1、1第 1 章 信号分析基础11 信号的时频联合分析我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。对一个给定的信号，如 ，我们可以用众多的方法来描述它，如 的函数表达式，)(tx )(tx通过傅立叶变换所得到的 的频谱，即 ，再如 的相关函数，其能量谱或功)(jX)(tx率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感
2、受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化” ，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。给定了信号 的函数表达式，或 随 变化的曲线，我们可以由此得出在任
3、一时刻处)(txxt该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在Hz 处频率分量的大小” ，则可通过傅立叶变换来实现，即（1.1.1a）dtetxjXj)()(jtxtj21（1.1.1b）式中 ，单位为弧度/秒，将 表示成 的形式，即可得到f2)(j )(|(|jeX和 随 变化的曲线，我们分别称之为 的幅频特性和相频特性。|)(|jX)(tx2如果我们想知道在某一个特定时间，如 ，所对应的频率是多少，或对某一个特点的0t频率，如 ，所对应的时间是多少，那么傅立叶变化则无能为力。0分析（1.1.1）式，对给定的某一个频率，如 ，那么，为求得该频率处的傅氏变换0， （1.1.1a）式对
4、的积分仍需要从 到 ，即需要整个 的“知识” 。反之，)(0jXt)(tx如果我们要求出某一时刻，如 处的值 ，由（1.1.1b）式，我们需要将 对0)(0tx )jX从 至 作积分，同样也需要整个 的“知识” 。实际上，由（1.1.1a）所得jX到的傅氏变换 是信号 在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表)(jX)(tx示。反之， （1.1.1b）式也是如此，因此，傅立叶变换不具有时间和频率的“定位”功能。前已述及，信号的幅度不但随时间变化，而且对现实物理世界中的大部分信号，其频率也随时间变化。实际上，在时域中愈是在较短时间内发生幅度突变的信号，其包含的信息就愈多。但由傅立叶变换
5、 看不出在什么时刻发生了此种类型的突变。现举两个例)(j子说明这一概念。例 111 设信号 x(n)由三个不同频率的正弦所组成，即),sin(,i)(321x1022Nn（1.1.2）式中 。 为圆周频率， ， 是信号的实际频率，12312,Nsf/为抽样频率，所以 的单位为弧度， 和 的关系是 19:sf ssfT/（1.1.3）的波形如图 1.1.1(a)所示， 的傅立叶变换的幅频特性 ，如图 1.1.1(b)所)(nx)(nx |)(|jeX示。显然， 只给出了在 及 处有三个频率分量，给出了这三个频率分量的|)(|jeX21,3大小，但由此图看不出 在何时有频率 ，何时又有 及 ，即傅
6、立叶变换无时间定(x123位功能。3图 1.1.1(c)是用我们后面所讨论的方法求出的 的联合时频分布。该图是三维图形)(nx的二维投影，在该图中，一个轴是时间，一个轴是频率。由该图可清楚地看出 的时间)(nx频率关系。若将 1.1.1(c)画成三维图，则如图 1.1.1(d)所示。例 1.1.2 令 )exp()exp()(2njnj（1.1.4）该信号称作线性频率调制信号，其频率与时间序号 成正比，在雷达领域中，该信号又称作 chirp 信号，图 1.1.2(a)是其时域波形， ，图 1.1.2(b)是其频谱。显然，无论170从时域波形还是从频域波形，我们都很难看出该信号的调制类型及其他特
7、点。和图 1.1.1(c)一样，图 1.1.2(c)也是 的时频分布表示，由该图可明显看出，该信号的频率与时间成)(nx 01t 0 1 y 0 0 0 0 0 0 2 3 4 2 % 4图 1.1.1 信号的时频表示 （a）信号 x(n), (b) x(n)的频谱，(c) x(n)时频分布的二维表示，(d) x(n)时频分布的三维表示，正比，且信号 的能量主要集中在时间频率平面的这一斜线上。图 1.1.2(d)是图 1.1.2(c)的)(nx立体表示。图 1.1.2 chirp 信号的时频表示. （a）信号 x(n), (b) x(n)的频谱，(c) x(n)时频分布的二维表示，(d) x(
