1、1带电粒子在符合场中的运动经典题型一、选择题1.如图所示，真空中有两个等量异种点电荷 A、 B， M、 N、 O 是 AB 连线的垂线上的点，且 AO OB一带负电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线所示，设 M、 N 两点的场强大小分别 EM、 EN，电势分别为 M、 N下列判断中正确的是 （ ）dyszA B 点电荷一定带正电B EM小于 EN C M大于 ND此试探电荷在 M 处的电势能小于 N 处的电势能2. 如图 2 所示，某点 O 处固定点电荷+ Q，一个带电为- q1的点电荷以O 点为圆心做匀速圆周运动，另一带电为- q2的点电荷以 O 为焦点做椭圆轨道运动，两个轨道相切
2、于 P 点，两个电荷的质量相等且 q1 q2，它们之间的静电引力和万有引力均可忽略，设- q1、- q2先后经过P 点时速度大小分别为 V1、 V2，加速度大小分别为 a1、 a2，下述关系式正确的是 （ ）dyszA a1=a2 B a1V2 D V1=V23. 如图所示，两个等量同种点电荷分别固定于光滑绝缘水平面上 A、 B 两点。一个带电粒子由静止释放，仅受电场力作用，沿着 AB 中垂线从 C 点运动到 D 点（ C、 D 是关于 AB 对称的两点） 。下列关于粒子运动的 v-t 图像中可能正确的是 （ ）dysz4.如图所示， A、 B 带等量异种电荷， MN 为 A、 B 连线的中垂
3、线，现有一带电粒子从 M 点以一定的初速度 V 射入，开始一段时间内的轨迹如图中实线所示，不考虑粒子所受的重力。则：( ) dyszA该粒子带负电 B该粒子的速率先增大后减小C该粒子的电势能先增大后减小D该粒子做的是匀变速运动5.我国第 21 次南极科考队在南极观看到了美丽的极光，极光是由来自太阳的高能量带电粒子流高速冲进高空稀薄大气层时，被地球磁场俘获，从而改变原有运动方向，向两极做螺旋运动，如图所示这些高能粒子在运动过程中与大气分子或原子剧烈碰撞或摩擦从而激发大气分子或原第1题图O BMNAA B C D第8题图v v v vttttO O O OA BCDMNA BV-q1P-q2O +
4、Q图 22子，使其发出有一定特征的各种颜色的光地磁场的存在，使多数宇宙粒子不能达到地面而向人烟稀少的两极偏移，为地球生命的诞生和维持提供了天然的屏障，科学家发现并证实，向两极做螺旋运动的这些高能粒子的旋转半径是不断减小的，这主要与下列哪些因素有关（ ）A洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小 B空气阻力做负功，使其动能减小C南北两极的磁感应强度增强 D太阳对粒子的引力做负功二、计算题6真空中有一匀强电场，方向沿 Ox 正方向，若一带电粒子质量为 m，电荷量为 q，从 O 点以初速度 v0沿 Oy 方向进入电场，经 t 时间到达 A 点.此时速度大小也为 v0，方向为 Ox 轴正方向，如图所示，试求
5、：（1）从 O 到 A 的时间 t 及 OA 连线与 Ox 轴的夹角 ；（2）该匀强电场的电场强度 E；（3）若设 O 点为零电势，则 A 点电势为多少？(已知当地的重力加速度为 g)7. 如图（a）所示, 水平放置的平行金属板 AB 间的距离 d=0.1m，板长 L=0.3m,在金属板的左端竖直放置一带有小孔的挡板,小孔恰好位于 AB 板的正中间.距金属板右端 x=0.5m 处竖直放置一足够大的荧光屏现在 AB 板间加如图（b）所示的方波形电压，已知 U0=1.0102V在挡板的左侧，有大量带正电的相同粒子以平行于金属板方向的速度持续射向挡板，粒子的质量 m=1.010-7kg，电荷量 q=
6、1.010-2C，速度大小均为 v0=1.0104m/s带电粒子的重力不计求：（1）在 t=0 时刻进入的粒子射出电场时竖直方向的速度；（2）荧光屏上出现的光带长度；（3）若撤去挡板，同时将粒子的速度均变为 v=2.0104m/s，则荧光屏上出现的光带又为多长?UU0-U00 1 2 3 4 5 6t/10-5 s（b）dxLABOv0v0（a）38.如图甲所示的平面坐标系 ，整个区域内存在匀强磁场，磁感应强度 随时间 t 的变化关系如图xoyB乙所示，开始时刻磁场的方向垂直于纸面向内， t =0 时刻，有一个带正电的粒子（不计重力）从坐标原点 0 沿 轴正方向进入磁场，初速度为 ，已知带电粒
7、子的比荷为 ，x 302.1/vms41.0/ckg试求： （1） 时刻，粒子的位置坐标；43ts（2）粒子从开始时刻起经过多长时间到达 轴；y（3）粒子能否返回坐标原点？若可以则经过多长时间返回坐标原点？9. 如图所示， K 与虚线 MN 之间是加速电场。虚线 MN 与 PQ 之间是匀强电场，虚线 PQ 与荧光屏之间是匀强磁场，且 MN、 PQ 与荧光屏三者互相平行.电场和磁场的方向如图所示。图中 A 点与 O 点的连线垂直于荧光屏。一带正电的粒子从 A 点离开加速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在荧光屏上。已知电场和磁场区域在竖直
