1、第二篇 运 动 学,点的运动 刚体的基本运动 点的合成运动 刚体的平面运动,运动学是研究物体机械运动的几何性质的一门学科，即研究物体在空间的位置随时间的变化规律，而不涉及力和质量等与运动变化有关的物理因素。,物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。,点的运动,第五章,5-1 点的运动的矢量法,点的运动方程,r动点 对于点O的 矢径或位置矢,矢径r的矢端线是点的运动轨迹,动点的速度等于它的矢径对于时间的一阶导数,动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也等于它的矢径对于时间的二阶导数。,5-2 点的运动的直角坐标表示法,点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
2、对时间的一阶导数。,点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。,例1：图示机构中A、B两滑块可分别沿互相垂直的两直槽滑动。已知BA=a，AMb，t+(, 为常量)，求点M的运动轨迹、速度和加速度。,解：,运动方程：,轨迹方程：,速度：,加速度：,例2：半径为R的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮心速度为一常量，试求轮缘上一点M的轨迹、速度和加速度。,解：,以M与地面重合的点O为坐标原点，建立xOy系，设M在O处为初时刻。,M点运动方程：,M点速度：,M0,例2：半径为R的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮心速度为一常量，试求轮缘上一点M的轨迹、速度和加速度。,解：,M点加速度
3、：,即a沿MA，指向A,5-3 点的运动的自然表示法,设已知动点运动的轨迹曲线，在曲线上任选一点O为原点，从点O到动点的位置M量取弧长s，并规定从点O向某一边量取的s为正值，向另一边量取的为负值，则动点的位置可以由s完全确定。这种描述运动的方法称为自然法,自然法表示的运动方程,一、运动方程与速度,由矢量法知，在瞬时t，速度v的方向沿轨迹的切线并指向前进的方向,大小：,（速度的代数值等于弧坐标对时间的一阶导数）,自然法表示的点的速度,二、自然轴系,曲线在M点的曲率,曲线在M处的曲率半径,MT是切线,在密切面内的法线MN称为主法线,垂直于密切面的法线MB称为副法线,以曲线在点M处的切线、主法线和副
4、法线为轴的一组正交轴系称为自然轴系,副法线：,法向平面,密切面,三、加速度,的方向也就是 的极限方向,：沿en的正方向,三、加速度,沿轨迹在点M处的切线方向，称为切向加速度,沿主法线方向并指向曲率中心，称为法向加速度,反映了速度大小的变化,反映了速度方向的变化,动点的加速度等于切向加速度与法向加速度的矢量和,三、加速度,加速度在自然轴上的投影为:,例3：已知用直角坐标表示的点的运动方程xx（t），yy（t），zz（t），试求在任一瞬时该点的切向加速度和法向加速度的大小及轨迹曲线的曲率半径。,解：用直角坐标法求任一瞬时的速度和加速度：,例4：半径为r的轮子可绕水平轴O转动，轮缘上绕以不能伸缩的绳
5、索，绳的下端挂一物体A。设物体按 x=ct2/2 规律下落，其中c为常量。求轮缘上一点M的速度和加速度。,A,O,M,解：M点轨迹是半径为r的圆。采用自然法求解。设物体在A0时，M点在M0，以M0为弧坐标原点。,方向如图,方向如图,5-4 点的运动的极坐标法,用极坐标表示的点的运动方程,速度：,vr径向速度,v横向速度(与vr垂直的速度),速度：,加速度：,ar径向加速度,a横向加速度,例5: 动点M以匀速率v运动，而v与M至固定点O的连线MO之间的夹角保持不变，试求以极坐标表示的动点的运动方程和轨迹方程。设t0时，rr0，0。,解：取Ox为极轴，设动点M的极坐标为（r，）,(2)改写成：,动点M的轨迹方程:,式(3)和(4)就是动点M的运动方程,是一条对数螺旋线,
