1、幻灯片 1第二章 投影基础第一节 正投影及三视图 一、正投影法(一 )投影的概念在日常生活中，人们可以看到，当太阳或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子，这就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学总结而产生的。投射线通过空间物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。如图 2-1 所示，平面 H 称为投影面， S 称为投射中心， SAa、 SBb、 SCc 称为投射线， abc 为空间 ABC 在投影面 H 上的投影。 图 2-1 中心投影法幻灯片 2(二)投影法的分类投影法分为中心投影法和平行投影法。1中心投影法 投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法，所得投影称为
2、中心投影，如图 2-1 所示。2平行投影法 若将投射中心移至无穷远处，则所有的投射线相互平行。投射线相互平行的投影法称为平行投影法。 在平行投影法中，根据投射线是否垂直于投影面，又分正投影法和斜投影法。(1)正投影法 投射线与投影面垂直的平行投影法称为正投影法，所得投影称为正投影，如图 2-2(a)所示。 (2)斜投影法 投射线与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法，所得投影称为斜投影，如图 2-2(b)所示。正投影能准确地表达物体的形状和大小，度量性好，作图简单，在工程图样中被广泛应用。本课程的后续章节中，除有特别说明外，提到的“投影”均指“正投影” 。 幻灯片 3图 2-2 平行投影法幻灯片
3、 4（三）正投影的基本特性分析直线段和平面图形的正投影，如图 2-3，可得出如下性质。1真实性 当直线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。2. 积聚性 当直线段或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成为一点或一直线。3类似性 当直线段或平面图形倾斜于投影面时，直线段的投影比实长缩短，平面的投影面积缩小，形状与原平面图形类似。 图 2-3 正投影的基本特性幻灯片 5二、形体的三视图空间形体具有长、宽、高三个方向的形状，而形体相对投影面正放时得到的单面正投影图只能反映形体两个方向的形状。如图 2-4 所示，两个不同形体的投影图相同，说明形体的一个投影不能完全确定其空间形状。图 2-4
4、不同形体具有相同的投影图幻灯片 6为了完整、准确的表达形体的形状，常设置多个相互垂直的投影面，将形体分别向这些投影面进行投射，得到多面正投影图，综合起来，便能将形体各部分的形状表示清楚。三视图是将形体向三个相互垂直的投影面投射所得的一组正投影图。下面将说明三视图的形成及其投影规律。(一)三面投影体系 设置三个相互垂直的投影面，称为三面投影体系，如图 2-5 所示。 直立在观察者正对面的投影面称为正立投影面，简称正面，用 V 表示。处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面，用 H 表示。右边分别与正面和水平面垂直的投影面称为侧立投影面，简称侧面，用 W 表示。三个投影面的交线 OX、OY、
5、OZ 称为投影轴，O 点称为三面投影体系的原点。OX 轴代表长度尺寸和左右位置（正向为左） ；OY 轴代表宽度尺寸和前后位置（正向为前） ；OZ 轴代表高度尺寸和上下位置（正向为上） 。 图 2-5 三面投影体系的建立幻灯片 7（二）三视图的形成将形体在三投影面体系中放正，使其上尽量多的表面与投影面平行，用正投影法分别向 V、H、W 面投射，即得到形体的三面正投影，如图 2-6(a)所示。从前向后投射，在 V 面上得到形体的正面投影，也称主视图；从上向下投射，在 H 面上得到形体的水平投影，也称俯视图；从左向右投射，在 W 面上得到形体的侧面投影，也称左视图。 图 2-6 三视图的形成幻灯片
6、8将三面投影体系展开，如图 2-6(b)，正立投影面 V 不动，水平投影面 H 绕 OX 轴向下旋转 90，侧立投影面 W 绕 OZ 轴向右旋转 90。使 V、H、W 三个投影面展开在同一平面内，如图 2-6(c)。图 2-6 三视图的形成幻灯片 9实际绘制形体的三视图时，不必画投影面和投影轴，如图 2-6(d)。 图 2-6 三视图的形成幻灯片 10（三）三视图的投影关系1位置关系 以主视图为基准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方。2尺寸关系 主视图与俯视图长度相等且左右对正；主视图与左视图高度相等且上下对齐；俯视图与左视图宽度相等。即主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相
7、等。“长对正、高平齐、宽相等”又称“三等” 规律，反映了三视图之间的关系。不仅针对形体的总体尺寸，形体上的任一几何元素都符合此规律。绘制三视图时，应从遵循形体上每一点、线、面的“三等”出发，来保证形体三视图的尺寸关系。3方位关系 主、俯视图反映形体各部分之间的左右位置；主、左视图反映形体各部分之间的上下位置；俯、左视图反映形体各部分之间的前后位置。画图及读图时，要特别注意俯、左视图的前后对应关系：俯、左视图远离主视图的一侧为形体的前面，靠近主视图的一侧为形体的后面。 幻灯片 11实例训练【例 2-2-1】绘制图 2-7(a)所示形体的三视图（一）形体分析图 2-7(a)所示形体由底板和竖板组成
