1、2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 (2013 大纲全国，理 1)设集合 A 1,2,3， B 4,5， M x|x a b， a A， b B，则 M 中元素的个数为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 2 (2013 大纲全国，理 2) 3(1+ 3i) ( ) A 8 B 8 C 8i D 8i 3 (2013 大纲全国，理 3)已知向量 m ( 1,1)， n ( 2,2)，若 (m n) (m n)，则 ( ) A 4 B 3 C 2
2、 D 1 4 (2013 大纲全国，理 4)已知函数 f(x)的定义域为 ( 1,0)，则函数 f(2x 1)的定义域为( ) A ( 1,1) B11, 2C ( 1,0) D1,125 (2013 大纲全国，理 5)函数 f(x)2 1log 1 x(x 0)的反函数 f 1(x) ( ) A 121x (x 0) B 121x (x0) C 2x 1(x R) D 2x 1(x 0) 6 (2013 大纲全国，理 6)已知数列 an满足 3an 1 an 0， a2 43 ，则 an的前 10 项和等于 ( ) A 6(1 3 10) B 19 (1 310) C 3(1 3 10) D
3、 3(1 3 10) 7 (2013 大纲全国，理 7)(1 x)8(1 y)4的展开式中 x2y2的系数是 ( ) A 56 B 84 C 112 D 168 8 (2013 大纲全国，理 8)椭圆 C： 22 =143xy 的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P 在 C 上且直线 PA2斜率的取值范围是 2， 1，那么直线 PA1斜率的取值范围是 ( ) A13,24B33,84C1,12D3,149 (2013 大纲全国，理 9)若函数 f(x) x2 ax 1x 在 1,2是增函数 ，则 a 的取值范围是 ( ) A 1,0 B 1， ) C 0,3 D 3， ) 10 (2013
4、大纲全国，理 10)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于 ( ) A 23 B33C23D 13 11 (2013 大纲全国，理 11)已知抛物线 C： y2 8x 与点 M( 2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A， B 两点若 0MA MB，则 k ( ) A 12 B22C 2 D 2 12 (2013 大纲全国，理 12)已知函数 f(x) cos xsin 2x，下列结论中错误的是 ( ) A y f(x)的图像关于点 ( ， 0)中心对称 B y f(x)的图像关于直线 =2x 对称 C f(x
5、)的最大值为32D f(x)既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 (2013大纲全国，理 13)已知 是第三象限角， sin 13 ，则 cot _. 14 (2013 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种 (用数字作答 ) 15 (2013 大纲全国，理 15)记不等式组 0,3 4,34xxyxy所表示的平面区域为 D.若直线 y a(x 1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 _ 16 (2013 大纲全国，理 16)已知圆 O和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O的半径， OK 32
6、，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60 ，则球 O 的表面积等于 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (2013大纲全国，理 17)(本小题满分 10分 )等差数列 an的前 n项和为 Sn.已知 S3 22a ，且 S1， S2， S4成等比数列，求 an的通项公式 18 (2013 大纲全国，理 18)(本小题满分 12 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c， (a b c)(a b c) ac. (1)求 B； (2)若 sin Asin C 314 ，求 C. 19 (2013 大纲全国，理 19)(本小题满分
7、 12 分 ) 如图，四棱锥 P ABCD中， ABC BAD 90 ， BC 2AD， PAB 和 PAD 都是等边三角形 (1)证明： PB CD； (2)求二面角 A PD C 的大小 20 (2013 大纲全国，理 20)(本小题满分 12 分 )甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 12 ，各局比赛的结果相互独立，第 1 局甲当裁判 (1)求第 4 局甲当裁判的概率； (2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望 21 (2013 大纲全国，理 21)(本小题满分 12 分 )已知
8、双曲线 C： 22=1xyab (a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 3，直线 y 2 与 C 的两个交点间的距离为 6 . (1)求 a， b； (2)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点，且 |AF1| |BF1|，证明： |AF2|，|AB|， |BF2|成等比数列 22 (2013 大纲全国，理 22)(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x) 1ln(1+ ) 1xxx x . (1)若 x0 时， f(x)0 ，求 的最小值； (2)设数列 an的通项 1 1 1= 1 + 23na n ，证明： a2n an 14n ln
9、 2. 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 答案： B 解析： 由题意知 x a b， a A， b B，则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4个元素故选 B. 2 答案： A 解析： 3 2 3( 1 + 3 i ) = 1 3 3 i + 3 ( 3 i ) + ( 3 i ) = 8.故选 A. 3 答案： B 解析： 由 (m n) (m n) |m|2 |n|2 0 ( 1)2 1 ( 2)2 4 0 3.故选 B.
