1、 一元一次不等式（组）与方程（组）的结合培优资料考点方法破译1进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法2综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题经典考题赏析【例 1】求方程 3x+2717 的正整数解【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个，如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解解：将方程变形为 2y173x 即 2317xyy0 0 17x 即 x35又y 为正整数（即 为整数）23x173x 为偶数x 必为奇数x1，3，5当 x1
2、时， 72137xy当 x3 时， 4当 x5 时， 15xy故原方程的正整数解为 或 或x=1y=7) x=3y=4) x=5y=1)【变式题组】01求下列各方程的正整数解：2x+y10 (2) 3x+4y2102有 10 个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？【例 2】足球联赛得分规定如下：胜 1 场得 3 分，平 1 场得 1 分，负 1 场得 0 分某队在足球联赛的 4 场比赛中得 6 分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个因而所列方程的个数少于未知
3、数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例 1 的解法施行解：设该队胜了 x 场，平了 y 场 ，负了 z 场，依题意可得：x y 4 3x y 6 )得：2xz2 变形得： z2x20z202x22即 1x2又 x 为正整数x1，2相应地，y3，0 z0，2 答：这个队胜了 1 场，平了 3 场，或胜了 2，负了 2 场【变式题组】01 （佳木斯）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为 4 元、5
4、 元、6 元，购买这些钢笔需要花 60 元；经过协商，每种钢笔单价下降 1 元，结果只花了 48 元，那么可能购买甲种笔（ ） A11 支 B9 支 C7 支 D5 支02一旅游团 50 人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种其中三人间的客房每人每晚 20 元，二人间的客房每人每晚 30 元，单人间的客房每人每晚 50元(1)若旅游团共住满了 20 间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低？(2)若该旅游团中，夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起，现已知有小孩 4 人（每对夫妻最多只带 1 个小孩） ，单身 30 人，其中男性 17 人，有两名单身心脏病患者要求住
5、单人间，问这一行人共需多少间客房？【例 3】已知：关于 x、y 的方程组 若 xy，求 a 的取值范围x y=a+32x+y=5a)【解法指导】解本题的指导思想就是构建以 a 为未知数的不等式解之即得 a 的取值范围，构建不等式的依据就是 xy，而解方程组即可用 a 的代数式分别表示 x 和 y，进而可得不等式解：解方程组 得 x y a 32x y 5a) x 2a 1y a 2)xy 2a1a2 解得 a3故 a 的取值范围是 a3【变式题组】01已知：关于 x 的方程 3x(2a3) 5x (3 a6)的解是负数，则 a 的取值范围是_02已知：关于 x、y 的方程组 的解为非负数x+y
6、=3a+9x y=5a+1)(1)求 a 的取值范围；(2)化简4a+5a403当 m 为何值时，关于 x 的方程 的解大于 1？25316mx4已知方程组 的解 x、y 都是正数，且 x 的值小于 y 的值，求 m 的取值2x+y=5m+6x 2y= 17)范围【例 4】 （凉州）若不等式 的解集是1 x1，求（a+b） 2009 的值x a 2b 2x 0)【解法指导】解此不等式组得 a+2x ，而依题意，该不等式的解集又是1x1，而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合” ，从而得两等式即得方程组，解之可得 a、b 之值解：解不等式组 得 a+2xx a 2a 2x 0) 2b又此不
7、等式组的解集是1x1 解设a+2= 1=1a ) a= 3ab=2a)（a+b） 2009（1） 20091【变式题组】01若 的解集为1x 2，则 a_，b_2a+x a2 3x a)02已知：关于 x 的不等式组 的解集为 3x5，则 的值为（ x a b2x a 2b+1) a）A2 B C4 D 2 4103若关于 x 的不等式组 的解集为 x2，则 a 的取值范围是_x+a 0b)04已知：不等式组 的解庥为1x2，求（a+b） 2008 的值x+2 a+bx 1 a b)【例 5】 （永春）商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买 1 盒“福娃”玩具和 2 盒徽章共需
8、145 元；购买 2 盒“福娃”玩具和 3 盒徽章共需 280 元(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？(2)某公司准备购买这两种奥运商品共 20 盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买） ，且购买金额不能超过 450 元，请你帮该公司设计购买方案【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用题，但方程组与不等式组是分开的 分析可知：第 (1)问只需依照题目主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组 第(2)问由题目所给不等关系“购买金额不能超过 450 元”及第(1) 问所求出的数据列出不等式，从而求解解：(1)设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为 x 元和 y 元