8、。其中底板前方切出方槽，竖板上方左右各切去一个三棱柱。图 2-7 画形体的三视图幻灯片 12（二）选择主视图 形体要放正，使其上尽量多的表面与投影面平行或垂直；选择主视图的投射方向，使之能较多地反映形体各部分的形状和相对位置。 （三）作图1画基准线 选定形体长、宽、高三个方向上的作图基准，分别画出它们在三个视图中的投影, 以便于度量尺寸和视图定位，如图 2-7（b） 。通常以形体的对称面、底面或端面为基准。图 2-7 画形体的三视图幻灯片 132画底稿 如图 2-7（c） 、 （d） 、(e)，一般先画主体，再画细节。这时一定要注意遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，特别是俯、左视图之间
9、的宽度尺寸关系和前、后方位关系要正确。图 2-7 画形体的三视图幻灯片 142画底稿 如图 2-7（c） 、 （d） 、(e)，一般先画主体，再画细节。这时一定要注意遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，特别是俯、左视图之间的宽度尺寸关系和前、后方位关系要正确。3检查、改错，擦去多余图线，描深图形 如图 2-7（f） 。 图 2-7 画形体的三视图幻灯片 15幻灯片 16幻灯片 17幻灯片 18幻灯片 19幻灯片 20幻灯片 21幻灯片 22第二节 形体上点、直线、平面的投影点、线、面是构成形体的基本几何元素，本节将对这些几何元素的投影作进一步的分析，为以后的画图和读图奠定基础。 一、点的
10、投影（一）点的三面投影 如图 2-8(a)所示，设空间点 A 是三面投影体系中的一点，按正投影法将点 A 分别向 H、V、W 面作垂线，其垂足即为点 A 的水平投影 a、正面投影 a（用相应小写字母加一撇表示）和侧面投影 a“（用相应的小写字母加两撇表示） 。图 2-8 点的三面投影幻灯片 23将三面投影体系展开，即得到 A 点的三面投影图，如图 2-8(b)、(c)所示。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，不标出投影面的名称，也可省略标注aX、aYH、aYW 和 aZ；而应画出坐标轴 OX、OY、OZ（简称 X、Y 、Z 轴）及点的投影a、a、 a“，并用细实线画出点的三面投影之间的连线
11、，称为投影连线。图 2-8 点的三面投影幻灯片 24如图 2-8 所示，点在三投影面体系中的投影规律为：(1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX 轴，即 a aOX；(2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 OZ 轴，即 aa“OZ ；(3) 点的水平投影到 OX 轴的距离和点的侧面投影到 OZ 轴的距离都等于该点到 V面的距离，即 aa x=a“az。画点的投影图时，为保证 aax=a“az，可由原点 O 出发作一条 45的辅助线，如图2-9（a） 。也可采用图 2-9（b ）所示的方法利用圆规作图。 图 2-9 点的三面投影图画法幻灯片 25实例训练【 例例 2-2-1】 已知已
12、知 A、 B、 C 三点的两面投影，求作第三面投影，见图三点的两面投影，求作第三面投影，见图 2-10（ a） 。图 2-10 由点的两面投影求作第三面投影幻灯片 26（ 1）由 a 和 a“求 a，依据 aaOX 和 aaX=a“aZ，由 a“作 OYW 的垂线与 45辅助线相交，自交点作 OYH 的垂线，与自 a所作 OX 的垂线相交，交点即为 a。 （ 2）由 b和 b 求 b“，点的正面投影由 X、 Z 坐标决定，由于 b在 X 轴上，即 B 点的 Z 坐标为零，由 b 可知， B 点的 X、 Y 坐标不为零，则 B 点为 H 面上一点，和其水平投影重合， b“必在 OYW 上，依据
13、bbX=b“bZ，由 b 作 OYH 的垂线与 45辅助线相交，自交点作 OYW 的垂线，垂足即为 b“。（ 3） C 点的侧面投影和原点重合，容易想象到 C 点在 X 轴上，而 X 轴是 V 面和 H 面的交线，则空间点 C 和其正面投影 c 均与水平投影 c 重合。图 2-10 由点的两面投影求作第三面投影幻灯片 27（二）点的坐标（二）点的坐标若把三投影面体系看作直角坐标系，若把三投影面体系看作直角坐标系， H、 V、 W 面为坐标面，面为坐标面， OX、 OY、 OZ 轴为坐标轴为坐标轴，轴， O 为坐标原点，则点为坐标原点，则点 A 到三个投影面的距离可以用直角坐标表示：到三个投影面
14、的距离可以用直角坐标表示：点点 A 到到 H 面的距离面的距离 Aa =点点 A 的的 z 坐标值，坐标值， 且且 Aa = aax=a“ay；点点 A 到到 V 面的距离面的距离 Aa =点点 A 的的 y 坐标值，且坐标值，且 Aa =aax=a“az；点点 A 到到 W 面的距离面的距离 Aa“ =点点 A 的的 x 坐标值，且坐标值，且 Aa“=aay = aaz；由上述关系可知，点 A 的位置可由其坐标（ x、 y、 z）确定，且唯一。因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。幻灯片 28实例训练【 例例 2-2-2】 已知空间点已知空间点 A(20， 14， 24)，求作它