8、n)时频分布的三维表示， 05 t 02 5 y 0 0 1 2 3 % 5频率随时间变化的信号（如例 1.1.2 中的 ）称为时变信号。文献 13称这一类信号为)(nx“非平稳”信号，而把频率不随时间变化的信号称为“平稳”信号。此处的“平稳”和“不平稳”和随机信号中的“平稳随机信号”及“非平稳随机信号”的意义不同。平稳随机信号是指该类信号的一阶及二阶统计特征（均值与方差）不随时间变化，其自相关函数和观察的起点无关，而非平稳信号的均值、方差及自相关函数均与时间有关，即是时变的。尽管这两类说法的出发点不同，但非平稳信号的频率实质上也是时变的，因此，把频率随时间变化的信号统称为“非平稳信号”并无大
9、碍。但要说一个信号是“平稳信号” ，则要具体说明所指的是频率不随时间变化的信号还是平稳随机信号。由上述两例可以看出，傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，因此，它只适合于平稳信号，而对频率随时间变化的非平稳信号，它只能给出一个总的平均效果。现在，我们再从“分辨率”的角度来讨论傅立叶变换的不足。 “分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞） 。分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于所用的算法。对在时域具有瞬变的信号，我们希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短） ，以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态。对
10、在频域具有两个（或多个）靠得很近的谱峰的信号，我们希望频域的分辨率要好（即频域的观察间隔尽量短，短到小于两个谱峰的距离） ，以保证能观察这两个或多个谱峰。有关分辨率的讨论见文献 19的第三章。（1.1.1a）式的傅立叶变换可以写成如下的内积形式：tjexjX),()(21（1.1.5）式中 表示信号 和 的内积。若 ， 都是连续的，则yx,xyy（1.1.6a）dttx)(,*若 ， 均是离散的，则nyy)(,*（1.1.6b）内积的概念将贯穿在本书的始终。（1.1.5）式说明信号 的傅立叶变换等效于 和基函数 作内积，由于 对)(tx)(txtjetje不同的 构成一族正交基，即)(2, 2
11、1)(2121 dteejtjtj（1.1.7）由 1.5 节的讨论可知， 等于 在这一族基函数上的正交投影，即精确地反映了在)(jX)(tx6该频率处的成分大小。基函数 在频域是位于 处的 函数，因此，当用傅立叶变换来tje分析信号的频域行为时，它具有最好的频率分辨率。但是， 在时域对应的是正弦函数tje（ ） ，因此其在时域的持续时间是从 ，因此，在时域有tjtetjsinco 着最坏的分辨率。我们在“数字信号处理”的课程中已熟知，一个宽度为无穷的矩形窗（即直流信号）的傅立叶变换为一 函数，反之亦然。当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一 Sinc 函数，即TTtjAdejXsin2)(（1
12、.1.8）式中 是窗函数的高度， 是其单边宽度。 和其频谱如图 1.1.3(a)和(b)所示。A)(tx图 1.1.3 矩形窗及其频谱 (a) 时域矩形窗， （b）矩形窗的频谱显然，矩形窗的宽度 和其频谱主瓣的宽度（ ）成反比。由于矩形窗在信号处理中TT起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于 的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变)(jX换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。如果我们用基函数jt etg)(),（1.1.8）来代替傅立叶变换中的基函数 ，则tjejt etgxgx)(,)(,-T T0A tx(t) X
13、( )02AT7(1.1.9),()(* tSTFdetgxxj该式称为 的短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT） 。式中 是一窗)(tx (g函数。 （1.1.9）式的意义实际上是用 沿着 轴滑动，因此可以不断地截取一段一段的信)(t号，然后对其作傅立叶变换，故得到的是 的二维函数。 的作用是保持在时域为,)(g有限长（一般称作“有限支撑” ） ，其宽度越小，则时域分辨率越好。在频域，由于 为tje一 函数，因此仍可保持较好的频域分辨率。比较（1.1.9）式和（1.1.5）式可以看出，使用不同的基函数可得到不同的分辨率效果。有关短时傅立叶变换的
