1、这些图像有什么特征？,中心对称图形,轴对称图形,一、引入新课出示课标,要解决的问题：,具有奇偶性的函数有什么特点？奇、偶函数的图像有什么特征？ 判定函数的奇偶性有哪些步骤？ 每一个函数都具有奇偶性吗？ 是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？,2.32函数的奇偶性,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1),f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)
2、2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.,二、引导探究概念形成,图象：关于y轴对称,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数,1偶函数,偶函数的特征:,1.如果一个函数是偶函数 f (-x)=f (x),2.如果一个函数是偶函数 它的图像关于y轴对称,观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？,f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.,f(
3、-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),图象：关于原点对称,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函数,2奇函数,奇函数的特征:,1.如果一个函数是奇函数 f (-x)=-f (x),如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,2.如果一个函数是奇函数 它的图像关于原点对称,判断下列函数是否具有奇偶性：,具有奇偶性的函数， 其定义域在数轴上有怎样的特点？,函数定义域关于数“0”对称.,对于定义在R上的函数 f (x)，下列判断是否正确？,若f (2) = f
4、 (2)，则函数 f (x)是偶函数,若f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数,三、函数奇偶性的判定方法,1.根据定义判定:,1.根据定义判定: 首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称, 则函数是非奇非偶函数;,若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x).,2.利用定理, 借助函数的图象判定:,3.性质法判定:,在公共定义域内,当f(x),g(x)均为奇函数时，有f(x）+g(x)是奇函数，f(x).g(x）是偶函数,当f(x),g(x)均为偶函数时，有f(x）+g(x)是偶函数 f(x).g(x）是偶函数,一奇一偶函数之积(商)为奇函数.,(注意取
5、商时分母不为零!),注：,而函数的奇偶性是函数的整体性质；,函数的单调性是函数的局部性质.,想一想：,2、函数f(x)0是奇函数还是偶函数 ？,1、函数 f(x)=x+1是奇函数还是偶函数?,既不是奇函数也不是偶函数,f(x)=x+1,解: 定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0 f(x)为既奇又偶函数,说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,函数,奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶的函数,1、判断下列函数的奇偶性：,课堂练习:,(10)f(x)=,-1x 1且x 0,定义域为-1,0) (0,1,即f(-x)= - f(x
6、), f(x) 为奇函数.,先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。, 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:,思考:(1)若奇函数在(0，+)上是增函数?那么该函数在(-,0)上是增函数还是减函数?(2)若是偶函数又有怎样的情形呢?,奇函数单调性同,偶函数单调性反,一、偶函数对称性的推广,证明用解析法,二、奇函数对称性的推广,3、已知函f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时,f(x)=x(1+x),求当x0时,函数f(x)的解析式, 画出f(x)的图象.,2、.若函数 是偶函数,求m的值,设x0,则-x0,解：,于是 f(-x)=(-x)1
7、+(-x),= -x(1-x),又 f(x)是奇函数，故 f(-x)= -f(x),所以，f(x)=x(1-x),即当x0时，函数表达式为：f(x)=x(1-x) 当x=0时，f(-0)=f(0),于是f(0)=0,函数的表达式为：f(x)=,x(1-x), （x0),X(1+X), (x0 ),x1, x1 .,0, (x=0),练习：,（1）如果定义在区间3a,5上的函数f(x)为奇函数，则 a=_,(3)己知函数y=f(x)是偶函数，且在（，0）上是增函数，则 y=f(x)在（0，）上是A. 增函数 B. 减函数C. 不是单调函数 D. 单调性不确定,课堂练习,B,C,A,A y轴对称
8、B 直线y=-x C 坐标原点对称 D直线y=x,C,5.奇函数 f(x) 在3, 7上是增函数, 在3, 6上的最大值为 8, 最小值为 -1, 则 2f(-6)+f(-3) 的值为( ) A. 5 B. -5 C. -13 D. -15,例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下图，画出在 y 轴左边的图象.,解：画法略,即书P36练习2,练习：已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x)是偶函数, 当 x0, 2时, f(x)=2x-1, 求 x-4, 0时 f(x) 的表达式.,三、函数的周期性,如果存在一个非零常数 T,
9、 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小正周期.,与周期有关的常见结论：,本课小结,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数,2、两个性质：一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称,3. 判断函数的奇偶性时,要注 意定义域是否关于原点对称。,小结:,复习思考,2、奇函数的图象关于原点对称,设f(x)为奇函数，则有f(x)=f(x)；,在f(x)图象上任取一点(a，f(a),那么,点(a,f(a)也在函数f(x)的图象上,所以：f(x)的图象关于原点对称,、偶函数的图象关于y轴对称,设f(x)为偶函数，则有f(x)f(x),在f(x)的图象上任取一点(a，f(a),那么,点(a,f(a)也在函数f(x)的图象上,所以：f(x)的图象关于y轴对称,（x，y）,（x，y）,
