1、第一章解三角形综合检测一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1在ABC 中，a80，b100，A45，则此三角形解的情况是( )A一解 B两解C一解或两解 D无解答案 B解析 bsinA100 50 c，已知2，cosB ，b3，求：13(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解析 (1)由2 得 cacosB2.又 cosB ，所以 ac6.13由余弦定理得 a2c 2b 22accosB.又 b3，所以 a2c 2926 13.13解Error!得 a2，c 3 或 a3，c2.因为 ac，所以 a3，
2、c2.(2)在ABC 中，sinB .1 cos2B 1 f(1,3)2223由正弦定理，得 sinC sinB .cb 23 223 429因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cosC .1 sin2C 1 f(4r(2),9)279于是 cos(BC) cosBcosCsinBsinC .1379 223 429 232721(本题满分 12 分)如图，已知半圆 O 的半径为 1，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC1，点 P 是半圆 O 上的一个动点，以 PC 为边作正三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在PC 两侧(1)若POB，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数；(
3、2)求四边形 OPDC 面积的最大值解析 (1)设POB ，且 0180.在 OPC 中，OP 1，OC2，由余弦定理，得PC2OP 2OC 22OPOCcos 54cos，SOPDC SOPCS PDC OPOCsin PC2sin (54cos )sin cos12 34 34 3，534即 ysin cos .3543(2)由(1)得 ysin cos 2sin( 60) .3543 5340180 ， 6060120 ，当 sin(60)1，即 6090 ，也即 150 时，S OPDC有最大值，且为 2 ，故534当 POC150时，四边形 OPDC 的面积最大，最大值为 2 .53
4、422(本题满分 14 分)如图所示，A、B 两个小岛相距 21n mile，B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以 9n mile/h 的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以 6n mile/h 的速度离开 B 岛向南偏东 60方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离解析 设行驶 t 小时后，甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处，乙船行驶了 6tn mile 到达 D处当 9t3 .73 73 21当 t 时，BC 9t21，则 CD2(9t21) 2(6 t)22(9 t 21)6tcos607363t 2252t44163(t2) 2189189.综上可知，t2 时，CD 取最小值 3 n mile，故行驶 2h 后，甲、乙两船相距最近为 3 n 21 21mile.
