1、第二篇 运 动 学,引 言,运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。,第七章 点的运动学,点的运动的矢径法点的运动的直角坐标法点的运动的自然法,第二篇 运 动 学,引 言,运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面
2、来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。,第七章 点的运动学,本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随
3、时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。,8.1,点的运动的矢径法,一、点的运动方程,如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在图示位置。,由参考点O向动点M作一矢量 ，则称 为矢径。,于是动点矢径形式的运动方程为,显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。,用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。,8.1,点的运动的矢径法,二、点的速度,当 时，平均速度的极限矢量称为动点在t瞬时的速度。即,即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。,如图，动点M在时间间隔 内的位移为,8.1,点的运动的矢径法,三、点的
4、加速度,即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。,8.2,点的运动的直角坐标法,一、点的运动方程,如图，在参考体上建立直角坐标系。则,这就是直角坐标形式的点的运动方程。,由运动方程消去时间t可得两个柱面方程：,这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。,8.2,点的运动的直角坐标法,二、点的速度在直角坐标轴上的投影,由图可知，动点的矢径为,将上式两边对时间求导，可得,将动点的速度表示为解析形式，则有,比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影,这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导
5、数。,8.2,点的运动的直角坐标法,二、点的速度在直角坐标轴上的投影,若已知速度的投影，则速度的大小为,其方向余弦为,8.2,点的运动的直角坐标法,三、点的加速度在直角坐标轴上的投影,由于加速度是速度对时间的一阶导数，则,将动点的加速度表示为解析形式，则有,比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影,这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。,8.2,点的运动的直角坐标法,若已知加速度的投影，则加速度的大小为,三、点的加速度在直角坐标轴上的投影,其方向余弦为,8.2,点的运动的直
6、角坐标法,例1,杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。,解：建立如图所示的直角坐标。则,即为小环M的运动方程。,即,8.2,点的运动的直角坐标法,例1,故M点的速度大小为,故M点的加速度大小为,8.2,点的运动的直角坐标法,例2,8.2,点的运动的直角坐标法,取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为,这是旋轮线的参数方程。,例2,8.2,点的运动的直角坐标法,例2,M点的速度为：,其中 可由轮心速度求出：,当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。,此时M点的
7、加速度是否为零？为什么？,8.3,点的运动的自然法,一、运动方程,设动点M的运动轨迹如图。,S 弧坐标,当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即,这就是自然坐标形式的点的运动方程。,8.3,点的运动的自然法,二、曲率和曲率半径,当 点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率，即,M点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，即,8.3,点的运动的自然法,三、自然轴系,如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即,自然轴系不是固定的坐标系。,8.3,点的运动的自然法,四、用自然法表示点的速度,由点的速度的矢径法,即：动点沿已知轨
8、迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当 为正时指向与 相同，反之，与 相反。,8.3,点的运动的自然法,五、用自然法表示点的加速度,由点的加速度的矢径法,上式表明加速度矢量 是由两个分矢量组成：分矢量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。,8.3,点的运动的自然法,五、用自然法表示点的加速度,加速度在三个自然轴上的投影为,全加速度位于密切面内，其大小为,方向余弦为,8.3,点的运动的自然法,杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。,解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为,例3,速度为,加速度为,例4,一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为。其中v为点的速度的大小， 为轨迹的曲率半径。,证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得,（1）,由于速度在x轴上的投影始终为一常数，所以,由于,所以,例4,于是可得,因为,所以,将（1）式代入上式得,证毕。,例5,解：因为,因此,例5,例5,还可用其它方法求出，例如：,（1）,（2）,15.6,动力学普遍定理综合应用,
