1、11圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆轨迹形式定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆。2圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。3圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。4直径是圆中最长的弦。5线段垂直平分线到线段两端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。6角平分线到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。7到一条直线距离距离相等的点的轨迹是：位于这条直线两侧、与它平行并和它距离为定长的两条直线。8到两条直线距离距离相等的点的轨迹是：位于这两条直线内侧、与它们平行并和它们距离相等的一条直线。9点与圆的位
2、置关系-圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d 点在圆内 ；点在圆上内； 点在圆外 。rdrdr10直线与圆的位置关系-圆的半径为 r , 圆心到直线的距离为 d 。两个公共点 直线与圆相交 （直线叫做圆的割线） ；一个公共点 直线与圆相切 （直线叫dr做圆的切线） ； 无公共点 直线与圆相离 。11圆与圆的位置关系-两圆外离 四条公切线（2 外+2 内） 无公共点（注R意箭头方向） ；两圆外切 三条公切线（2 外+1 内） 一个公共点（注意箭头rd方向） ；两圆相交 2条公切线（2 外+0 内） 两个公共点（注意箭rR头方向） ； 两圆内切 1条公切线（1 外+0 内） 一个公共点（注意箭头
3、方向）；两圆内含 （d=0 是叫做同心圆） 无公切线（0 外+0 内） 无公共点0（注意箭头方向） 。12圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。13圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。14不共线的三点唯一确定一个圆，即：经过不共线的三个点有且只有一个圆。15经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形叫做圆的内接三角形。外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。任何三角形都有外心吗？一个三角形有唯一确定的外接圆，锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在三角形
4、_，钝角三角形的外心在三角形_.16等圆或同圆的半径都相等。17垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等18圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，半2圆（或直径）所对
5、的圆周角是 90，90的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么该三角形是直角三角形，这边是斜边。19弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 。20圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补，外角等于它的内对角。圆内接四边形判定：对角互补的四边形内接于圆（四个顶点在同一个圆上） ，四边形的一个外角等于它的内对角时，四边形内接于圆。21切线的性质与判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆心垂直于切线的直
6、线必过切点。经过切点垂直于切线的直线必过圆心。22切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。23切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。切线的判定一般有三种方法：1.定义法：和圆有唯一的一个公共点2.距离法： d=r3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径24三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。一个三角形有唯一确定的内切圆。Rt ABC三边的长为 a、b、c，则内切圆的半径是 r=_2abc25圆外切四边形性质：圆外切四边形
7、两组对边的和相等。26弦切角定理：弦切角度数等于所夹弧度数的一半。弦切角等于它所夹弧对的圆周角。27相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分得的两段的乘积相等。推论：弦与直径垂直时，弦的一半是它分直径所得两段的比例中项。28切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆两个交点间线段的比例中项。29割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆两个交点间线段长的积相等。30相交两圆的连心线，垂直平分公共弦。31两圆相切性质：相切两圆的连心线必经过切点。这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便。32两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长
8、也相等。两个圆如果有两条外(内)公切线，则它们的交点一定在连心线上。33圆的周长 C=2r=d 圆的面积 S=r。如果用 S表示扇形面积，n 表示扇形圆心角的度数，r 表示半径，那么 弧长 L公式是- （角度制） ；- （弧度制） ；2360r18rLrn- 扇形的面积计算公式是 - （角度制） = （弧度制） 2rsn2sl3一、圆的概念1集合形式定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点叫做-圆心，定长叫做-半径。以点 O为圆心的圆，记作O，读作“圆 O”圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。“圆”是“圆周”还是“圆面”？ 篮球是圆吗？家中