14、内容我们将在第二章详细讨论。总之，对给定的信号 ，人们希望能找到一个二维函数 ，它应是我们最关)(tx ),(tWx心的两个物理量 和 的联合分布函数，它可反映 的能量随时间 和频率 变化的形t)(tx态，同时，又希望 既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率分辨率。),(Wx法国工程师傅立叶于 1807 年提出了傅立叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的迭加。1822 年，傅立叶又提出了非周期信号分解的概念 13，这就是傅立叶变换。经过 100 多年的发展，傅立叶变换不但已经形成了一个重要的数学分支，同时也在信号分析与信号处理中起到了重要的作用。正是由于傅立叶变换，原本对人们比较抽
15、象的“频率”概念才变得具体化。在傅立叶变换理论发展的过程中，人们逐渐发现了我们在上面所说的它的一些严重不足。如，Gabor 在 1946 年提出应用时间和频率这两个坐标同时来表示一个信号，即 Gabor 展开 64：mnmntjnn eTtgCtgCtx )()()( ,（1.1.10）式中 是窗函数， 是展开系数， 代表时域序号， 代表频域序号。早在 1932 年，)(tgn,Wigner 在量子力学的研究中提出了 Wigner 分布的概念 120，到了 1948 年，Ville 将这一概念引入信号处理领域，于是得到了著名的 Wigner-Ville 时频分布，即detxttWjx )(),
16、(2*2（1.1.11）由于在积分中 出现了两次，所以又称该式为双线性时频分布，其结果 是)(tx ),(tWx8的二维函数，它有着一系列好的性质，因此是应用甚为广泛的一种信号时频分析方,t法。1966 年，Cohen 提出了如下的时频分布形式 44，即 dueguxgtCtjx )(2*221 ),()():,(（1.1.12）式中 是处在 平面的权函数，可以证明，若 1，则 Cohen 分布即变成),(g),( ),(Wigner-Ville 分布，给定不同的权函数，我们可得到不同的时频分布。在 80 年代前后提出的时频分布有十多种，后来人们把这些分布统统称为 Cohen 类时频分布，简称
17、Cohen 类，我们将在第三和第四章中详细讨论这些分布的理论与实现。在 80 年代后期及 90 年代初期所发展起来的小波变换理论已形成了信号分析和信号处理的又一强大的工具。其实，小波分析可看作信号时频分析的又一种形式。对给定的信号 ，我们希望找到一个基本函数 ，并记 的伸缩与位移)(tx )(t)(t1,()()tbabat（1.1.13）为一族函数， 和这一族函数的内积即定义为 的小波变换：)(tx )(tx*, ,(,)()xababWTatdt（1.1.14）式中， 是尺度定标常数， 是位移， 又称为基本小波或母小波。ab)(t由傅立叶变换的性质可知，若 的傅立叶变换是 ，则 的傅立叶变
18、换是)(j)(at。若 ， 表示将 在时间轴上展宽，若 ， 表示将 在)(j1)(at)(t 1t)(t时间轴上压缩。 对 的改变，即 与 对 的改变情况正好相反。我们若jja)(t把 看成一窗函数， 的宽度将随着 的不同而不同，这也同时影响到频域，即)(t)(at，由此我们可得到不同的时域分辨率和频域分辨率。由后面的讨论可知， 小，对a a应分析信号的高频部分， 大，对应分析信号的低频部分。参数 是沿着时间轴的位移，所b得结果 是信号 的“尺度位移”联合分析，它也是时频分布的一种，小波(,)xWTb)(tx的理论内容非常丰富，我们将在第三篇的各章中详细讨论。91.2 信号的多分辨率分析信号的
19、多分辨率分析（Multiresolution Analysis） ，又称信号的多分辨率分解（Multiresolution Decomposition） 。现在，我们用两个例子说明其含义。例 1.2.1，对图 1.2.1(a)的信号 ，我们欲将其传输，若用数字方法，其传输过程包括)(tx对 的数字化、量化、编码及调制等步骤。若对该信号用抽样频率 进行抽样，每一个)(tx sf抽样数据为 16bit，那么其 1 秒数据所需要的 bit 数是 ，现对 的抽样信号 作傅sf16)(tx)(nx立叶变换，其频谱如图 1.2.1(b)所示，我们发现， 的频谱能量集中在归一化频率 0.08)(nx及 0.
