进入另一个滚轮环，这里出现尖点， 运动方向发生突然逆转，由 突变为 。,O,H,C,D,M,E,x,y,2,1.求切向加速度, 例题1-5,1-4 自然
20、法表示点的速度和加速度,矢量 at 和 an 的方向分别沿MD 和MH。,M点的法向加速度大小,O,H,C,D,M,E,x,y,2,2.求法向加速度,已知, 例题1-5,1-4 自然法表示点的速度和加速度,另一方面， ，故轨迹的曲率半径为,可见，轨迹的最大曲率半径 ，对应于轨迹的最高点 。,O,H,C,D,M,x,y,2,3.求曲率半径, 例题1-5,1-4 自然法表示点的速度和加速度,例1-6 圆柱的半径为r，绕铅直固定轴 z 作匀速运动，周期为 T 秒。动点M以匀速 u 沿圆柱的一条母线NM运动（如图）试求M点的轨迹、速度和加速度，并求轨迹的曲率半径。, 例题1-6,1-4 自然法表示点的
21、速度和加速度,例题1-6,运 动 演 示, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,取固定直角坐标系Oxyz如图所示。设开始时M点在M0位置，当圆柱转动时，角M0ON随时间成正比地增加，在瞬时t ，它等于 ，故M点的坐标为,这就是M点的运动方程。,M点的轨迹方程,这螺旋线方程就是M点在固定坐标系中的运动轨迹。,解：,1. M点的运动方程和轨迹。, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,轨 迹 演 示, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,2. M点的速度。,对运动方程求导得,速度在平面Oxy上的投影大小等于,常数,速度与圆柱母线的交角 不变。, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,速度矢端图是一个半径为r的圆周,且平行于平面Oxy。, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,3. 点M的加速度。,对速度方程求导得,加速度 a 的方向指向 z 轴。,因az= 0，故加速度 a 垂直于 z 轴, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,x,y,r,M0,N (x,y),M,z,O,vx,vy,vz,v,a,m,r,u,4. 曲率半径。,曲率半径,曲率半径为常数, 例题1-6,1-4 自然法表示点的速度和加速度,谢谢使用,