10、 4 答案： B 解析： 由题意知 1 2x 1 0，则 1 x 12 .故选 B. 5 答案： A 解析： 由题意知 11+x 2y x 121y(y 0)， 因此 f 1(x) 121x(x 0)故选 A. 6 答案： C 解析： 3an 1 an 0， an 1 13na. 数列 an是以 13 为公比的等比数列 a2 43 ， a1 4. S1010141 3113 3(1 3 10)故选 C. 7 答案： D 解析： 因为 (1 x)8的展开式中 x2的系数为 28C ， (1 y)4的展开式中 y2的系数为 24C ，所以x2y2的系数为 2284C C 168 .故选 D. 8
11、答案： B 解析： 设 P点坐标为 (x0， y0)，则 2200=143xy ， 2 00 2PAyk x ，1 00 2PAyk x ，于是 1222 002 2 20033 342 4 4P A P A xykk xx . 故12314PAPAk k . 2PAk 2， 1， 133,84PAk .故选 B. 9 答案： D 解析： 由条件知 f( x) 2x a21x0 在 1,2上恒成立，即21 2axx在 1,2上恒成立 函数21 2yxx在 1,2上为减函数， m a x 211ln21kkk k k . 于是 212 1 1 1 4 2 2 ( 1 )nnn knaa n k
12、k 2 1 2 12 1 1ln21nnk n k nkkk k k ln 2n ln n ln 2. 所以2 1 ln 24nnaa n . 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 I) 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 (2013 课标全国 ，理 1)已知集合 A x|x2 2x 0， B x| 5 x 5 ，则 ( ) A A B B A B R C B A D A B 2 (2013 课标全国 ，理 2)若复数 z 满足 (3 4i)z |4 3i|，则 z 的虚部为 (
13、 ) A 4 B 45 C 4 D 45 3 (2013 课标全国 ，理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 4 (2013 课标全国 ，理 4)已知双曲线 C： 22=1xyab (a 0， b 0)的离心率为 52 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) A y 14x B y 13x C y 12x D y x 5 (2013 课标全国 ，理 5)
14、执行 下 面的程序框图，如果输入的 t 1,3，则输出的 s 属于 ( ) A 3,4 B 5,2 C 4,3 D 2,5 6 (2013 课标全国 ，理 6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A 5003 cm3 B 8663 cm3 C 13723 cm3 D 20483 cm3 7 (2013 课标全国 ，理 7)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3，则 m ( ) A 3 B 4 C 5 D
15、6 8 (2013 课标全国 ，理 8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 9 (2013 课标全国 ，理 9)设 m 为正整数， (x y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a， (x y)2m 1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a 7b，则 m ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 10 (2013 课标全国 ，理 10)已知椭圆 E： 22=1xyab (a b 0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B两点若 AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为 ( ) A22=
16、145 36xyB22=136 27xyC22=127 18xyD22=118 9xy11 (2013 课标全国 ，理 11)已知函数 f(x) 2 20ln( 1) 0.x x xxx ， ，若 |f(x)| ax，则 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B ( ， 1 C 2,1 D 2,0 12 (2013 课标全国 ，理 12)设 AnBnCn的三边长分别为 an， bn， cn， AnBnCn的面积为 Sn，n 1,2,3， . 若 b1 c1， b1 c1 2a1， an 1 an， bn 1 2nnca ， cn 1 2nnba ，则 ( ) A Sn为递减数列 B Sn为
17、递增数列 C S2n 1为递增数列， S2n为递减数列 D S2n 1为递减数列， S2n为递增数列 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 (13)题第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第 (22)题第 (24)题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 (2013 课标全国 ，理 13)已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60 ， c ta (1 t)b.若 b c 0，则 t _. 14 (2013 课标全国 ，理 14)若数列 an的前 n 项和 2133nnSa，则 an的通项公式是 an _. 15 (2013 课标全国 ，理 1