20、15 处，而从 0.250.5 处的能量很小。这种情况自然启发我们，对 的所有抽样数)(x据都用 16bit 表达是否太浪费？能否保证在传输过去的信号不失真的情况下，尽量减少所用的 bit 数？图 1.2.1 的时域波形及频谱， （a）时域波形, (b) 频谱()xt由于 的频谱在 00.5 之间的分布不均匀，我们设想可分别用低通和高通滤波器对)(nx0 0 0 0 0 0 05 0 1 2 3 4 5 0 0 ) 10作滤波处理。设低通滤波器 的频带在 00.25（即 ）之间，高通滤波器)(nx )(0zH2的频带在 0.250.5（即 ）之间，并设 的输出为 ， 的输出1zH2 )(z)(
21、0nx)(1zH为 ，这一滤波过程分别如图 1.2.2(a)和(b)所示， ， 如图(c)和(d)所示，其)(x 0nx1频谱分别如图(e)和(f)所示，显然， 中几乎不包含有用的信息，而 应是由两个正)(1nx )(0x弦信号加白噪声所组成。实际上，本例的 是由两个归一化频率分别为 0.08 及 0.15 的正弦信号加一定强度的白噪声所组成的。由于 的带宽在 之间， 的带宽在 之间，它们均比原信号 的)(0nx20)(1nx2 )(nx带宽（ ）减小了一半。由此我们可以想到，对 和 的抽样频率没有必要再 )(0nx1用 ，现仅用 就够了（即满足抽样定理） 。因此，图 1.2.1(a)的 和
22、后面均sf/sf )(0x1跟随了一个二抽取环节，它表示将 、 的数据每两点仅保存一个，因此实现了抽)(0nx1样频率降低一半，即 、 的抽样频率都是 。)(0v1 2/sf由于 的能量主要集中在 ，也即 中，因此，我们对它的每一个抽样点)(nx)(0x)(0v仍用 16bit 表示之，这样，对 ，1 秒钟数据所需的 bit 数是 ，由于 ，也nv 2/16sf)(1nx即 中几乎不包含有用的信息，所以我们可以用少的 bit 数来表示之，如用 4bit，那么，)(1v1 秒的数据所需的 bit 数是 。这样，表示 、 所需的 bit 数是n2/4sf )(0nv1。而原来表示 时是 ，可见经此
23、简单处理后 bit 数下降了近 40%。ssff02/)(nxsf16分析图 1.2.2(a)可知， 、 及 的抽样频率都是 ， 、 也是0)(xsf)(0zH1在 的抽样频率下实现滤波。但 、 的抽样频率是 ，在这之后对它们的处sf )(v12/s理环节均是工作在 的抽样频率下，因此，该系统是一个多抽样率系统（Multirate 2/sfSystem） 。读者可以想象得到，若用更多的滤波器，如 ， ， 来)(0zH1)(1zHM11对 作等频带间隔的分解，对得到的 ， ， 作 M 倍抽取，使)(nx )(0nx1)(1nx所得的 ， ， 的抽样频率降为 1/M，然后再依据它们的“重要性”0v
24、)(11vM给一不同的 bit 数，那么所传输的 bit 流必然会进一步下降。上述分解是将 的频谱等分成两部分，或等分成 M 部分。另一种将频谱分解的方法)(nx是按二进制（diadic）分解。 例 1.2.2 设信号 )2sin()si()2sin() 321 tftftftx3其中 =1Hz , =20Hz， =40Hz , =200Hz ,这样保证了对每一个正弦分量都可采到1f2f3fsf整周期。设数据长度取 400 点，现希望能将 的抽样 中的三个正弦信号分离出来。)(tx)(n由所给参数， 。我们可按例 1.2.1 的方法4.0,2.,01./ 31 sf 20 0 0 0 1 0
25、0 2 4 6 0 )(1H0 22/0)(0z)(1zHH0(z) 2H1(z) 2)(nx )(1nu)(00()xn1()12图 1.2.2 对 分解对过程， （a）用 、 分别对 滤波, (b) 、)(nx)(0zH1)(nx)(0zH的频带示意图,(c) ，(d) ， （e） ，(f) 1zHnx|0jX|1je利用 M 个滤波器将 均分， M 的选择应能把 、 及 三个频率分量分开。由0123于这三个频率间距相当不等，现在我们用二等分的方法将其频带逐级分开，如图 1.2.3 所示。图 1.2.3 频带的二进制逐级分解每一级的分解用序号 来表示。在 级， 被分解成低通信号 和4,32