8、方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为 U= Ed，式中的 d 是偏转电场的宽度，磁场的磁感21应强度 B 与偏转电场的电场强度 E 和带电粒子离开加速电场的速度 v0关系符合表达式 v0= ，若题BE中只有偏转电场的宽度 d 为已知量，求：（1）磁场的宽度 L 为多少？（2）带电粒子在电场和磁场中垂直于 v0方向的偏转距离分别是多少？KAMNPQOBELv0dU410.如图所示，在直角坐标系的原点 O 处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子。在放射源右边有一很薄的挡板，挡板与 xoy 平面交线的两端 M、 N 与原点 O 正好构成等腰直角三角形。已知带电
9、粒子的质量为 m，带电量为 q，速度为 ， MN 的长度为 L。（1）若在 y 轴右侧加一平行于 x 轴的匀强电场，要使 y 轴右侧所有运动的粒子都能打到挡板 MN 上，则电场强度 E0的最小值为多大？在电场强度为 E0时，打到板上的粒子动能为多大?（2）若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使板右侧的 MN 连线上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少(用 m、 、 q、 L 表示)?若满足此条件，放射源 O 向外发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边?11.如图所示，在 0xa、oy 2a范围内有垂直于 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。坐标原点 O 处有
10、一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0 9范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 2a到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度大小；(2)速度方向与 y 轴正方向夹角正弦。5答案1. AB 2. C 3. CD 4. AB 5. BC6. （1）粒子从 O 到 A 的运动Oy 方向 0-v 2=-gt；0-v 02=2（-g）yOx 方向 v 0= 而 Y/X=tan联立可得 =
11、45，t=Y 0/g（2）据得 qE/m=g该匀强电场的电场强度 E=mg/q.（3）若设 O 点为零电势，则 A 点电势为 A，在水平方向上只受电场力作用，则电场力做功电势能减少，动能增加.由 WQA=7. 解：（1）从 t=0 时刻进入的带电粒子水平方向速度不变。在电场中运动时间 t=L/v0=310-5s ，正好等于一个周期 （1 分）竖直方向先加速后减速，加速度大小 （1 分）280m/sdqUa射出电场时竖直方向的速度 （2 分）/13Tv（2）无论何时进入电场，粒子射出电场时的速度均相同。偏转最大的粒子偏转量 （2 分）m1053132221 .)T(a)(ad反方向最大偏转量 （
12、2 分）3 2T形成光带的总长度 l=4.010-2m （2 分）（3）带电粒子在电场中运动的时间为 T/2，打在荧光屏上的范围如图c 所示。（2 分）1075221.vxaTd（2 分）6形成的光带长度 l=d1+ d+ d2=0.15m （2 分）8. 解：（1）粒子进入磁场后在磁场中作匀速圆周运动，设半径为 ，周期为 ，由洛伦兹力提供向RT心力得：dd1d2xLABO图（c）6（4 分） 20.vBqmR（4 分）21TsBq在磁场变化的第一段时间内粒子运动个周期，对应转过的圆心角为13到达 A 点，如图甲所示，则 A 点20的坐标为 1cos30.2in6xRmyO（4 分）（2）根据
13、（1）中的解析，粒子在第一段磁场变化时间内，运动了 个周期，对应转过的圆心角为13到达 A 点；第二段时间内运动 个周期,对应转过的圆心角为 到达 B 点，第三段时间内运动01660了 个周期，对应转过的圆心角为 到达 C 点，且粒子恰垂直通过 轴，轨迹如图甲所示，故粒子320y从开始到经过 轴的时间为：y（5 分）413ts（3）粒子在磁场中作周期性运动，根据对称性和周期性，画出粒子运动的轨迹如图乙所示，其中构成一个正三角形，故粒子从开始到返回坐标原点的总时间为： 2610o、 、s （5 分）9.1）粒子在加速电场中由动能444261021033Tss定理有 0mvqU粒子在匀强电场中做类
