1、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线 渐近线的条数为（ ）21xy（A）0 （B）1 （C）2 （ D）3（2）设函数 ，其中 n 为正整数，则()(xxnxfee与-=（ ）()f（A） （B）1()!n (1)!n（C） （D）（3）设函数 连续，则二次积分 =（ ）()ft20cos()dfrd（A）224220()xdyfxy（B）22420()xfd（C）22201()dyfxdyx（D）22 2014()f（4）已知级数
2、 绝对收敛， 条件收敛，则 范围11()sini 21()ni为（ ）（A）0 （B） 12（C）1 （D） 23232（5）设 其中123401,cc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）1234c与（A） （B）123与 124与（C） （D）4 3（6）设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP=12与则12=与 123=Q与+1=QA与（A） （B）（C） （D）2121（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则（ ）+2与（A） （B） （C） （D）14284（8）设 为来自总体 的简单随机样1234X与 N2与10本，则
3、统计量 的分布（ ）34|+-|（A） （B） （C） （D）N与0()t2()(1,)F二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 1cosin4lim(ta)xx（10）设函数 _.0l,()(),21xdyfyfx与（11）函数 满足 则(,)zf2201,li ,(1)xy_.(0,1)dz（12）由曲线 和直线 及 在第一象限中所围图形的面积为4yx4yx_.（13）设 A 为 3 阶矩阵，|A|=3，A*为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第一行与第二行得到矩阵 B，则|BA*|=_.（14）设 A,B,C 是随机事件，A,C 互不相
4、容， 则1(),(),23PBC_.CP与=解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）计算2cos40limxxe（16）（本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 D 为由曲线 所围区域.xDeyd 1yx与（17）（本题满分 10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为 20+ （万元/件）与 6+y（万元/ 件） .2x1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 （万元）(,
5、)Cxy2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分 10 分）证明：21lncos1,1.xx（19）（本题满分 10 分）已知函数 满足方程()fx及()2()0fxffx2xe1）求表达式2）求曲线的拐点220()xyfftd（20）（本题满分 10 分）设1010aAb与（I）求|A|（II）已知线性方程组 有无穷多解，求 ，并求 的通解.xbaAxb(21)（本题满分 10 分）已知 二次型 的秩为 2，10Aa与123(,)()fxxA求实数 a 的
6、值；求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准型.（22）（本题满分 10 分）已知随机变量 X,Y 以及 XY 的分布律如下表所示：X 0 1 2P12316Y 0 1 2P13313XY 0 1 2 4P7123012求（1）P(X=2Y);（2） .cov(,)XY与（23）（本题满分 10 分）设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，min(,)=ax(,).VU求（1）随机变量 V 的概率密度；（2） .()E2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
7、的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1) 已知当 时，函数 与是 等价无穷小，则0x()3sinfxxkc(A) (B) 1,4kc1,4(C) (D) 33kc(2) 已知 在 处可导，且 ,则()fx0(0)f230()limxffx(A) (B) (C) (D) 2ff()f0(3) 设 是数列，则下列命题正确的是nu(A) 若 收敛，则 收敛1nu21()nu(B) 若 收敛，则 收敛21()n1n(C) 若 收敛，则 收敛1nu21()nu(D) 若 收敛，则 收敛21()n1n(4) 设 , , 则 , , 的大40lsiIxd40l(cot)Jxd40ln(cos)Kx
8、dIJK小关系是(A) (B) (C) (D) IJKIJII(5) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第 3AAB行得单位矩阵记为 ， ，则10P201PA(A) (B) (C) (D) 12221P12P(6) 设 为 矩阵, , , 是非齐次线性方程组 的 3 个线性无关的A4313Ax解， , 为任意常数，则 的通解为1k2x(A) 312()k(B) 2(C) 3121()()kk(D) 223(7) 设 , 为两个分布函数，其相应的概率密度 , 是连续函数，1()Fx 1()fx1f则必为概率密度的是(A) (B) 12()f 21(
9、)fF(C) (D) xF21()xfx(8) 设总体 服从参数 的泊松分布， 为来自总体的简X(0)1,(2)nX单随即样本，则对应的统计量 ，1niiT21nini(A) (B) 1212,ED212,ETDT(C) (D) 1二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设 ，则 _.0()lim(13)xttfx()f(10) 设函数 ，则 _.xyz(1,)|dz(11) 曲线 在点 处的切线方程为 _.tan()4ye0,(12) 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体21yx2x的体积_.(13) 设二次型
10、的秩为 1， 中行元素之和为 3，则 在正交123(,)TfXAf变换下 的标准型为_.xQy(14) 设二维随机变量 服从 ，则 _.(,)Y2(,;0)N2()EXY三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)求极限 .012sin1liml()xx(16) (本题满分 10 分)已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值，,fuv(1,)2f(,)fuv。求 .(),(zfxyf2(1,)|zxy(17) (本题满分 10 分)求 arcsinlxd(18) (本题满分 10 分)证明