26、1j 1j)(nx)(1na)(1nd)(1na2)(3na4d(3)(2d /004/8 Hz10Hz50Hz5.1213高通信号 ，在 级， 又被分解成低频的 和高频的 ，这样可以)(1nd2j)(1na)(2na)(2nd依次分解。显然， 的第三个分量（对应 ）应包含在 中，第二个分量（)(x4.0s )(2）应包含在 中，第一个分量（ ）应包含在 中，在2.0s 3nd1s 3na级， 中仍是第一个分量， 中应不包含信号，这些信号如图 1.2.4(a)(e)4j)(4a)(4nd所示。实现图 1.2.3 和 1.2.4 分解的系统流程图如 1.2.5 所示。图中 为低通滤波器，)(0z
27、H为高通滤波器。)(1zH分析图 1.2.4 可以看出，由于 的频带在 050Hz，它包含了 的所有三个正弦，)(1na)(nx因此，它应和图 1.2.4(a)的 基本一样。理论上， 应为零信号，但由于实现上述分x)(1nd解的滤波器 、 不会是理想的锐截止滤波器，因此， 的阻带内将会和)(0zH1 )(1zH的第三个分量相重合，故使 中有小幅度的高频（基本上等于 ）正弦。对)(nx )(1nd3f，由于其频带在 025Hz 之间，故它应包含 的第一个和第二个分量，因此它是2a )(nx这两个正弦0 05 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
28、 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 0 0114图 1.2.4 信号的二进制分解图 1.2.5 信号二进制分解的实现的迭加，而 的频带在 2550Hz 之间，因此它是 的第三个分量所在。注意：)(2nd )(nx的幅度比 大得多。进一步， 仅包含第一个分量， 仅包含第二个分)(21 )(3a)(3nd量，如图 1.2.4(c)所示。这就实现了 三个分量的分解。若将 进一步分解，那么nxa中仍是 ，而 中基本上为零。)(4na3s)(4d在上述分解过程中，每一级分解后的信号的频带都比前一级减小一倍，故在图 1.2.5
29、 中在每一级都跟随着一个二抽取环节。由于 是高通滤波器，其输出 是每一级的)(1zH)(ndj高频信号，我们称之为该级信号的“细节（detail） ”，而 是每一级的低频信号，我们)(naj称之为信号的“概貌”或“近似（approximation） ”。通过以上两个例子，我们可大致看到信号按频带分解的过程。也许有的读者会问：我们为什么要对信号作这样的分解？其一是由于信号的自然特征所决定的。一个实际的物理信号决不可能在 的范围内0有着均匀的谱。既然信号的能量在不同的频带有着不同的分布，我们自然需要对它们分别对待。如前所说，对能量大的频段所对应的信号给以较多的 bit，对能量少的频段所对应的信号给
30、以较少的 bit，这实际上是对信号分层量化的概念。此外，对不同频段所对应的信号还可给以不同的加权，或给以不同的去噪处理，等等。a1(n)H1(z) 2H0(z) 2H1(z) 2H0(z) 2H0(z) 2H1(z) 2x(n)d1(n)d3(n)a3(n)d2(n)a2(n)15其二是实际工作的需要。随着半导体技术特别是数字信号处理器（Digital Signal Processor，DSP）的飞速发展，这就为一维信号和二维图象的实时处理提供了可能。高速器件的发展推动了新的信号处理理论的发展。这些发展给我们的现实生活带来了许多革命性的变化，如语音信箱、自动翻译机、可视电话、会议电视、远程医疗