14、平抛运动，设偏转角为 ，有70tanyvytqEam0dtvU= Ed 21由解得： =45由几何关系得：带电粒子离开偏转电场速度为 02v粒子在磁场中运动，由牛顿第二定律有： qvB=mv2R在磁场中偏转的半径为，由图可知，磁场宽度 L=Rsin =d dqEvmqBR2/00（2）带电粒子在偏转电场中距离为在磁场中偏转距离为8.解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： 21mvqEL带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： RBv2由以上两式，可得 。qmELR21可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图所示，三段圆弧的圆心组成的三角形 O1O2O3是等边三角dy41.02)1
15、(2KAMNPQOBEd LUv0v yv)(2120vy8形，其边长为 2R。所以中间磁场区域的宽度为 qmELBd610sin（2）在电场中 ，vat221在中间磁场中运动时间 qBmTt32在右侧磁场中运动时间 ，t563则粒子第一次回到 O 点的所用时间为10. 解：由题意知，要使 y 轴右侧所有运动粒子都能打在 MN 板上，其临界条件为：沿 y 轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在 M 或 N 点。M O= L= t 21a= mqE0OO= L = at2 1解式得E0= q24由动能定理知qE0 L =Ek 212m解式得Ek= 5由题意知，要使板右侧的 MN 连线上都有粒子打到
16、，粒子轨迹直径的最小值为 MN 板的长度 L。R0= L= 210qBmOO3O1O2600 1 2 xyOMN 1 2 xyOMNO1O29B0= qLm2放射源 O 发射出的粒子中，打在 MN 板上的粒子的临界径迹如图所示。 OM=ON，且 OM ON OO1 OO2 1 2放射源 O 放射出的所有粒子中只有 打在 MN 板的左侧。4111. 带电粒子在场中的运动1如图所示，在 x 轴上方有匀强电场，场强为 E；在 x 轴下方有匀强磁场，10磁感应强度为 B，方向如图，在 x 轴上有一点 M，离 O 点距离为 L现有一带电量为十 q 的粒子，使其从静止开始释放后能经过 M 点如果把此粒子放
17、在 y 轴上，其坐标应满足什么关系？（重力忽略不计）2如图，在直角坐标系的第象限和第象限中的直角三角形区域内，分布着为B5.010 3 T 的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里质量为 m6.6410 27 、电荷量为 q3.210 19 C 的 粒子（不计 粒子重力） ，由静止开始经加速电压为U1205V 的电场（图中未画出）加速后，从坐标点 M（ 4， ）处平行于 x 轴向2右运动，并先后通过两个匀强磁场区域(1)请你求出 粒子在磁场中的运动半径；(2)你在图中画出 粒子从直线 x 4 到直线 x4 之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线 x4 交点的坐标；(3)求出 粒子在两个磁场区域偏
18、转所用的总时间3如图所示，图中虚线 MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O 是 MN 上的一点，从 O 点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为 m、速率为 v 的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的 P 点相遇，P到 O 的距离为 L，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；（2）求这两个粒子从 O 点射入磁场的时间间隔。114如图所示，水平放置的平行金属板，长为 l=140cm，两板之间的距离 d=30cm，板间有图示方向的匀强磁场，磁感应
19、强度的大小为 B=1.310-3T两板之间的电压按图所示的规律随时间变化（上板电势高为正） 在 t=0 时，粒子以速度 v=4103m/s 从两板（左端）正中央平行于金属板射入，已知粒子质量 m=6.6410-27kg，带电量 q=3.210-19C试通过分析计算，看粒子能否穿越两块金属板间的空间，如不能穿越，粒子将打在金属板上什么地方？如能穿越，则共花多少时间？5.如图所示，在坐标系 Oxy 的第一象限中存在沿 y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。A 是 y 轴上的一点，它到坐标原点 O 的距离为 h；C 是 x 轴上的一点，到 O 的距离为
