1、1抽象函数的周期与对称轴1.函数 的图象的对称性（自身）:()yfx定理 1: 函数 的图象关于直 对称 。特殊的有：2abx()()faxfb()(fabxf函数 的图象关于直线 对称 。()f 2函数 的图象关于 轴对称（奇函数） 。函数 是偶函数 关于 对称。yxy)(ff )(fy)(xfa定理 2：函数 的图象关于点 对称 ；特殊的有：()f(,)ab()2fxbfaxbafxf2 函数 的图象关于点 对称 。yx0() 函数 的图象关于原点对称（奇函数） 。()f ff 函数 是奇函数 关于点 对称。a)(xf0,a则 的图象，以 为对称中心。 4 )()(xbfxaf)2b证：方
2、法一：要证原结论成立只需证 ()(xff令 代入 则2x)(xf)afa方法二：设 它的图象为 C; 则 P 关于点 的对称点y CyP),(00,2(b),(0yxbaP ()()(00 xfbfxbafxbaf 0)yf0)fC定理 3：（性质）若 的图像有两条铅直对称轴 x=a 和 x=b(a 不等于 b),那么 为周期函数且 2|a-b|是它的一个周期。yf (fx若 的图像有一个对称中心 M(m.n)和一条铅直对称轴 x=a,那么 为周期函数且 4|a-m|为它的一个周期。()x )若 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab），则 是周期函数，且 2|
3、 ab|是其一个周期。f (f若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线 y=x 对称。2.两个函数图象的对称性:函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfx()yfx0xy函数 与函数 的图象关于直线 对称.mabm2abm特殊地: 与函数 的图象关于直线 对称()f()fa函数 的图象关于直线 对称的解析式为yxx()yfx函数 的图象关于点 对称的解析式为()f(,0)a3.若 是偶函数，则必有 ；若 是奇函数，则必有)(bxfbaf)(f )()(baxfbaxf若 为偶函数，则必有 ；若 是奇函数，则必有baxfxbx2.函数的周期性的主要结论：结论 1：如果 （
4、），周期()()ffTa结论 2：如果 （ ），周期xaxba2证：令 令 )()(ffbx)()(xfbaxf由得： f )(afaT22结论 3：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 、 对称，那么 是周期函数，其中一个周期R()fxxab()fx2Tab结论 4：如果偶函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，其中一个周期()f 0结论 5：如果奇函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，其中一个周期()f 4结论 6：如果函数同时关于两点 、 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，其中一个周期,ac,bax2Tab结论 7：如果奇函数 关于点 （ ）成中心对称，那么 是
5、周期函数，其中一个周期()fx0()f结论 8：如果函数 的图像关于点 （ ）成中心对称，且关于直线 （ ）成轴对称，那么 是周期, ba()fx函数，其中一个周期 4Tab结论 9：如果 或 ，那么 是周期函数，其中一个周期1()(fxpf1)()fxpfx()f 2Tp结论 10：如果 或 ，那么 是周期函数，其中一个周期2)ff2fffx结论 11：如果 ，那么 是周期函数，其中一个周期()(xpx(典型例题 1：设 是定义在 R 上的函数， 均有f Rx当 时 ，求0)2()xf 112)(f当 时， 的解析式。3f解：由 有 得(xf4T设 则,1(x,)x)()2(42) xfff
6、f 51)( 时31x5xf例 2：已知 满足 ，)()2()(f，当 时，4(ff6且 ，若 ，cbx2) 13)(f )(bfm， 求 、 、 的大小关系？(fnpnp解： ，对称轴 也为一条对称轴 4T4x 2b864()13cf ， ， 3cfm23fn)(ffp pn练习：设 是定义在 R 上的偶函数，且 ,当)(xf (1)()fxf1x0， ，则 f(8.6)= _12解： x = 0，x =1 是 y = f (x) 对称轴。T=2f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例 3：定义在 R 上的非常数函数满足： f (1
7、0+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 ）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数，x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还是一个偶函数。故选(A) 例 4：设定义域为 R 的函数 、 都有反函数，()f()gx并且 和 函数的图像关于直线 y=x 对称，若
8、(1)fx(2g那么 （C）。 59g4fA 1999； B 2000； C 2001； D 2002。 解： 和 函数的图像关于直线 y=x 对称(1)fx(2)g有51()2fg例 5：若函数 y=f(x)的图像有一个对称中心 A(a ,c)和一条对称轴 x=a,那么 f(x)为周期函数且 4|a-m|为它的一个周期。解析y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用 2bx 代 x 得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函数 y = f (x)图像直线 x =b 成轴对称， f (2bx) = f (x)代入（