11、 恰有 2 实根。44arctn30x(19) (本题满分 10 分)在 有连续的导数， ，且 ，)f0,1()1f()()t tDDfxydfdxy，求 的表达式。(,|,0,01tDxyxtytf(20) (本题满分 11 分)设 3 维向量组 ， ， 不能由 ，1,T（ ） 2,1T（ ） 3,5T（ ） 1,Ta（ ）， 线性标出。2,T（ ） 35（ ）求：()求 ；a()将 ， ， 由 ， ， 线性表出.123123(21) (本题满分 11 分)已知 为三阶实矩阵， ，且 ，A(2RA1100求：() 求 的特征值与特征向量；() 求(22) (本题满分 11 分) 已知 ， 的
12、概率分布如下：XYX 0 1 Y -1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且 ，2()Y求：() 的分布；(X，() 的分布；Z() . XY(23) (本题满分 11 分) 设 在 上服从均匀分布， 由 ， 与 围成。(,)XYGG0xy20y求：()边缘密度 ；()Xfx() 。|Yfy2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 若 ，则 等于01lim()xxaea（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(2
13、) 设 ， 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 ，y2 ()ypxq使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（）u112yu（A） （B）2， 12，（C） （D）213， 23，(3) 设函数 , 具有二阶导数，且 。若 是 的极值，()fxg“()0gx0()=gxa()则 在 取极大值的一个充分条件是（）()fgx0（A） （B）fa()fa（C） （D）“() “0(4) 设 ， , ,则当 充分大时有（）10lnfx()gx10()xhe（A） （B）()ghf()()gxf（C） （D）()fxxh(5) 设向量组： 可由向量组： 线性表示，下列命题正12r，
14、， 12s， ，确的是（A）若向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则srs（C）若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则r(6) 设 为 4 阶实对称矩阵，且 ,若 的秩为 3，则 相似于20AA（A） （B）1010（C） （D）1010(7) 设随机变量的分布函数 ，则01()2xFe1PX（A）0 （B） （C） （D）121e 1e(8) 设 为标准正态分布的概率密度， 为 上的均匀分布的概率密度，1()fx2()fx1,3若 为概率密度，则 应满足20()(,)()af abbf ,ab（A） （B）34324（C） （D）1a二、填空题：914 小题，每小题 4 分
15、，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设可导函数 由方程 确定，则 _.()yx2200sinxyxtedt0xdy(10) 设位于曲线 下方， 轴上方的无界区域为 ,则21()(ln)G绕 轴旋转一周所得空间区域的体积是_.Gx(11) 设某商品的收益函数为 ，收益弹性为 ，其中 为价格，且 ，()Rp31p(1)R则 _.()Rp(12) 若曲线 有拐点 ,则 _.321yxab(0)b(13) 设 ， 为 3 阶矩阵，且 ， ， ，则AB3A2B12A_.1AB(14) 设 ， ， 为来自整体 的简单随机样本，记统计量1x2n2(,)0N，则 _.21niiTXET三、解
16、答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)求极限1lnlimx(16) (本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中 由曲线 与直线 及3(DydD21xy20xy围成。20xy(17) (本题满分 10 分)求函数 在约束条件 下的最大值和最小值2uxyz2210xyz(18) (本题满分 10 分)（）比较 与 的大小，说明理由10ln(nttd10lntdt(,)（）设 ，求极限)u(,2) limnu(19) (本题满分 10 分)设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且fx0,3(0,3
17、)，20()()()+fdf（）证明：存在 ，使,2()ff（）证明：存在 ，使(03)“0(20) (本题满分 11 分)设 ，10A1ab已知线性方程组 存在 2 个不同的解x（）求 ，a（）求方程组 的通解Ab(21) (本题满分 11 分)设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第 1 列为0143aQTAQ,求 ，1(2)6T(22) (本题满分 11 分)设二维随机变量 的概率密度为 ， ,(XY， 22()xyfxyAe， x,求常数 及条件概率密度yAYX(23) (本题满分 11 分)箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 1，2，3，现在从箱中随机的取出 2个球，设
18、 为取出的红球个数， 为取出的白球个数，XY（）求随机变量 的概率分布()，（）求 Cov，2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 的可去间断点的个数为 3()sinxf(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当 时， 与 是等价无穷小，则0x()sifxax2()ln(1)gbx(A) ， . （B） ， . 1a6b6(C) ， . （D） ， .1a6b1a6b（3）使不等式 成立的 的范围是1sin
19、lxtdx(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2(,)2(,)（4）设函数 在区间 上的图形为yfx1,3则函数 的图形为0xFftd(A) (B)()fO 2 3 x1-2-11()fxO 2 3 x1-2-11(C) (D)()fxO 2 3 x1-11()fxO 2 3 x1-2-11（5）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分,AB*,AB,|,|AB块矩阵 的伴随矩阵为O1()f-2 O 2 3 x-11(A) . (B) . *32OBA *23OBA(C) . (D) .* *（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，,APTP1
20、02TPA若 ，则 为123123(,),(,)QTQ(A) . (B) . 0 102(C) . (D) .201 02（7）设事件 与事件 B 互不相容，则A(A) . (B) . ()0P()()PAB(C) . (D) .1(1（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为XYX(0,)NY，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间02PY()zFZY()ZFz断点个数为(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .cos320lim1xxe（10）设 ，则 .()y