20、 l。一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电场区域，继而同过 C 点进入磁场区域，并在此通过 A 点，此时速度与 y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：（1）粒子经过 C 点是速度的大小和方向；（2）磁感应强度的大小 B。t/10-4s1 2 3 54O156U/V12参考答案1解析：由于此带电粒子是从静止开始释放的，要能经过 M 点，其起始位置只能在匀强电场区域物理过程是：静止电荷位于匀强电场区域的 y 轴上，受电场力作用而加速，以速度 v 进入磁场，在磁场中受洛仑兹力作用作匀速圆周运动，向 x 轴偏转回转半周期过 x 轴重新进入电场，在电场中
21、经减速、加速后仍以原速率从距 O 点 2R 处再次超过 x 轴，在磁场回转半周后又从距 O 点 4R 处飞越 x 轴如图所示（图中电场与磁场均未画出）故有L2R，L22R，L 32R 即 RL/2n， （n=1 、2、3 ） 设粒子静止于 y 轴正半轴上，和原点距离为 h，由能量守恒得mv22=qEh 对粒子在磁场中只受洛仑兹力作用而作匀速圆周运动有：Rmv qB 解式得：hB 2qL28n 2mE （nl、2、3）2解析：(1) 粒子在磁场中偏转，则牛顿第二定律得21mvqU rvmq联立解得 （m）2102.356405.97Br(2)由几何关系可得， 粒子恰好垂直穿过分界线，故正确图象为
22、(3)带电粒子在磁场中的运动周期 qBmvrT2 粒子在两个磁场中分别偏转的OM2224 4 x/my/m2vBB （4， 2）13弧度为 ，运动总时间4（s）631927105.0.32641 qBmTt3解：（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R，由牛顿第二定律得 ，RvmqB2则 qvR（2）如图 2 所示，以 OP 为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在 P 点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为 O1、O 2，过 O 点的直径分别为 OO1Q1、OO 2Q2，在 O 点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用 表示它们之间的夹角。由几何关系可知， ，从 O 点射入到相遇，粒子
23、 1 的路程为半个圆21QP周加弧长 Q1P=R ，粒子 2 的路程为半个圆周减弧长 PQ2=R粒子 1 的运动时间为 ，其中 T 为圆周运动的周期。vt1粒子 2 运动的时间为 两粒子射入的时间间隔为 R2vRt1因为 所以 有上述算式可解得 2cosLRL2arcos)ar(4mvqBt4根据题意可知，两金属板间的匀强电场是间断存在的有电场时，电场方向由上板指向下板，场强大小为 E=U/d=1.56V/0.3m=5.2V/m粒子进入板间在 01.010 4s 内受向下的电场力 Eq 和向下的磁场力 Bqv 作用，由于电场力与磁场力之比 可见在这段时间里粒子作匀速直103.1253Bqv线运
24、动，它的位移 在接着的4m.st1.010 s2.010 4 s 时间内，电场撤消， 粒子只受磁场力作用，将作匀速圆周运4动，轨道半径为 2733196.0c6.81.mvRBq轨道直径 d2R=12.76cm 0，0 0，x a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质量为 m、带电量为 q（q 0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0 a 的区域中运动的时间之比为 2:5，在磁场中运动的总时间为 7T/12，其中 T 为该粒
25、子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响） 。解：粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为 ： mvrqB速度小的粒子将在 xa 的区域中运动的时间，由题意可知由此解得：125t127Tt 16T2由式和对称性可得 60OCM0MCN18 所以 536012MCP 15069NCP即弧长 AP 为 1/4 圆周。因此，圆心 在 x 轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为 R，有直角 可得 O2sinRa23R由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标321xa4、带电粒子在有界磁场中的极值问题寻找产生极值的条件：直径
26、是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的极值。有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处，如图所示相同的速率 v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为 m，电量为 e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B 的匀强磁场后，都能平行于 x 轴沿+x 方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积 s。解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 Rmv 0/Be 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以