18、5)设当 x 时，函数 f(x) sin x 2cos x 取得最大值，则 cos _. 16 (2013 课标全国 ，理 16)若函数 f(x) (1 x2)(x2 ax b)的图像关于直线 x 2 对称，则 f(x)的最大值为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (2013 课标全国 ，理 17)(本小题满分 12 分 )如图，在 ABC 中， ABC 90 ， AB 3 ，BC 1， P 为 ABC 内一点， BPC 90. (1)若 PB 12 ，求 PA； (2)若 APB 150 ，求 tan PBA. 18 (2013 课标全国 ，理 18)(本小题满分
19、 12 分 )如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， CA CB，AB AA1， BAA1 60. (1)证明： AB A1C； (2)若平面 ABC 平面 AA1B1B， AB CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值 19 (2013 课标全国 ，理 19)(本小题满分 12 分 )一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n 3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n 4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不
20、能通过检验 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 12 ，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望 20 (2013 课标全国 ，理 20)(本小题满分 12 分 )已知圆 M： (x 1)2 y2 1，圆 N： (x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与
21、曲线 C 交于 A， B两点，当圆 P的半径最长时，求 |AB|. 21 (2013 课标全国 ，理 21)(本小题满分 12 分 )设函数 f(x) x2 ax b， g(x) ex(cxd)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P处有相同的切线 y 4x 2. (1)求 a， b， c， d 的值； (2)若 x 2 时， f(x) kg(x)，求 k的取值范围 请考生在第 (22)、 (23)、 (24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 (2013 课
22、标全国 ，理 22)(本小题满分 10 分 )选修 4 1：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明： DB DC； (2)设圆的半径为 1， BC 3 ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径 23 (2013 课标全国 ，理 23)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为 4 5cos ,5 5sinxtyt (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2si
23、n . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标 ( 0,0 2) 24 (2013 课标全国 ，理 24)(本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲 ： 已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x) x 3. (1)当 a 2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集； (2)设 a 1，且当 x 1,22a 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国卷 I 新课标 ) 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
24、题目要求的 1 答案： B 解析： x(x 2) 0， x 0或 x 2. 集合 A 与 B 可用图象表示为： 由图象可以看出 A B R，故选 B. 2 答案： D 解析： (3 4i)z |4 3i|， 5 5 ( 3 4 i ) 3 4 i3 4 i ( 3 4 i ) ( 3 4 i ) 5 5z . 故 z 的虚部为 45 ，选 D. 3 答案： C 解析： 因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样 4 答案： C 解析： 52ce a ， 2 2 2222 54c a be aa . a2 4b2， 1= 2ba . 渐近线方程为 12by x xa . 5 答案：
25、A 解析： 若 t 1,1)，则执行 s 3t，故 s 3,3) 若 t 1,3，则执行 s 4t t2，其对称轴为 t 2. 故当 t 2 时， s 取得最大值 4.当 t 1或 3 时， s 取得最小值 3，则 s 3,4 综上可知，输出的 s 3,4故选 A. 6 答案： A 解析： 设球半径为 R，由题可知 R， R 2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即 OBA 为直角三角形，如图 BC 2， BA 4， OB R 2， OA R， 由 R2 (R 2)2 42，得 R 5， 所以球的体积为 34 5005 33 (cm3)，故选 A. 7 答案： C 解析： Sm 1 2， Sm
26、0， Sm 1 3， am Sm Sm 1 0 ( 2) 2， am 1 Sm 1 Sm 3 0 3. d am 1 am 3 2 1. Sm ma1 12mm 1 0， 1 12ma . 又 am 1 a1 m1 3， 1 32m m . m 5.故选 C. 8 答案： A 解析： 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r24 12 422 8 16.故选 A. 9 答案： B 解析： 由题意可知， a 2Cmm ， b 21Cmm ， 又 13a 7b， 2 ! 2 1 !1 3
