1、Fundamentals of Control Theory,2014.9,第六章 控制系统的特性 6.1 引言 6.2 劳斯稳定判据 6.3 变量的数学和物理形式 6.4 稳态性能指标 6.5 小结,6.1 引言,对控制系统而言，应满足三个基本要求：稳定性、快速性和准确性。其中稳定性是最重要的，如果系统是不稳定的，就没有必要讨论其余两个要求。但是怎样判断一个控制系统是否稳定呢？ 根据已学过的知识，如果一个系统的传递函数如下：,6.1 引言,系统的特征方程为：,通过求解该特征方程可得到该方程的精确根，例如s1, s2, . , sn，如果所有的特征根都是具有负实部，则系统是稳定的。如果系统存在
2、一个带正实部的根，则系统是不稳定的。如果系统存在至少一个根的实部为零，则系统是临界稳定的。,6.1 引言,在某些情况下，求解特征方程的精确解有一定困难。例如，对下述特征方程：,从某种程度来说，求解其精确解有一定的困难。,在多数情形下，如果我们只是要判断系统是否稳定，通常没有必要得到特征方程的精确解。但是我们有什么办法解决这个问题呢？劳斯、奈魁斯特、伯德在这方面都做了大量工作。,6.2 劳斯稳定判据,劳斯判据是一种代数判据，利用特征方程的根与其系数之间的关系来确定根在s平面的位置，而不用求解出根的实际值。,系统的特征方程为：,(6.2),如果b0为零，除s后就得到了方程式(6.2)所示的形式。所
3、有的b均为实系数，从sn到s0的所有各次幂都必须在特征方程式中出现。,6.2 劳斯稳定判据,系统稳定的必要但不充分条件是方程式(6.2)的系数均为正值。如果存在任一个系数（不是b0）为零，或者不是所有的系数符号都相同，则可能出现纯虚根、正实部根，则系统是不稳定的。在这种情形下，如果仅仅要求确定系统是否稳定，那么就没有必要继续做下去。,当所有的系数都是正数，则系统可能稳定也可能不稳定，因为仍然有可能有部分根落在虚轴上或在s右半平面中。,6.2 劳斯稳定判据,特征方程的系数按如下形式排列成劳斯表的头两行，然后用这些系数计算出整个劳斯表的其余常数。,6.2 劳斯稳定判据,在第3行的常数c1、c2、c
4、3计算如下：,按这种方式一直计算到其余的cs 全为零为止。然后用sn-1和sn-2行构成d行。这些常数按如下方式计算：,该过程一直进行到d行的所有系数均计算完为止。,6.2 劳斯稳定判据,其余行也用这种方法求取，直到s0行为止。整个阵列是三角形的，结尾是s0行。注意s1和s0行每行仅含有一项。一旦求出该劳斯表，劳斯判据指出：特征方程具有正实部的根的数目等于在第一列中系数符号变化的次数。因此，如果第一列的所有各项都具有相同的符号，那么系统是稳定的。,例1： Q(s)=s5+s4+10s3+72s2+152s+240=0,例2： Q(s)=s4+s3-19s2+11s+30=0,6.2 劳斯稳定判
5、据,为简化求解过程，对于低阶系统，我们使用如下稳定性判据。,二阶、三阶、四阶系统的劳斯稳定判据：,1. 二阶系统： n=2, Q(s)=b2s2+b1s+b0=0,bi0 (i=0,1,2),2. 三阶系统： n=3, Q(s)=b3s3+b2s2+b1s+b0=0,bi0 (i=0,1,2,3), b1b2b0b3,4. 四阶系统： n=4, Q(s)=b4s4+b3s3+b2s2+b1s+b0=0,bi0 (i=0,1,2,3,4), b2b3b1b4, b1b2b3-b12b4-b0b32 0,6.2 劳斯稳定判据,例1. 已知x=0.2, wn=86.6。求：为使系统稳定，K之取值范围
6、。图为一个系统的输入输出及控制环节，求得输出与输入的比值，然后以分母作为Q(S)函数，从而算出k的值,例 2. Q(s)=s3+(l+1)s2+(l+m-1)s+m-1=0, 确定 l 和m，使系统稳定。,6.2 劳斯稳定判据,定理1. 用一正数乘或除某一行的所有元素,任一行的系数可以除或乘一个正数而不改变第一列的符号。把任一行乘以或除以一个常数，可以减少劳斯阵列中各系数的计算量。例如可以使系数变小，因而简化了其余的计算。,例：Q(s)=s6+3s5+2s4+9s3+5s2+12s+20,6.2 劳斯稳定判据,定理2. 某行的第一列系数为零 (I),当某一行的第一项为零，但不是其余所有项均为零
7、时，可以利用下面的3种方法：,1. 用s=1/x代入原方程，然后解x具有正实部的根，x具有的正实部根的数目和s具有正实部的根的数目相等。,2. 将原多项式乘以因子(s+1)，(s+1)就引入了一个附加的负根，然后求出新的多项式的劳斯表。,6.2 劳斯稳定判据,定理2. 某行的第一列系数为零 (II),例：Q(s)=s4+s3+2s2 +2s+5,3.用一个非常小的正实数e 代替第一列为零的元素。,例：Q(s)=s3+0.75s2+4s+3=0,6.2 劳斯稳定判据,定理3. 某行所有元素为零 (I),当某一行的所有系数均为零时，按下列步骤进行：,1. 利用该行的上一行的元素构成一个辅助方程(a
8、uxiliary equation)；,2. 用对辅助方程求导得到的新的微分方程的系数代替零行的所有元素。,6.2 劳斯稳定判据,定理3. 某行所有元素为零 (II),3. 辅助方程的根也是原方程的根，这些根成对出现，互为负数。因此，这些根可以是虚数(共轭复数)或实数(一正一负)，也可能是四元的(两对共轭复数根对)，等等。,例1： Q(s)=s4+2s3+11s2+18s+18,例2： Q(s)=s3+10s2+16s+160,例3： Q(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50,6.2 劳斯稳定判据,赫尔维兹判据,赫尔维兹判据根据系统的行列式(determinant)来确定系统的