27、 R 为半径的圆弧 O1O2On。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆 O2而言，要使电子能平行于 x 轴向右飞出磁场，过 O2作弦的垂线 O2A，则电子必将从点 A 飞出，相当于将此轨迹的圆心 O2沿 y 方向平移了半径 R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O1O2On沿 y 方向向上平移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧 OAP 示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围。利用正方形 OO1PC 的面积减去扇形 OO1P 的面积即为OBPC 的面积
28、；即 R2-R 2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S2（R 2-R 2/4）（/2 -1）（mv 0/Be） 2。5、带电粒子在复合场中运动问题复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。19（07 四川）如图所示，在坐标系 Oxy 的第一象限中存在沿 y 轴正方形的匀强电场，场强大小为 E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是 y 轴上的一点，它到座标原点 O 的距离为 h；C 是 x 轴上的一点，到 O 点
29、的距离为 l ，一质量为m、电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电场区域，继而通过C 点进入大磁场区域，并再次通过 A 点。此时速度方向与 y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：yyEA CO（1）粒子经过 C 点时速度的大小合方向；（2）磁感应强度的大小 B。（1）以 a 表示粒子在电场作用下的加速度，有mqE加速度沿 y 轴负方向。设粒子从 A 点进入电场时的初速度为 v0，由 A 点运动到 C 点经历的时间为 t，则有、 21athvl0由式得 hl2设粒子从点进入磁场时的速度为 v，v 垂直于 x 轴的分量v1 由式得2ahv1 0124qElmh设粒
30、子经过 C 点时的速度方向与 x 轴的夹角为 ，则有tan 10v由式得 lh2arctn（2）粒子经过 C 点进入磁场后在磁场中作速率为 v 的圆周运动。若圆周的半径为 R，则有20RvmqB2设圆心为 P，则 PC 必与过 C 点的速度垂且有 R。用 表示 与 yPCAPA轴的夹角，由几何关系得 hRcossinsil由式解得R 224hll由式得B 21mEhlq6、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解。在半径为 r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强
31、磁场，磁感应强度为 B；一质量为 m 带电+q 的粒子以速度 V 从筒壁 A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 A 处射出；则 B 必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从 A 处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从 A 处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为 n（不含返回 A 处并从 A 处射出的一次），由图可知 12n其中 n 为大于或等于 2 的整数（当 n1 时即粒子必沿圆 O 的直径作直线运动，表示此时B0）；由图知粒子圆周运动的半径 R， 再由粒子在磁场中的运1tantr动半径 可求出qmvR。1cotnr粒子在磁场中的运动周期为 ，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得qBmT2，粒子从 A 射入磁场再从 A 沿半径射出磁场的过程中将经过 n+1 段12n21圆弧，故粒子运动的总时间为： ，将前面 B 代入 T 后与 共同代入前式Tnt2)1(得。 a)(2)1(vrTnt