27、 = 7! ! ! 1 !mmm m m m ， 即 13 2 171mm .解得 m 6.故选 B. 10 答案： D 解析： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， A， B 在椭圆上， 22112222221,1,xyabxyab ，得 1 2 1 2 1 2 1 222 =0x x x x y y y yab ， 即 2 1 2 1 22 1 2 1 2= y y y yba x x x x ， AB 的中点为 (1， 1)， y1 y2 2， x1 x2 2， 而 1212yyxx kAB 0 1 1=3 1 2 ， 22 1=2ba . 又 a2 b2 9， a2 18，
28、b2 9. 椭圆 E 的方程为 22=118 9xy .故选 D. 11 答案： D 解析： 由 y |f(x)|的图象知： 当 x 0 时， y ax 只有 a0 时，才能满足 |f(x)| ax，可排除 B， C. 当 x0 时， y |f(x)| | x2 2x| x2 2x. 故由 |f(x)| ax得 x2 2x ax. 当 x 0 时，不等式为 00 成立 当 x 0 时，不等式等价于 x 2 a. x 2 2， a 2. 综上可知： a 2,0 12 答案： B 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 (13)题第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第 (22)题第 (2
29、4)题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 答案： 2 解析： c ta (1 t)b， b c ta b (1 t)|b|2. 又 |a| |b| 1，且 a 与 b 夹角为 60 ， b c， 0 t|a|b|cos 60 (1 t)， 0 12t 1 t. t 2. 14 答案： ( 2)n 1 解析： 2133nnSa， 当 n2 时，112133nnSa. ，得12233n n na a a ， 即1nnaa 2. a1 S112133a， a1 1. an是以 1为首项， 2为公比的等比数列， an ( 2)n 1. 15 答案： 255
30、 解析： f(x) sin x 2cos x 125 s in c o s55xx， 令 cos 15， sin 25， 则 f(x) 5 sin( x)， 当 x 2k 2 (k Z)时， sin( x)有最大值 1， f(x)有最大值 5 ， 即 2k 2 (k Z)， 所以 cos cos 2 +2k cos2 sin 2 2 555 . 16 答案： 16 解析： 函数 f(x)的图像关于直线 x 2 对称， f(x)满足 f(0) f( 4)， f( 1) f( 3)， 即 1 5 1 6 4 ,0 8 9 3 ,b a bab 解得 8,15.ab f(x) x4 8x3 14x2
31、 8x 15. 由 f( x) 4x3 24x2 28x 8 0， 得 x1 2 5 ， x2 2， x3 2 5 . 易知， f(x)在 ( ， 2 5 )上为增函数，在 ( 2 5 ， 2)上为减函数，在 ( 2，2 5 )上为增函数，在 ( 2 5 ， ) 上为减函数 f( 2 5 ) 1 ( 2 5 )2( 2 5 )2 8( 2 5 ) 15 ( 8 45)(8 45) 80 64 16. f( 2) 1 ( 2)2( 2)2 8( 2) 15 3(4 16 15) 9. f( 2 5 ) 1 ( 2 5 )2( 2 5 )2 8( 2 5 ) 15 ( 8 45)(8 45) 80
32、 64 16. 故 f(x)的最大值为 16. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 解： (1)由已知得 PBC 60 ，所以 PBA 30. 在 PBA 中，由余弦定理得 PA2 1 1 73 2 3 c o s 3 04 2 4 . 故 PA 72 . (2)设 PBA ，由已知得 PB sin . 在 PBA 中，由正弦定理得 3 s ins in 1 5 0 s in (3 0 ) ， 化简得 3 cos 4sin . 所以 tan 34 ，即 tan PBA 34 . 18 (1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B. 因为 CA CB，所
33、以 OC AB. 由于 AB AA1， BAA1 60 ， 故 AA1B 为等边三角形， 所以 OA1 AB. 因为 OC OA1 O，所以 AB 平面 OA1C. 又 A1C 平面 OA1C，故 AB A1C. (2)解：由 (1)知 OC AB， OA1 AB. 又平面 ABC 平面 AA1B1B，交线为 AB， 所以 OC 平面 AA1B1B， 故 OA， OA1， OC 两两相互垂直 以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向， |OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 由题设知 A(1,0,0)， A1(0， 3 ， 0)， C(0,0， 3 )， B
34、( 1,0,0) 则 BC (1,0， 3 )， 1BB 1AA ( 1， 3 ， 0)， 1AC (0， 3 ， 3 ) 设 n (x， y， z)是平面 BB1C1C 的法向量， 则10,0,BCBB nn即 3 0,3 0.xzxy 可取 n ( 3 ， 1， 1) 故 cos n， 1AC 11ACACnn 105 . 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105 . 19 解： (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质