9、依题意，得 解得x+2y=142x+3y=280) x=125y=10)答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是 125 元和 10 元(2)设购买“福娃”玩具 m 盒，则购买徽章（ 20m）盒由题意，得 125m+10（20m ）450，解得 m2.17 所以 m 可以取 1，2答：该公司有两种购买方案方案一：购买“福娃” 玩具 1 盒，徽章 19 盒；方案二：购买“福娃” 玩具 2 盒,徽章 18 盆【变式题组】01(益阳) 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3本笔记本;小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本(1)求每支钢笔和
10、每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出02 (眉山) 渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共 6000 尾，甲种鱼苗每尾 0.5 元，乙种鱼苗每尾0.8 元相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为 90%和 95%若购买这批鱼苗共用了 2600 元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？若购买这批鱼苗的钱不超过 4200 元，应如何选购鱼苗？若要使这批鱼苗的成活率不低于 93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？03 （盐城）整
11、顿药品市场，降低药品价格是国家的惠民政策之一根据国家的药品政府定价办法 ，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的 15%根据相关信息解决下列问题：降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为 6.6 元经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的 5 倍少 2.2 元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的 6 倍，两种药品每盒的零售价格之和为 33.8 元那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒 8 元和 5 元的价格销售给医院，医院根据实 际情况决定：对甲种药品每盒加价 15%对、乙种药品每盒加价 10%后零售
12、给患者实际进药时，这两种药品均以每 10 盒为 1 箱进行包装近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共 100 箱，其中乙种药品不少于 40 箱，销售这批药品的总利润不低于 900 元请问购进时有哪几种搭配方案？【例 6】认真阅读下面三个人的对话小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上 10 元钱入） 售货员：本来你用 10 元钱买一盒饼干是多余的，但再买一袋牛奶就不够了不过今天是儿童节，我给你买的饼干打九折，两样东西请拿好，还有找你的 8 角钱旁边者：一盒饼干的标价可是整数哦！根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？【解法指导】本题的条件蕴藏在对话中，应学会从对话中获取信息， “用
13、 10 元钱买一盒饼干是多余的” ， 说明一盒饼干的售价小于 10 元，此不等关系之一；“ 但再买一袋牛奶就不够了 ”，说明一盒饼干和一袋牛奶的价格之和大于 10 元，此不等关系之二对话中还包含有一个等量关系，就是用 10 元钱买上述两样东西剩余 0.8 元钱，即是说一袋牛奶与一盒饼干的价格之和等于 10 元减去 0.8 元，由一个方程和两个不等式结合最终可求出答案解：设饼干的标价为每盒 x 元，牛奶的标价为每袋元.根据题意，得x y 10 0.9x y 10 0.8 x 10 )由，得 y9.29x 将其代入，得 x+9.29x10，解得：x 8所以综合可知8x10又因为 x 为整数，所以
14、x9，y 9.29x1.1即饼干的标价为每盒 9 元，牛奶的标价为每袋 1. 1 元【变式题组】01某次足球联赛 A 组共 6 队，比赛规定采取小组循环赛的形式，取前 3 名进人决赛，记分方法为胜 1 场得 2 分，负 1 场扣 1 分，平 1 场不得分，问该小组共需比赛几场？某队得了 7 分，则它是几胜几负？能否进人决赛？02(杭州) 宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到 550 名，其中有面向全省招收的“宏志班 ” 学生，也有一般普通班学生由于场地、师资等条件限制，今年招生最多比去年增加 100 人，其中普通班学生可多招 20%， “宏志班” 学生可多招 10%问今年最少可招
15、收“ 宏志班”学生多少名？03把一些书分给几个学生，如果每人分 3 本，那么余 8 本，如果前面的每个学生分 5 本，那么最后一个同学分不到 3 本，这些书有多少本？学生有多少人？【例 7】(北京市竞赛题)已知：a、b、c 是三个非负数，并且满足3a+2b+c5，2 a+b3c1，设 m3a+b7 c，设 x 为 m 的最大值，y 为 m 的最小值求xy 的值【解法指导】要求某一代数式的最大(或最小) 值，往往依题意构建一个不等式组：若s m t，则 m 的最小值为 s，最大值为 t本题思路亦类此，首先利用前两个等式，将 c 看作已知量，解关于 a、b 的二元一次方程组，得到用含 c 的式子表
16、示 a、b 的形式，代入第三个等式，得到用含 c 的式子表示 m的形式，同时依据 a、b、c 均为非负数，得到 c 的范围，代入 m 与 c 的关系式，得 m 的范围，因而 x、y 可求解：由条件得：解得： 3a 2b=5 c2a b=1+3 c)a=7c 3b=7 11 c)则 m3a+77 c3(7c 3)+ (711 c) 7 c 3 c2由 a0，b0，c0 得7c 3 07 11c 0c 0 )解得， c 从而 x ，y 故 xy 37 711 57 111 577【变式题组】01若 a、b 满足 3a+5b7，S2a 23b，则 S 的取值范围是 02已知：x、y 、z 是三个非负
