1、第七章 随机变量的函数及其分布,问题的提出 二维离散型随机变量的函数的分布 二维连续型随机变量的函数的分布 小结,7.2 二维随机变量的函数,当随机变量 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 的分布?,当 为随机变量时,函数 也是随机变量.,例1：设(X,Y)的联合分布律为：,求(1)X+Y的分布律; (2)X-Y的分布律.,一、离散型分布的情形,由(X,Y)的联合分布律可列下表为：,例2 若、独立,P(=k)=ak , k=0,1,2, P(=k)=bk , k=0,1,2, ,求=+的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,解
2、：依题意,例3 若和相互独立,它们分别服从参数为 的 泊松分布,证明=+服从参数为,的泊松分布.,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,例4 设和相互独立,B(n1,p),B(n2,p),求=+的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,我们给出计算和不需要计算的两种解法:,同样，是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若 B(n1,p),则 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故=+ 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出
3、现的概率为p，于是是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即 B(n1+n2, p).,证明：依题意,由卷积公式,例5 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设(X,Y)的分布函数为F(x,y) , X，Y的边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y), ，现在求 M和N 的分布函数：,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),=F(z,z),分析：由于M=max(X,Y) 不大于z 等价于X 和Y 都不大于z，故有,FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz,Yz),= 1-1-FX(z)-FY(z)+F(z,z),= FX(z)+FY(z)-F(z,z),当X和
4、Y 相互独立时,于是有:,FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)= F(z,z),FN(z)= FX(z)+FY(z)-F(z,z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz,Yz),=1- P(Xz)P(Yz),下面进行推广,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i =0,1，, n),用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=
5、max(X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值.,下面我们再举一例，说明当X1,X2
6、为离散型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,例6 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,=P(X1=n)P(X2n)+P( X2 =n)P( X1 n),解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X
7、2 n-1),=P(X1 n)P(X2n)- P( X1 n-1) P( X2 n-1),那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？,留作课下思考,设(,)为连续型随机变量 ，具有概率密度f(x,y)，=g (,) (设g(x,y)是已知的连续函数）, 如何求出 的概率密度？,二、连续型分布的情形,为了求得的概率密度,先求的分布函数F(z)，然后对求出的的分布函数F(z)求导，并可得到的概率密度f(z).,求P(z) ,关键是设法从 g(,) z 中解出(,) ,从而得到与 g(,) z 等价的 (,) 的不等式 (,) Dz .,解：,设 的分布函数为：,当z0时,当
8、z0时,的密度函数为,从而,从前面例子可以看出， 在求随机向量(,)的函数=g(,)的分布时，关键是设法将其转化为(,)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出=g(,)的分布.,设和的联合密度为 f (x,y), 求=+的密度.,解: =+的分布函数是:F(z)=P(z)=P(+ z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,例8 连续型随机变量和的分布:,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得=+的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又
9、可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当和独立，设(,)关于,的边缘密度分别为f(x) , f(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求=+的概率密度.,例9. 若和 独立,具有相同的分布N(0,1),则=+服从正态分布N(0,2).,解:,用类似的方法可以证明:,若和 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形:,一般地,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,例10 若和 独立,具有共同的概率密度,求=+的概率密度 .,解: 由卷积公式,也即,使被积函数不为0的区域,如图所示:,也即,于是,这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：,请通过练习熟练掌握.,1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布； 2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布,