31、、高清晰度电视、数字相机、移动电话、便携式个人生理参数监护仪（如心电 Holter，脑电 Holter 等）等等。所有这些应用领域都要涉及到信号的滤波、变换、特征提取、编码、量化、压缩等众多环节中的一个或几个。而这些环节都离不开信号的分解。例如，在过去的十多年中，在图象的压缩方面，国际上已制定了 JPEG、MPEG 及 H.263 等标准 85,117。在例 1.2.1 及 1.2.2 对信号的分解过程中，我们可以看到一次次的分解将原信号 分)(nx成了一个个具有不同频带的“子带（subband ） ”信号。直观的说，若对这些子带信号各自做DFT，且做 DFT 的长度都一样，那么每一个子带信号
32、的频率分辨率是不一样的。例如，在图 1.2.3 及 1.2.4 中，对信号 的频率分辨率是 ，对 ， 的频率分辨率)(nxNfs/)(1na1d是 ，提高了一倍，对 、 是 ，对 、 是 ，这Nfs2/ 2a)(2ds433Nfs8/一分析过程是一个由“粗”及“精”的过程。因此，我们把这一类将原信号按频带分解成一个个子带信号的方法称作“多分辨率分析（或分解） ”。信号的多分辨率分析和信号的多抽样率分析是紧密相连的。信号的多抽样率分析是指对给定抽样频率 的信号 做抽样率转换（ ） ，以及研究工作在不同抽样频率下sf)(nxMLfs/系统的分析与设计问题。在过去的二十年中，多抽样率信号处理已发展成
33、为数字信号处理学科的一个重要分支，国内外已有这方面的著作出版 4,6,10,15,23。多抽样率信号处理中的核心内容是滤波器组，包括了滤波器组的分析与设计，通过滤波器组进行信号的准确重建等重要内容。图 1.2.2(a)实际上是一个两通道滤波器组的分解部分，将分解后的信号 、 经)(0nv1编码量化以后传输到目的地后，除了相应的解码以外，更应包含信号的重建部分。一个完整的两通道滤波器组如图 6.1.1 所示，一个 M 通道的滤波器组如图 7.1.1 所示。这两个滤波器组的分解部分是将 的频带均匀地等分成 M 等份，故称它们为均匀滤波器组。图)(nx1.2.5 是两通道滤波器组分解部分的级联，它们
34、构成的是一个树状滤波器组的分解部分，其频带是按二的整数幂不断分解的。有关多抽样率信号处理及滤波器组构成了本书第二篇的主要内容。上一节已经讲到，小波变换是对给定的信号作“尺度位移”分析，是时频分析的另一种形式。实际上，小波的“尺度位移”分析是按照例 1.2.2 的多分辨率分解来实现的，也即小波变换最后归结为树状滤波器组的问题，由此，读者不难看出本书第一、第二及第三篇所讨论的内容有着密切的内在联系。在此顺便指出，例 1.2.2 即是信号小波变换的一个实例，图 1.2.5 中的滤波器 、)(0zH16是对应某一种具体小波的滤波器。此外，Mallat 对信号的多分辨率分析给出了具体的)(1zH定义 8
35、，我们将在第三篇中详细讨论。1. 3 信号的时宽与带宽在信号分析与信号处理中，信号的“时间中心”及“时间宽度（time-duration） ”，频率的“频率中心”及“频带宽度（frequence-bandwidth）是非常重要的概念。它们分别说明了信号在时域和频域的中心位置及在两个域内的扩展情况。在文献中，这些概念有着不同的定义，因此，由不同的定义又可以引导出不同的解释。此处，我们采用目前绝大多数文献中所共同使用的“标准差”的定义。对给定的信号 ，假定它是能量信号，即其能量)(tx djXdtxE2212 |)(|)(| （1.3.1）式中|.|表示求范数， 是 的傅立叶变换。这样，归一化函数
