1、第六章 无限冲激响应（IIR）数字滤波器的设计,DF设计内容,1、按任务要求确定Filter的性能指标；（频响特性） 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；（求系统函数） 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；（第五章） 4、用软件或者硬件实现。,6.1 由模拟滤波器设计IIR数字滤波器,理想AF与实际AF,t0,系统不是一个因果系统，所以物理上（实际）不可实现,AF的设计过程,已知四个参数（技术指标）：通带、阻带边界频率ps，通带、阻带衰减函数ps利用已知条件，确定N、c ，求出Ha(S)H(s)的系数对应于电路的R、C、L（模拟系统即电路）验证结果把H(s)还原成频响特性，画出
2、幅频曲线，看是否满足原来的条件,以LP为例,AF的设计就是求出滤波器的系统函数Ha(S)，使其逼近理想的特性，逼近的形式（filter的类型）有Butterworth，Chebyshev等。而且逼近依据是幅度平方函数，即由幅度的平方函数确定系统函数。,一、Butterworth逼近最平幅度逼近,实际可实现的逼近通带内有最大平坦的幅度特性,AF LP滤波器的幅频特性(实际),Butterworth LP的幅频特性,1.0,0,通带,通带边界频率,p,过渡区,阻带,阻带边界频率,s,|Ha(j)|,Butterworth LP的技术指标,由通带衰减函数p，阻带衰减函数s得阶数N及截止频率c,带入频
3、响特性的表达式：,由幅度平方函数确定系统函数Ha(S),由于 所以,其中，Ha(S) 是AF的系统函数， Ha(j)是AF的频响，|Ha(j)|是AF的幅频特性。,两个系统,求出Ha(S)Ha(-S) 的极点,例：N=2时，,N=3时，,4,归一化,验证设计：Ha(j) Ha(s)| j，作代换后，分母中出现复数，写成实部、虚部的形式，即可得到幅频和相频特性,作业：6.2,二、Chebyshev逼近等波纹逼近,幅频特性,|H(j)| 1,c,s,s,已知条件：求N（推导过程略）,求H(s),将H(s)展开成多项式，化成标准形式，因为H(s)中系数对应于电路中R、C、L，必须是实系数,验证H(j
4、)=H(s)|s=j,在计算机上实现要抽样,作业：6.3,由模拟滤波器设计数字滤波器,设计思路,AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。所以DF的设计可借助AF。(1)将DF的技术指标转换成AF的技术指标；(2)按转换后技术指标求出AF LP的Ha(s) ；(3)再将AF转换为DF: Ha(s)H(z) (4)如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。,将AF转换为DF的过程中，应该使一个稳定的模拟系统映射为具有相同幅频特性的稳定的数字系统，即s平面的虚轴j映射到z平面的单位圆ej上，s平面的左半平面Res0映射到z平面的单位圆内|
5、z|1。介绍两种映射方法：冲激响应不变法双线性变换法,6.2 冲激响应不变法,基本原理和算法：,将DF的技术指标p p s s转换成AF的技术指标p p s s，设计出AF的系统函数Ha(s)，N个极点均为单极点(只考虑单极点情况)，将Ha(s)写成部分分式展开的形式：,经拉普拉斯反变换求出冲激响应ha(t)：,对ha(t)抽样后得DF得单位抽样响应h(n)：,经z变换即得DF的系统函数H(z)：,注意几个问题,（1）s平面的单极点s=si变为z平面单极点z=esiT 就可求得H(z)。（2）Ha(s)与H(z)的系数相同，均为Ai（3）AF是稳定的，DF也是稳定的。（4）S平面的极点与Z平面
6、的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。（5）修正的H(z)由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，为此做如下修正：,（6）在用Butterworth或Chebyshev逼近法求出AF的系统函数后，得到的Ha(s)的形式是：,要把Ha(s)展开成部分分式的形式，得到系数Ak，而转换的过程可以利用现有的程序（7）得到的H(z)也是部分分式的形式，还要再把它进行通分，得到分子分母均为多项式的标准形式，以便于结构的实现。,映射规则,S平面上每一条宽为 的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。,=T：线性变换,由于(-,)以2为周期，而 (-,)，在 =
7、/T的位置不为0，所以在 = 处有混叠。所以不能用来设计高通。冲激响应不变法所得的DF的幅频响应不是AF的重现，而是AF的频响的周期延拓。,所以s不要太接近，s不能太小，而s又与N有关，s越大，N越大，存储单元数越多，系统不稳定,频率参数转换,验证,画出H (ej)和Ha(j)的频响曲线进行比较，或让信号通过滤波器看输出结果，y(n)=x(n)*h(n)。 H (ej)和Ha(j)都是频率的连续函数，因此在计算机上表示时要抽样，=k0， =k0 ；0 和0 越小，曲线越光滑。,作业：6.4,6.3 双线性变换法,一、s平面到z平面的映射关系,冲激响应不变法中因s平面到z平面的多值对应关系导致频