21、xz(1,0)z（11）幂级数 的收敛半径为 .21nne（12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量()QP0.2p为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元.（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .()T(,0)TkT30k(14) 设 ， , 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分1X2m(,)BnpX2S别为样本均值和样本方差，记统计量 ，则 .2TXSET三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值.2(,)lnfxyy（1
22、6） （本题满分 10 分）计算不定积分 .1ln()xd(0)（17） （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 .()Dxy 22(,)1(),Dxyyx（18） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则()fx,ab,ab，得证 .,ab()faf（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且x00,()，则 存在，且 .0lim()xfA()f()fA（19） （本题满分 10 分）设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线()yfx()fx()0fx()yfx及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1yxt形面
23、积值的 倍，求该曲线的方程.（20） （本题满分 11 分）设, .1A=0421（）求满足 ， 的所有向量 ， .212313（）对（）中的任意向量 , ，证明 , , 线性无关.212（21） （本题满分 11 分）设二次型.2212313132(,)()fxaxaxx（）求二次型 的矩阵的所有特征值.（）若二次型 的规范形为 ，求 的值.f21y（22） （本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY0(,)xeyfy其 他（）求条件概率密度 ；YXfx（）求条件概率 .1P（23） （本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一
24、个，求以 、 、 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 .XYZ（）求 ；10P（）求二维随机变量 的概率分布.(,)XY2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）()fx1,0x0()()xftdg（A）跳跃间断点. （B）可去间断点.（C）无穷间断点. （D）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分()yfx()fx0,a等于（ ） 0()atxfd（A）
25、曲边梯形 面积. （B） 梯形 面积.BODAOD（C）曲边三角形 面积. （D）三角形 面积.ACC（3）已知 ，则24(,)xyfe（A） ， 都存在 0x(,)yf（B） 不存在， 存在(,)f0（C） 存在， 不存在 x(,)yf（D） ， 都不存在(0,)f（4）设函数 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则f2(),uvDfxFdyuvD（ ） Fu（A） （B） （C） （D）2()vfu2()vfu()vfu()vfu（5）设 为阶非 0 矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ，则（ ）En30A（A） 不可逆， 不可逆.A（B） 不可逆， 可逆.（C） 可逆， 可逆.（D） 可逆， 不可
26、逆. E（6）设 则在实数域上域与 合同的矩阵为（ ）12AA（A） . （B） .1221（C） . （D） . 21（7）随机变量 独立同分布，且 分布函数为 ，则 分布,XYXFxmax,ZXY函数为（ ）（A） . （B） .2Fx y（C） . （D） . 211Fx（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）0,XN,4YXY（A） . （B） .21PY21P（C） . （D） . 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 在 内连续，则 . 21,()xcf(,)c（10）设 ，则 .341()xf2()_fxd（11）
27、设 ，则 .2,1Dy2Dy（12）微分方程 满足条件 的解是 .0x()（13）设 3 阶矩阵 的特征值为 1，2，2， 为 3 阶单位矩阵，则AE.14_AE（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 .X2PX三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分 10 分）求极限 .201sinlimxx(16) （本题满分 10 分）设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶导(,)zy2xyzxyz数且 时.1（）求 dz（）记 ，求 .1,zuxyxyux(17) （本题满分 11 分）计
28、算 其中 .ma(,1),Dxyd(,)02,Dy(18) （本题满分 10 分）设 是周期为 2 的连续函数，fx（）证明对任意的实数 ，有 ；t220tfxdfx（）证明 是周期为 2 的周期函数0xtGfst(19) （本题满分 10 分）设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，.5r实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）设 元线性方程组 ，其中nxb， ，221naAa 12nx0b（）求证行列式 ;1n（） 为何值时，该
29、方程组有唯一解，并求 ；a1x（） 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。（21） （本题满分 10 分）设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 的特征向量，向量 满足A12,aA1,3a，32a（）证明 线性无关；123,（）令 ，求 .Pa1PA（22） （本题满分 11 分）设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概XYX1,03PXiY率密度为 ，记10Yyfy其 它 ZY（）求 ；2PZX（）求 的概率密度 ()Zfz（ 23） （本题满分 11 分）设 是总体为 的简单随机样本.记 ，12,nX 2(,)N1niiX， .221()niiS21TXSn（）证明 是 的无偏估计量.2（）当 时，求 .0,D