36、 及)(jX(t Etx/|)(|2可看作是信号 在时域和频域的密度函数。有了这两个密度函数，我们即EX/|)(|2tx可用概率中的矩的概念来进一步描述信号的特征。例如，利用一阶矩可得到 的“时间)(tx均值”与“频率均值”：（1.3.2a）021|)(|)(tdtxtE2|X（1.3.2b）， 又称 的“时间中心”与“频率中心” 。0t)(tx由（1.3.2b）式，为求频率中心 ，需要先求出 的傅立叶变换 ，文献 130)(tx)(jX给出了不通过傅立叶变换而直接求出 的方法：如果 是复信号，我们总可把 写作 的形式，式中 和)(tx)(tx)()(tjeAt)(tA分别是 的幅度与相位，它
37、们均是 的实函数。如果 是实信号，我们可以得到t tx17的解析信号（analytic signal） 19，即)(tx)()(txjtxc（1.3.3）式中 是 的 Hilbert 变换，即)(txdtxtxt)(1)(（1.3.4）可以证明， 的傅立叶变换 在负频率处全为零，在 处等于 ，)(txc )(jXc 0)(jX而在正频率处是 的两倍，即jX)(20)(jXjc （1.3.5）这样， 保留了 频域的基本特征，而频带减小了一倍。因此，求信号的解析信)(txc)(tx号是处理信号，特别是窄带信号的一种常用方法。这样，我们可将 也表示成)(txc的形式。)(tjeA令 ，)()(XH则
38、 dtxjth)(（1.3.6）由（1.3.2b）式，有 dXHXEE )()(*21*210 由 Parsevals 定理，上式又可写成 dtxjdtE)(*)10dtetAtjeAjjtj )()()( 18 dtAjdtAtEE )()(121因为 始终为实数，所以上式的虚部应为零，即0（1.3.7）txtttEE 21210 |)(|)(式中 称为信号的瞬时频率（Instantaneous Frequence,IF）或称“平均dtt/)(瞬时频率” ，有关 IF 的概念我们将在 1.5 节讨论。这样， （1.3.7）式可解释为：信号的均值频率（或中心频率） ，是其瞬时频率在整个时间轴上
39、的加权平均，而权函数即是 。2|)(|tx信号的时间宽度和频率带宽反映的是 、 围绕 和 的扩展程度，由概率)(tx)jX0t论的知识，它们自然应被定义为密度函数的二阶中心矩，即：（1.3.8a） 20212012 |)(|)(|( tdtxdttEEtX2 |20221|)(|E（1.3.8b）显然，这是方差的标准定义。通常，我们定义 ， 分别是信号的时宽和带宽。t定义 为信号的时宽带宽积。t再令 ，类似（1.3.7）式的推导，我们可以导出 钱 ：)()(tjeAx dtAdttEE 212012 )()()(（1.3.9）由该式可以看出，信号的带宽（ ）完全由幅度、幅度的导数及相位的导数所
40、决定。如果希望信号的带宽很小，即为一窄带信号，那么，信号的幅度和相位都应是慢变的。极端的情况，如果一个信号的幅度和相位均为常数，如复正弦，那么该信号的带宽为零。令， tT2B（1.3.10）我们称 T 和 B 分别为信号 的时宽和带宽，TB 称为时宽带宽积。)(tx19当我们实际去求一个信号的 ， ， 及 时，有两个问题要考虑。一是要把这几0t2t个定义中的积分改为求和，二是式中的频率变量 要改成归一化频率，即频率轴应是0.50.5。为此， （1.3.2）及（1.3.8）式中的定标要作些改变。文献7给出了实际用于计算的的一组定义，并在 MATLAB 的“Time-Frequency Toolb
41、ox“中给出了相应的 m 文件，这几组定义是：（1.3.10a）dtxttE210|)(|X|（1.3.10b）（1.3.11a）dtxtEt 202|)(|(|（1.3.11b）， ，dtx2|)(| tT2B注意，这组式子中的 是归一化频率。例 1.3.1 令)ep()(241ttx（1.3.12）显然， 是一实的高斯信号，可以求出该信号的能量 ，因此我们称之为归一化)(tx 1E高斯信号。由高斯信号的性质，我们不用计算可知其时间均值 ，又由于该信号是实信号，有0t，由（1.3.7）式，有 。0)(t0由（1.3.9）式，我们可以求出（1.3.13a）222 )exp(dtt再由（1.3.
