1、- 1 -求异面直线所成角的一个公式江苏省姜堰中学 张圣官（225500）求两条异面直线所成的角，一般都用“引平行线作角，再解三角形”这一思路。本文通过对一道课本习题的变形、分析，得出求异面直线所成的角的一个公式，简单易记且便于使用。如图 1，AB 和平面 所成的角是 1，AC 在平面 内，AC 和AB 在 上的射影 AB所成的角为 2，设BAC= ，则有cos=cos 1cos 2（证明略） 。我们把该题作如下变形：在平面 内作一条平行于 AC 的直线l，显然 l 与 AB 异面，当 2 为锐角时，BAC 的大小 即为异面直线 l 与 AB 所成的角。如图 2，设 a、b 是两条异面直线，b
2、 ，a 为平面 上的射影记为 c。若 a 与 所成的角为 1，b 与 c 所成的角为 2，两条异面直线 a 和 b 所成的角为 ，则 cos=cos 1cos 2(*)。使用公式(*)时首先要确定 1 和 2，而它们都与射影 c 有关。因此，如何恰当选择 ，以便于作出 a 在 上的射影 c 就成了关键，下面以几道高考题为例。例 1（1992 年全国高考题）如图 3 所示，在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1、BB 1 的中点，那么 AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D）23105352解析选平面 AB1 为公式中的 ，显然
3、CN、AM、BB 1 就是公式中的 a、b、c 。 cos,5cos21 AMCN 21选 D.例 2（1990 年全国高考题）如图 4，正三棱锥 SABC 的侧棱与底面的边长相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与SA 所成的角等于 （ ）（A）90 0 （B）60 0 （C）45 0 （D）30 0解析选平面 SCF 为公式中的 ，AB平面 SCF， SF 为 SA 在平面 SCF 上的射- 2 -影，SA、EF 、SF 分别为公式中的 a、b、c ，SFEASFos,23cos21 ，6E 02145,c选 C.例 3（1995 年全国高考题）如图 5，A
4、1B1C1ABC 是直三棱柱，BAC=90 0，点 D1、F 1 分别是 A1B1、A 1C1 的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D ）2530105解析选平面 AC1 为公式中的 ，BCAC，BC 平面 AC1. D 1F1/B1C1/BC，D 1F1平面 AC1，CF 1 为 BD1 在平面 AC1 上的射影，直线 BD1、AF 1、CF 1 就是公式中的 a、b、c. ,53cos,630cos 121 CAFBDCF 2coscos103选 A.例 4（1996 年全国高考题）如图 6，正方形 ABCD 所在的平面
5、与正方形 ABCDEF 所在的平面成 600 的二面角，则异面直线 AD 与 BD 所成角的余弦值是_.解析选平面 BF 为公式中的 ，过 D 作 DHAF 于 H，BA平面DAH， BADH，DH平面 BF。这样，AH 为 DA 在平面 BF 上的射影，DA、BF 、AH 就是公式中的 a、b、c 。由条件， 即为所求。,45,60021 BFADAH 42cosos1例 5（2000 年上海高考题）如图 7，四面体 ABCD 中，AB、BC 、BD 两两互相垂直，且 AB=BC=2，E 是 AC 的中点，异面- 3 -直线 AD 与 BE 所成角的大小为 ，求四面体 ABCD 的体积。10
6、arcos解析 选平面 ABC 为公式中的 ，则 AD、BE 、AB 即为公式中的 a、b、c。设BD=x，则 ，而 ，由42cos1x245cs021cos)0(ar得 x=4. .,cos2 3826xVABCD例 6（2002 年全国高考题）如图 8，正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1 中，底面边长为 1，侧棱长为 ，则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是 （ ）（A）90 0 （B）60 0 （C）45 0 （D）300解析选平面 BC1 为公式中的 过 D 作 DHBC 于 H，则 DH，又E1G ，C 1H 为 E1D 在 上的射影，E 1D、BC 1、C 1H 即为公式中的 a、b、c. 在直角梯形 E1C1HD 中，E 1C1= ，DH= ，E 1D= ，C 1H= ， . 在323223cos1ECC 1BH 中，BC 1= ， ， . 因此 ，Bcos2s2.06选 B.公式(*)巧妙地把求异面直线所成的角的问题转化成了求线面角及同一平面内线线角的问题，不必添加过多的辅助线，运算上一般都化为解直角三角形的问题，也在一定程度上提高了运算的准确性。