15、的三面投影图。，求作它的三面投影图。作图步骤如图作图步骤如图 2-11 所示。所示。图 2-11 由点的坐标作点的三面投影图幻灯片 29（ 1）画坐标轴，由原点）画坐标轴，由原点 O 向左沿向左沿 OX 轴量取轴量取 20mm 得得 ax；（ 2）过）过 ax 作作 OX 轴的垂线；在垂线上自轴的垂线；在垂线上自 ax 向下（向下（ OYH 方向）量取方向）量取 14mm 得得 a；在垂；在垂线上自线上自 ax 向上向上 (OZ 方向）量取方向）量取 24mm 得得 a ；（ 3）由）由 a、 a 求得求得 a“。图 2-11 由点的坐标作点的三面投影图幻灯片 30（三）两点的相对位置（三）两
16、点的相对位置两点的相对位置是指以两点中的某一点为基准，另一点相对该点的上、下、左、两点的相对位置是指以两点中的某一点为基准，另一点相对该点的上、下、左、右、前、后的位置。右、前、后的位置。两点的相对位置可由投影图判断。也可依据两点的坐标关系来判断：两点的相对位置可由投影图判断。也可依据两点的坐标关系来判断： X 坐标大者在坐标大者在左；左； Y 坐标大者在前；坐标大者在前； Z 坐标大者在上。在图坐标大者在上。在图 2-12 中，若以点中，若以点 B 作为基准，则点作为基准，则点 A 在点在点 B的左面（的左面（ xA xB） 、前面（、前面（ yA yB） 、上面（、上面（ zA zB） 。
17、图 2-12 两点的相对位置幻灯片 31在特殊情况下，当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为该投影面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。 如图 2-13 所示， A、 B 两点位于 V 面的同一条投射线上，它们的正面投影 a 、 b重合，称 A、 B 两点为对 V 面的重影点。这两点的 x、 z 坐标对应相等， yB yA，则 B 点在 A 点正前方， A 点被遮挡而不可见，通常在不可见的投影上加括号，如图中 (a) 。图 2-13 重影点幻灯片 32二、直线的投影（一）直线的三面投影一般情况下，直线的投影仍是直线。
18、两点确定一条直线，求出直线两端点的同面投影并连线，就得到直线的投影，如图 2-14 所示。图 2-14 直线的投影幻灯片 33（二）各种位置直线的投影特性直线按其对投影面的位置不同，可以分为三类：一般位置直线、投影面垂直线、投影面平行线，其中后两类直线统称为特殊位置直线。1一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图 2-14 所示，直线 AB 对 H、V、W 面均处于既不垂直又不平行的位置，AB 为一般位置直线。一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，且都小于线段实长。2. 投影面平行线 平行于某一个投影面，与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。根据其所平行的投
19、影面不同，投影面平行线分三种：（1）水平线平行于 H 面倾斜于 V、W 面；（2）正平线平行于 V 面倾斜于 H、W 面；（3）侧平线平行于 W 面倾斜于 H、V 面。幻灯片 34水平线的投影特性： ab = AB 。 abOX 、 a“ b “OYW 且长度缩短。幻灯片 35正平线的投影特性： cd= CD 。 cd OX 、 c“ d “OZ 且长度缩短。幻灯片 36侧平线的投影特性： e“ f “ = EF 。 ef OYH 、 ef OZ 且长度缩短。由此得出投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映线段的实长并倾斜于投影轴；另外两面投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。幻
20、灯片 373. 投影面的垂直线垂直于某一个投影面（必平行于另外两个投影面）的直线称为投影面垂直线。根据其所垂直的投影面不同，投影面垂直线分三种：（1）铅垂线垂直于 H 面；（2）正垂线垂直于 V 面；（3）侧垂线垂直于 W 面。幻灯片 38铅垂线的投影特性：铅垂线的投影特性： H 面投影积聚为点。面投影积聚为点。 abOX 、 a“ b“OYW 、 ab= a“ b“= AB。幻灯片 39正垂线的投影特性：正垂线的投影特性： V 面投影积聚为点。面投影积聚为点。 cdOX 、 c“d “=OZ 、 cd = c“d “=CD。幻灯片 40侧垂线的投影特性： W 面投影积聚为点。 efOYH 、 efOZ 、 ef = ef=EF 。由此得出投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另外两个投影面上的投影均反映线段的实长，且垂直于相应的投影轴。幻灯片 41（三）直线上点的投影1从属性直线上的点，其各面投影必在该直线的同面投影上，并符合点的投影规律；如图 2-15，C 点在直线 AB 上，则 c在 ab上，c 在 ab 上， c 在 a“ b上 。反之，如点的各面投影在直线的同面投影上，且其三面投影符合点的投影规律，则该点必在直线上。