17、有理数，且满足 3 x+2 y+z5，x+yz2，若 S3 x+ yz ，则 S 的取值范围是 演练巩固 反馈提高一、填空题01方程 3x+y 10 的解有 个，其正整数解有 个02若关于 x 的不等式( a1)a+5 和 2x4 的解集相同，则 a 的值为 03已知：关于 x 的不等式 2xa3 的解集如图所示，则 a 04已知方程组 ，若未知数 x、y 满足尤 x+y0，则 m 的取值范围是 2x y=m2y x=1)05若方程组 的解满足无 x1 且 y0，则整数 k 的个数是 3x+2y=2k2y x=3 )06若 1 则 x 的取值范围是 x 1x 1二、选择题07已知：关于尤的不等
18、式组 的解为 3x5，则 的值为( )x y b2x a 2b+1) baA2 B2 C2 D108若x+11x ，3x +43x +4则 x 取值范围是 ( )A x 1 Bx 1 C x1 D x 143 43 4309已知：m、n 是整数，3 m +25n+3，且 3 m +230，5n+340，则 mn 的值是 A70 B72 C77 D8410某次测验共 20 道选择题，答对一题记 5 分，答错一题记2 分，不答记 0 分，某同学得 48 分，那么他答对的题目最多是（ ）道A9 B10 C11 D12三、解答题11学校举办奥运知识竞赛，设一、二、三等奖共 12 名，奖品发放方案如下表
19、：一等奖 二等奖 三等奖1 盒福娃和 1 枚徽章 1 盒福娃 1 枚徽章用于购买奖品的总费用不少于 1000 元但不超过 1100 元，小明在购买“福娃”和徽章前，了解到图所示的信息：求一盒“福娃” 和一枚徽章各多少元？若本次活动设一等奖 2 名，则二等奖和三等奖应各设多少名？12 （宿迁）某花农培育甲种花木 2 株，乙种花木 3 株，共需成本 1700 元；培育甲种花木3 株，乙种花木 1 株，共需成本 1500 元求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；据市场调研，1 株甲种花木的售价为 760 元，1 株乙种花木的售价为 540 元该花农决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲乙两种
20、花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的 3 倍还多 10 株，那么要使总利润不少于 21600 元，花农有哪几种具体的培育方案？13项维修工程，若由甲工程队单独做，则 40 天可以完成，需费用 24 万元；若由乙工程队单独做，则 60 天可以完成，需费用 21 万元现打算由甲、乙两工程队共同完成，要使该项目的总费用不超过 22 万元，则乙工程队至少要施工多少天？14足球联赛得分办法是胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分在一次足球赛中，南方足球队参加了 14 场比赛，至少负了 1 场，共积分 19 分试推算南方足球队胜、平、负各多少场15 （温州）某工厂用如图甲所示的长方形和正方
21、形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板 162 张，长方形纸板 340 张若要做两种纸盒共 100 个，设做竖式纸盒 x 个根据题意，完成以下表格：竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）盒纸板x正方形纸板（张） 2(100x )长方形纸板（张） 4x按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？(2)若有正方形纸板 162 张，长方形纸板 a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完 已知 290a306则求a 的值(写出一个即可)培优升级 奥赛检测01若方程组 的解满足条件 0x+y 1，则 k 的取值范围是( )4x+y=k+1x+4y=3 )A4k1 B4k0 C0k
22、9 Dk 402 （浙江省竞赛题)要使方程组 的解是一对异号的数，则 a 的取值范围是( )3x+2y=a2x+3y=2)A k3 Ba Ca3 Da 或 a343 43 4303已知 a+b+c0，abc，则 的取值范围是 ca04(新加坡竞赛题）正整数 m、n 满足 8m+9nmn+6，则 m 的最大值是 05 （“希望杯”邀请赛初一试题） （中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有 人06 （第 15 届“希望杯” 邀请赛试题）若正整数 x、y 满足 2004x15y，则 x+y 的最小值为 07 （北京市竞赛题）有 8
23、 个连续的正整数，其和可以表示成 7 个连续的正整数的和，但不能表示为 3 个连续的正整数的和，那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是 三、解答题08已知:关于 x 的方程组 的解满足 xy0，化简a+3 ax y=a+32x+y=5a)09a、b、c、d 是正整数，且 a+b20，a+c24，a+d22，设 a+b+c+d 的最大值为 M，最小值为 N，求 M N 的值10在车站开始检票时，有 a(a0) 名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需 30 分钟才可将排队等候检票的旅
24、客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需 10 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在 5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？11 （河南省竞赛题）一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒、3 粒、4 粒或 6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？12(“希望杯 ”初二竞赛题)一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字 1，黄球上标有数字 2，蓝球上标有数字 3，小明从布袋中摸出 10 个球，它们上面所标数字和等于 21，则小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？13 （第 20 届香港中学数学竞赛题）已知：n、k 皆为自然数，且 1kn，若，及 n+ka，求 a 的值1+2+3+n kn 1