35、品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A (A1B1) (A2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥，所以 P(A) P(A1B1) P(A2B2) P(A1)P(B1|A1) P(A2)P(B2|A2) 4 1 1 1 31 6 1 6 1 6 2 6 4 . (2)X 可能的取值为 400,500,800，并且 P(X 400) 4 1 111 16 16 16 ， P(X 500) 116 ， P(X 800) 14 . 所以 X 的分布列为 X 400 500 800 P 1116 116 14 EX 1 1 1 14 0 0 + 5 0 0 + 8 0 01 6 1 6
36、 4 506.25. 20 解：由已知得圆 M 的圆心为 M( 1,0)，半径 r1 1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2 3. 设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R. (1)因为圆 P与圆 M 外切并且与圆 N内切， 所以 |PM| |PN| (R r1) (r2 R) r1 r2 4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外 )，其方程为 22=143xy (x 2) (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于 |PM| |PN| 2R 22 ， 所以 R2 ，当且仅当圆 P 的圆心为 (2
37、,0)时， R 2. 所以当圆 P的半径最长时，其方程为 (x 2)2 y2 4. 若 l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 |AB| 23. 若 l的倾斜角不为 90 ，由 r1 R知 l不平行于 x轴，设 l与 x轴的交点为 Q，则1|QP RQM r ，可求得 Q( 4,0)，所以可设 l： y k(x 4) 由 l 与圆 M相切得2|3 | =11 kk ， 解得 k 24 . 当 k 24 时，将 2 24yx代入 22=143xy ， 并整理得 7x2 8x 8 0， 解得 x1,2 4 6 27 . 所以 |AB| 221 181 | | 7k x x . 当 2
38、4k 时，由图形的对称性可知 |AB| 187 . 综上， |AB| 23或 |AB| 187 . 21 解： (1)由已知得 f(0) 2， g(0) 2， f(0) 4， g(0) 4. 而 f( x) 2x a， g( x) ex(cx d c)， 故 b 2， d 2， a 4， d c 4. 从而 a 4， b 2， c 2， d 2. (2)由 (1)知， f(x) x2 4x 2， g(x) 2ex(x 1) 设函数 F(x) kg(x) f(x) 2kex(x 1) x2 4x 2， 则 F( x) 2kex(x 2) 2x 4 2(x 2)(kex 1) 由题设可得 F(0)
39、0 ，即 k1. 令 F( x) 0 得 x1 ln k， x2 2. 若 1 k e2，则 2 x10. 从而当 x ( 2， x1)时， F( x) 0；当 x (x1， ) 时， F( x) 0.即 F(x)在 ( 2， x1)单调递减，在 (x1， ) 单调递增故 F(x)在 2， ) 的最小值为 F(x1) 而 F(x1) 2x1 2 21x 4x1 2 x1(x1 2)0. 故当 x 2时， F(x)0 ，即 f(x) kg(x)恒成立 若 k e2，则 F( x) 2e2(x 2)(ex e 2) 从而当 x 2 时， F( x) 0，即 F(x)在 ( 2， ) 单调递增 而
40、F( 2) 0，故当 x 2 时， F(x)0 ，即 f(x) kg(x)恒成立 若 k e2，则 F( 2) 2ke 2 2 2e 2(k e2) 0. 从而当 x 2 时， f(x) kg(x)不可能恒成立 综上， k 的取值范围是 1， e2 请考生在第 (22)、 (23)、 (24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 (1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G. 由弦切角定理得， ABE BCE. 而 ABE CBE，故 CBE BCE， BE CE. 又因为 DB BE， 所以
41、DE 为直径， DCE 90 ， 由勾股定理可得 DB DC. (2)解：由 (1)知， CDE BDE， DB DC， 故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG 32 . 设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 BOG 60. 从而 ABE BCE CBE 30 ， 所以 CF BF，故 Rt BCF 外接圆的半径等于 32 . 23 解： (1)将 4 5cos ,5 5sinxtyt 消去参数 t，化为普通方程 (x 4)2 (y 5)2 25， 即 C1： x2 y2 8x 10y 16 0. 将 cos ,sinxy 代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得 2 8 cos 10 sin 16 0. 所以 C1的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0. (2)C2的普通方程为 x2 y2 2y 0. 由 22228 1 0 1 6 0 ,20x y x yx y y 解得 1,1xy 或 0,2.xy 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 2,4， 2,2. 24 解： (1)当 a 2 时，不等式 f(x) g(x)化为 |2x 1| |2x 2| x 3 0. 设函数 y |2x 1| |2x 2| x 3， 则 y15 , ,212