8、响特性的混叠现象，而且只能局限于设计LP，双线性变换法采用二次映射解决这一问题。 首先将整个s平面压缩映射到s1平面的一个水平条带 范围内，然后再进行二次映射，通过 将s1平面变换到z平面上，这样就能建立s平面到z平面的一一对应关系，从而消除混叠现象。,双线性变换法的映射关系,S平面与Z平面一一对应的关系,第一次变换：频率压缩,第二次变换：数字化,S平面,S1平面,Z平面,j1,j,jImz,Rez,由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其j 轴压缩到S1平面的j1轴上的 的范围内。这可通过正切变换实现：,其中K为任意常数。由上式可知，当1由 经过0变到 时，将由- 经过0变到,通过欧
9、拉公式，可得：,上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得：,将上式关系延拓到整个S和S1平面，则有：,借助于S1平面和Z平面的映射关系： ，可以得到：,可见，也是线性分式变换（函数），这样S Z 间的变换是双向的，故称作双线性变换,二、K值的确定,1、使AF和DF的频响特性在低频部分有较确切的对应关系，即当1很小时(一般1T0.3 )有：,1，则：K=2/T,2、使AF和DF的频响特性在某一特定频率处有较确切的对应关系(如截止频率 ) ，即,此时可以较准确的控制截止频率的位置,双线性变换的特点,1、S平面的虚轴j映射到Z平面的单位圆上。这是因为=0 时，|z| =ej=
10、12、稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。3、其突出的优点是避免了频响的混叠失真。因为：,从0 时，则从0 ；即S平面的正虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部；从0 - 时，则从0 - ；即S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部；当 时， =为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。,三、基本原理和算法,由AF LP到DF LP,根据AF的设计方法(Butterworth、Chebyshev逼近)，计算阶数N、极点si和系统函数Ha(s) 由s平面与z平面之间的
11、映射关系作代换，得H(z),对给定的参数DF LP的技术指标p p s s做预畸变处理，转换成AF的技术指标p p s s，,频率响应H (ej)和Ha(j),根据系统函数分别求出AF和DF的频率响应H (ej)和Ha(j)，得到幅频特性曲线。双线性变换法得到的DF的频率响应特性中不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、带通和带阻滤波器的设计，通过一定的频带变换可得到。,从= f() 的关系曲线可以看出，在零频附近， 与之间的变换关系近似于线性，随着的增加， 表现出严重的非线性 。因此，DF的幅频响应相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有这种失真在容许的范围内时，双线性变换法才是适用的。,频率的非
12、线性失真,6.4 从原型LP到其它形式(HP、BP、BS) IIR DF的频带变换法,模拟频带变换法数字频带变换法,模拟：AF LP AF HP、BP、BS DF HP、BP、BS 数字：AF LP DF LP DF HP、BP、BS,设计步骤,模拟频带变换法设计各型DF,（1）首先将要设计的DF的技术指标(p p s s )，通过某种频率转变关系转换成AF LP的技术指标。（2）根据AF LP的技术指标求出AF LP的系统函数。（3）将AF LP转换成AF HP(BP、BS)的系统函数。（4）再将AF HP(BP、BS)的系统函数转换成对应的DF HP(BP、BS)的系统函数H(z),一、高
13、通数字滤波器的设计,设计步骤,1、将给定的DF HP的技术指标转换成AF HP的技术指标，应用双线性变换法作频率预畸变处理：2、将AF HP的技术指标转换成AF LP的技术指标，应用模拟域的频率变换；3、设计AF LP；4、应用模拟域的频率变换法，得到AF LP到AF HP的变换关系：5、应用双线性变换法得AF HP与DF HP系统函数的转换关系：即sh平面与z平面之间的映射关系：,双线性变换法DF HP设计的频率预畸变非线性关系,总结,二、带通数字滤波器的设计,设计步骤（类同HP DF）,DF,AF,DF,技术指标,AF LP系统函数、阶数N、极点,s平面和z平面转换关系,不再借助于模拟带通
14、,双线性变换法DF BP设计的频率预畸变非线性关系,= = =0=- =0=0,频率预畸变校正关系与平面对应关系,零点为z=ej0， z =e-j0，极点为z = ej0=1， z = ej=-1将s取在j轴线上，则z取在单位圆上，所以：,s=0=0,=0；r=1, =0s=0,= ；r=1, =0, ,即频率预畸变校正关系为：,带通中心频率为：,系统函数转换关系为：,三、带阻数字滤波器的设计,设计步骤、转换关系,AF BP和BS的系统函数变量互为倒数，则从AF LP到DF BS的s平面与z平面之间的映射关系为：,即频率预畸变校正关系为：,带通中心频率为：,系统函数转换关系为：,作业：6.10、6.11,