42、8a）式及上式，有21t（1.3.13b）显然， 及 21tTB（1.3.14）20若令 ， 及其频谱如图 1.3.1(a)和(b)所示，若用（1.3.10）及（1.3.11）式05.)(tx的定义，并利用 MATLAB 中的 Loctime.m 及 Locfreq.m 文件可求出 ， ，0t， ， ，可见本节给出的两组定义所得的 TB 差一常数 2。21.T892.B1T图 1.3.1 高斯信号及其频谱, 时域信号， 频谱()a()b例 1.3.2 记例 1.3.1 中的高斯信号为 ，令)(tgtjmex（1.3.15）则 为一高斯幅度调制信号，调制频率为 。 由于 。故 ，由)(tx 0t
43、tm)(mt)(（1.3.7）式有：mEdtx210|)(|（1.3.16）及222 )ep(tt（1.3.17）同理可求得 ，0t21t由此可以看出，该例和例 1.3.1 不同的是频率中心 变成了 ，但由于该例是纯正弦0m调制，故信号的带宽、时宽及时宽带宽积没有改变。 0 0 0 0 0 2 3 4 0 5 268 ) 21仍令 ，归一化频率等于 0.25，则本例的 及频谱如图 1.3.2(a)和(b)所示。05.)(tx所求出的 ， ， ， ， 。t2.1.T0892.B1T例 133 图 1.3.3(a)是一个高斯信号与一 chirp 信号的乘积，称之为“高斯幅度调制 chirp 信号
44、”，图 1.3.3(b)是其频谱，我们可以求出:， ， （归一化频率） ， ， ，该信280tT49.0f 7.2431.B号的时宽带宽积大于 1。图 1.3.2 高斯幅度调制信号及其频谱, 时域信号， 频谱()a()b图 1.3.3 高斯幅度调制 chirp 信号及其频谱, 时域信号， 频谱()a()b例 1.3.4，给定信号 ，设其能量为 ，时间中心，频率中心分别是 和 ，时宽)(txxE0t和带宽分别是 和 ，令t20 0 0 0 0 01 2 3 4 0 02468 ) 0 0 0 0 0 0 02 4 6 8 1 ) n 0 5 00 0 0 0 0 0 0 0 0 22)/()tx
45、s（1.3.18）其中 为常数，现研究 的能量。时、频中心及时宽与带宽。)(ts1. xs EdttxdE22|)/(|（1.3.19）2. （1.3.20a）021,0|)(ttstsE3 dtstdSEs ss 21, |)(|由于 ，所以 ，这样，)/()ttxs /()(txs/|)|/02,01 ttxEs（1.3.20b）4 ， （1.3.20c）22212, |)/(| tEst dtts tst,5同理可求出， 22,/s /,s（1.3.20d）由此可以看出，当信号 的时间尺度发生变化，即由 变成 时，若)(tx)(tx)/(t则其能量增大 倍，时间中心和时间宽度分别扩大 倍，但频率中心则移到1处，带宽也减小 倍。若 ，则上述变化正好相反。但是，不论 还是/011，其带宽和频率中心之比始终为一常数，即xs QQs 00,02/2（1.3.21）式中 Q 为信号的“品质因数 ”，可见，时间尺度变化前后所得的信号具有恒 Q 性质，这正是小波理论的基础。图 1.3.4(a)是一三角波幅度调制信号，其长度为 031
