1、4.2 向量组的线性相关性,主要内容：一、向量组线性相关/无关的定义二、向量组线性相关/无关的判定定理,4.2 向量组的线性相关性,定义:给定向量组A:a1 ,a2 , ,am ,如果存在不全为零的数k1 ,k2 , ,km ,使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.,例,4.2 向量组的线性相关性,说明:只含一个向量a的向量组, 当a=0时是线性相关的,当a0时是线性无关的.说明:包含零向量的向量组是线性相关的.,例,4.2 向量组的线性相关性,解设数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0,则向量组 a
2、1 ,a2 , a3线性相关.,例判别向量组 的线性相关性.,例1 判别向量组的线性相关性。,解 设有数k1，k2，k3，使,显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零的数1，1，-1使 所以线性相关。,4.2 向量组的线性相关性,定理(1) 若向量组A:a1 ,a2 , ,am 线性相关,则向量组B:a1 ,a2 , ,am , am+1也线性相关.反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.,4.2 向量组的线性相关性,例,4.2 向量组的线性相关性,例,4.2 向量组的线性相关性,定理 (2) m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地,n+1个n维向量一定线性相关.,2 向量组的线性相关性,例 4个3维向量线性相关, 5个3维向量线性相关.,2 向量组的线性相关性,定理 (3) 设向量组A:a1 ,a2 , ,am 线性无关,而向量组B:a1 ,a2 , ,am , b线性相关,则向量b必能由向量组A 线性表示,且表示式是唯一的.,注：定理（3）也给出了线性相关性与线性表示的关系 若线性相关则向量b必能由向量组A 线性表示 若向量b由向量组A 线性表示，则线性相关,推论 向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,线性相关性与线性组合的关系,4.2 向量组的线性相关性,例,