9、*）得：f (x) = 2cf 2(a b) + x（*），x=2（ab）x 得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：3f (x) = f 4(ab) + x,故 y = f (x)是周期函数。练习 1：若函数 有3)()axfR求 。)(xf)2(f解： 知 图象关于 对称1f )0,1而 的对称中心 3f ,Pa 则)(x 26)3()(f2 已知 是定义在 R 上的函数且满足f，当 时有 则1)(),0x2)(xf是周期函数且周期为 2 1 xf当 时， 2 ,(f其中正确的是 3 43)50(f 1 2 33.对于 ， 有下列命题。xyR在同一坐标系下，函
10、数 与 的图 1 )(xfy)(xfy象关于直线 对称。若 且 均成立， 2 )1()(fxf2ff则 为偶函数。若 恒成立，则 为周期函数。 3 )()(ff )(xfy若 为单调增函数，则 （ 且 ） 4 xf xaf01a也为单调增函数，其中正确的 2 34.定义在 R 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是 ，且当 时，)(xf,0求 的值。sin)35(f解 23sin)(2)( ff5.设 定义在 R 上， 有xym，且当 时，)()(nfnmf0x1)(xf（1）求证： 且当 时，10ff（2）求证： 在 R 上递减。x解：1 令 ， 得)(1)(ff 1)(
11、0f0设 ，则 +x有 )()(xff1)()xff（2）设 则 21012即 )()(1212xfxf1)(02xf 在 R 上递减【模拟试题】1. 已知 满足 ， 且 是奇)(xf )(3(xff)(xf函数，若 则 （B ）210A. B. C. D. 232. 已知 是定义在 R 上的偶函数，且)(xf对任何实数均成立，当 时，40x，当 时， （C ）f4398)(fA. B. C. D.0xx3983. 若函数 ， 都有sin()(f Rx则 等于（D）6f)fA. 0 B. 3 C. D. 3 或4. 函数 是（C）)2cos(xyA. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数C
12、. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的奇函数45. 的图象关于 y 轴对称的充要条件（C）)2sin()xfA. B. C. D.kk2k6.如果 且 则 可以是（D）)(ff)(xffA. B. C. D.x2sincosinsi7. 为偶函数的充要条件是（B）)(3)(xyA. B. C. D.k662kk8. 设 是 R 上的奇函数， 当)(xf )()(xff时， ，则 （B）10xf5.7A. 0.5 B. C. 1.5 D.5.19. 设 ， 有 那么cbxf2)(t)2(tftf（A）A. B. )4(1ff4)(ffC. D. )2( 110. 定义在 R 上，则 与 的图象x
13、fy)(xfy)(xf关于（D）A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称011. 是 R 上的奇函数，且 ，则)(xf )(2(xff40 。)3(2)(ff)2(f 12. 图象的对称轴中最靠近 y 轴的是 。sinxy 12x13. 为奇函数，且当 时， 则当)(f)(f时 。0214.偶函数 的定义域为 R，且在 上是增函数，则xf 0,下列正确的是 (2) 。1） 2）)1()432af )1()432aff3） 4）15 如果函数 的图象关于 和 都)(xfyx)(b对称，证明这个函数满足 )2fba证： 令 ，则 ()(fafA即2Ab)()xf3.已知 对任意实数 t 都有
14、cxf2，比较 与 的大小。)1()(tt)1(f2解：对称轴是 1 324.定义在实数集上的函数 ，对一切实数 x 都有)(xf成立，若方程 仅有 101 个不()1(fxf0)(f同实根，求所有实根之和。解：设 即 u2u)3uff 所有实根之和为 23105. 求证:若 为奇函数，则方程 =0fxRfx若有根一定为奇数个。高考题：1.已知 在 R 上是奇函数，且()fxA24,(0,2)(,(7)fxf当 时 ， 则A.-2 B.2 C.-98 D.982.函数 满足 ，若 ，则 ( C )f13f9A 323.（安徽理数）若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)=1
15、，f(2)=2 则 的值为（ ）)4(fA、 B、1 C、 D、24.（09 江西卷）已知函数 fx是 ,)上的偶函数，若对于 0x，都有 (2(） ，且当 0,x时，2()logf），则 08)9ff的值为 ( C )A B 1 C D 25.(09 东兴十月)定义在 R 上的函数 的图象关于点(xf对称，且满足 ， ，,43)3)(f 1，则 _2)0(f 206(.1f6.定义在 上的函数 xf是奇函数又是以 为周期的周期函数,则 7f等于 ( B )A.-1 B.0 C.1 D.4 7.（2009 全国卷理）函数 f的定义域为 R，若(1)fx与 ()f都是奇函数， 则2)1( D ) 209A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2