9、稳定性。对于特征方程：,6.2 劳斯稳定判据,赫尔维兹判据,系统稳定的充分必要条件是：,(1) bi0 (i=1n),(2) i0, n0 n:主行列式 ；i:对角线上的子行列式 (i=1n-1),对于低阶系统，劳斯判据和赫尔维兹判据是统一的。,6.2 劳斯稳定判据,例：根据给定的控制系统方框图：(1)判断系统是否稳定；(2)如果系统是不稳定的，你将采取什么措施使系统变为稳定？,6.3 变量的数学和物理形式,在各种控制系统中，图示系统的被控制变量可能具有各种各样的物理形式，如位置、速度、温度、温度的变化速度、电压、流量、压力等等。,一旦图中的方框用传递函数表示后，至于被控制变量的物理形式是什么
10、与系统的分析就无关,紧要了。通常，重要的量是被控制量c，c的变化率Dc和它的二阶导数D2c，即c的最初几阶导数，包括c的零阶导数。,6.3 变量的数学和物理形式,对于任何具体的控制系统，每一个数学函数都具有明确的“物理”含意。例如，若控制变量c是位置，那么Dc为速度，而D2c就是加速度。如果控制变量c是速度，那么Dc就是加速度，而D2c为加速度的变化率。,如果系统的输入信号具有下页图中的不规则形式，它不能用任何简单方程表示，这就不能直观地分析系统的响应。,6.3 变量的数学和物理形式,注意：图6-2中的信号可以由三种基本形式的输入组成，即在cde段为阶跃函数，在0b段为斜坡函数，在ef段为抛物
11、线函数。,由此得出一个结论，如果我们分别考察所给出的线性系统，在这些输入信号中的每一种作用下系统的响应特性，那么就可以建立一种对于不规则输入信号的满意的系统性能分析方法。,6.4 稳态性能指标,稳态误差(Steady-state error )：瞬态响应结束后，系统的期望输出xor(t)与实际输出xo(t)之差，与输入类型的结构参数有关。仅针对稳定系统而言。,1. 系统的误差e(t)和偏差e (t),(1) e(t)=xor(t)-xo(t),E1(s)=Xor(s)-Xo(s),6.4 稳态性能指标,(t)=xi(t)-h(t)*xo(t),E(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s),6.4
12、稳态性能指标,反馈控制：利用偏差 E(s)进行控制。,Xo(s)Xor(s), E(s)0,Xo(s)=Xor(s), E(s)=Xi(s)-H(s)Xor(s), Xi(s)=H(s)Xor(s),6.4 稳态性能指标,E1(s)=Xor(s)-Xo(s) E(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s) Xi(s)=H(s)Xor(s),对于单位反馈系统， E(s)=E1(s), 即 e(t)=e(t),6.4 稳态性能指标,2. 与输入有关的稳态偏差,根据拉普拉斯变换的终值定理：,6.4 稳态性能指标,(1) 单位阶跃输入xi(t)=u-1(t)=1时的稳态偏差及位置无偏系数：,与输入有关的稳态
13、偏差,6.4 稳态性能指标,(2) 单位斜坡输入xi(t)=tu-1(t) 时的稳态偏差及速度无偏系数：,与输入有关的稳态偏差,6.4 稳态性能指标,(3) 单位抛物线输入 xi(t)=t2u-1(t)时的稳态偏差及加速度无偏系数：,与输入有关的稳态偏差,6.4 稳态性能指标,将传递函数用一种更加通用的形式来表达：,3. 系统结构： Gk(s) 对ess的影响,式中： a1, a2 , . ; b1, b2 , . = 定常系数；,K=传递函数G(s)H(s)的增益常数；,m = 0,1,2, 传递函数类型；,G(s)=单位增益的前向传递函数。,6.4 稳态性能指标,一个物理系统由数学方程表示
14、以后，其后的分析与该物理系统的性质无关。不管系统是电的、机械的、液压的、热的或机、电、热的组合、都是无关紧要的。,为了更好地分析每一种控制系统，引入“类型”的概念。 类型由s的指数m的值所确定。,0, 0型系统,1, 1 型系统,2, 2 型系统,m=,6.4 稳态性能指标,(1) m 对Kp 和 ess的影响,对于0型系统， m=0,对于m1,6.4 稳态性能指标,(2) m 对 Kv 和 ess的影响,对于0型系统， m=0,对于1型系统， m=1,对于m2,6.4 稳态性能指标,(3) m 对 Ka 和 ess的影响,对于0型系统，m=0,对于1型系统， m=1,对于2型系统， m=2,对于 m3,6.4 稳态性能指标,系统的类型、输入形式和稳态偏差之间的关系,6.4 稳态性能指标,例：求图示振荡系统在单位阶跃、单位速度、单位加速度输入时的稳态误差。,6.5 小结,本章阐明了参考输入和被控制变量可能具有的物理形式和这些量的数学公式之间的区别。一般来说，由于大多数单位反馈控制系统的前向传递函数都可以概括为三种类型，即可以定义为“0型”，“1型”和“2型”系统，具有相应的稳态误差系数的定义。这些误差系数表征了系统的稳态性能。于是，为进一步研究一组标准特性建立了一个良好的开端。,
