1、1二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程 根的分布情况02cbxa设方程 的不等两根为 且 ，相应的二次函数为 ，20axbca12,1220fxabc方程的根即为二次函数图象与 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）x表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根小于0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f综合结论（不讨论） a02baf02baf0fa2表二：（
2、两根与 的大小比较）k分布情况两根都小于 即kx21, 两根都大于 即kx21,一个根小于 ，一个大于 即kk21x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfakk k3表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 内nm,两根有且仅有一根在 内nm,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在 内，另一根在nm,内，qp, qp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq
3、0fnpq综合结论（不讨论） a 0nfm0qfpnm根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 外，即在区间两侧 ， （图形分别如下）n, 12,xn需满足的条件是4（1） 时， ； （2） 时，0a0fmn0a0fmn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况：,若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或0fmfn0fmnA m，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求出参数的值。如方程n ,在区间 上有一根，因为 ，所以 ，22xx1,31f2212mxxx另一根为 ，由 得 即为所求；m12m方程有且只有
4、一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数2 n,00的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间 内，求 的取值范围。分析：由 即2460x3,030fA得出 ；由 即 得出 或 ，当153m154m21646m1m32时，根 ，即 满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；2,x3,x综上分析，得出 或1根的分布练习题例 1、已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。2110mxm解：由 即 ，从而得 即为所求的范围。20fAm12例 2、已知方程 有两个不等正实根，求实数 的取值范围。210x解：
5、由5012mfA2180m32320m或 或 即为所求的范围。033例 3、已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求243ymxxmx实数 的取值范围。m解：由 即 即为所求的范围。210fA10A21-例 4、已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。234xmxm解：由题意有方程在区间 上只有一个正根，则 即为所求0,10fA430A13范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 内，由 计算检验，均不复合题,1意，计算量稍大）62、二次函数在闭区间 上的最大、最小值问题探讨nm,设 ，则二次函数在闭区间 上的最大、最小值有
6、如下的分布情况：0acbxaf ,nm2即 nab2nmab2图象最大、最小值 nfxfmffia abfxf mfnf2,minax mfxfnffina对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若 mab,2，则 ， ；ffxf ,am fabfxf ,2,imin（2）若 ，则 ，n,nff,axff,iin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开x口向下时，自变量的取值离开 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口
7、方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 在 上有最大值 5 和最小值 2，求 的值。20fxaxba2,3,ab解：对称轴 ，故函数 在区间 上单调。0,3f（1）当 时，函数 在区间 上是增函数，故 ；afx2,3maxin32ff25b10ab（2）当 时，函数 在区间 上是减函数，故 0f, axmin3ff2a37例 2、求函数 的最小值。21,3fxax解：对称轴 0（1）当 时， ；amin2yf（2）当 时， ；32i1a（3）当 时，min06yf改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当 时， ；2amax3106ffa（2）当 时，
8、 。22本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当 时， ， ；1amax3106ffamin12fxfa（2）当 时， ， ；22i（3）当 时， ， ；3max2ffminfxf（4）当 时， ， 。 a1ai3106a例 3、求函数 在区间 上的最小值。2yx,t解：对称轴 0（1）当 即 时， ；2t2min43yftt（2）当 即 时， ；1tin1f（3）当 即 时，t 2miytt例 4、讨论函数 的最小值。21fxa解： ，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别22,xaf 为直线 ， ，当 ， ， 时原函数的图象分别如下（1） ， （2） ， （3）1x1a28因此， （1）当 时， ；12amin1324fxfa（2）当 时， ；2inff（3）当 时，1amin134fxfa