9、的锅盖是圆吗？-圆是一条封闭曲线。圆必须在一个平面内，是平面图形。半径确定“圆”的大小；圆心确定“圆”的位置。弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）【常作辅助线 1】连接圆心和圆上的点，形成半径。2轨迹形式定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点 O叫做圆心，线段 OA叫做半径。补充 1：线段垂直平分线到线段两端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。补充 2：角平分线到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。补充 3：
10、到一条直线距离距离相等的点的轨迹是：位于这条直线两侧、与它平行并和它距离为定长的两条直线。补充:4：到两条直线距离距离相等的点的轨迹是：位于这两条直线内侧、与它们平行并和它们距离相等的一条直线。二、点与圆的位置关系-圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d 点在圆内 ；点在圆上内； 点在圆外 。rddr三、直线与圆的位置关系-圆的半径为 r , 圆心到直线的距离为 d 两个公共点 直线与圆相交 （直线叫做圆的割线） ；一个公共点 直线与圆相切（直线叫做圆的切线） ； 无公共点 直线与圆相离 。dr四、圆与圆的位置关系-两圆外离 无公共点（注意箭头方向） ；两圆外切R一个公共点（注意箭头方向） ；
11、两圆相交 两个公共RrRr点（注意箭头方向） ； 两圆内切 一个公共点（注意箭头方向） ；两圆内含rd（d=0 是叫做同心圆） 无公共点（注意箭头方向） 。rd0五、圆的有关性质1圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。2圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度 ，都能与原来的图形重合。3不共线的三点唯一确定一个圆，即：经过不共线的三个点有且只有一个圆。思考：经过一个点，能作出多少个圆？过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在_上， 经过三个点，如何作圆，能作多少个？经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形叫做圆的内接三角形。外接圆的圆心叫
12、做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。任何三角形都有外心吗？一个三角形有唯一确定的外接圆，锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在三角形_，钝角三角形的外心在三角形_.44等圆或同圆的半径都相等。六、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心
13、到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。七、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，半圆（或直径）所对的圆周角是 90，90的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么该三角形是直角三角形，这边是斜边。【常作辅助线 3】利用直径，构造直角。八、弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
14、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 。【解题方法】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。九、圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补，外角等于它的内对角。圆内接四边形判定：对角互补的四边形内接于圆（四个顶点在同一个圆上） ，四边形的一个外角等于它的内对角时，四边形内接于圆。十、切线的性质与判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆心垂直于切线的直线必过切点。经过切点垂直于切线的直线必过圆心。切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它
15、们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。切线的判定一般有三种方法：1.定义法：和圆有唯一的一个公共点2.距离法： d=r3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。一个三角形有唯一确定的内切圆。Rt ABC 三边的长为 a、b、c，则内切圆的半径是 r=_ _2abc【解题方法 3】证切线的两种方法：当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直；当直线与圆无交点字母时，作垂直，证 rd【常作辅助线】连接圆心和切点得垂直。【常作辅助线】当直径垂直于圆内一条不是弦
16、的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直5于弦。【常作辅助线】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。圆外切四边形性质：圆外切四边形两组对边的和相等。弦切角定理：弦切角度数等于所夹弧度数的一半。弦切角等于它所夹弧对的圆周角。十一、圆幂定理相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分得的两段的乘积相等。推论：弦与直径垂直时，弦的一半是它分直径所得两段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆两个交点间线段的比例中项。割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆两个交点间线段长的积相等。十二、相交圆定理相交两圆的连心线，垂直平分公共弦。十三、两圆相
17、切性质：相切两圆的连心线必经过切点。这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便。两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等。两个圆如果有两条外(内)公切线，则它们的交点一定在连心线上。十四、圆中的计算圆的周长 C=2r=d 圆的面积 S=r如果用 S表示扇形面积，n 表示扇形圆心角的度数，r 表示半径，那么 弧长 L公式是-（角度制） ；- （弧度制） ；- 扇形的面积计算公式是 -2360rL18Lrn（角度制） = （弧度制） s2s1l【解题方法 2】当弦长=R 时，弦所对的圆心角=60, 当弦长= 时，弦所对的圆心角=90R2当弦长= 时，弦所对的圆心角=120，R3
