1、1986 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）ABCD2 （3 分）函数 y=（0.2） x+1 的反函数是（ ）Ay=log5x+1 By=logx5+1 C y=log5（x1）D y=log5x13 （3 分）极坐标方程 表示（ ）A一条平行于x 轴的直线B一条垂直于x 轴的直线C一个圆 D一条抛物线4 （3 分）函数 是（ ）A 周期为 的奇函数B 周期为 的偶函数C 周期为 的奇函数D 周期为 的偶函数5 （3 分）给出 20 个数：87，91，94，88，93，91，89
2、，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 它们的和是（ ）A1789 B1799 C1879 D18996 （3 分） （2004重庆）已知 p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7 （3 分）如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D 2+E24F0）所表示的曲线关于直线 y=x 对称，那么必有（ ）AD=E BD=F CE=F DD=E=F8 （3 分）在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2 及 G
3、2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G 2、G 3 三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 SEFG 中必有（ ）ASGEFG 所在平面BSDEFG 所在平面CGFSEF 所在平面DGDSEF 所在平面9 （3 分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与 y=ax+b（ab0）的图象只可能是（ ）ABCD10 （3 分）当 x1，0 时，在下面关系式中正确的是（ ）ABCD二、解答题（共 13 小题，满分 90 分）11 （4 分）求方程 的解12 （4 分）已知 的值13 （4 分）在 xoy 平面上，四边形 ABCD
4、的四个顶点坐标依次为（0，0） 、 （1，0） 、 （2，1）及（0，3）求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积14 （4 分）求 15 （4 分）求 展开式中的常数项16 （4 分）已知 的值17 （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A、B 的任一点，求证：平面 PAC 垂直于平面 PBC18 （12 分）当 sin2x0，求不等式 log0.5（x 22x15）log 0.5（x+13 ）的解集19 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 A、B 试在 x 轴的正半轴（坐标原点
5、除外）上求点 C，使ACB 取得最大值20 （10 分）已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素， AB 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数：（1）C AB 且 C 中含有 3 个元素， （2）C A（表示空集） 21 （12 分）过点 M（1， 0）的直线 L1 与抛物线 y2=4x 交于 P1、P 2 两点记：线段 P1P2 的中点为 P；过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2；L 1 的斜率为 k 试把直线 L2 的斜率与直线 L1 的斜率之比表示为 k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数22
6、（12 分）已知 x10，x 11，且 ， （n=1，2，） 试证：数列x n或者对任意自然数 n 都满足 xnx n+1，或者对任意自然数 n 都满足 xnx n+123附加题：（1）求 y=xarctgx2 的导数；（2）求过点（1，0）并与曲线 相切的直线方程1986 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）ABCD考点： 复数的基本概念 分析： 复数的三角形式是 r（cos+isin） ，观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结
7、果解答： 解：Z=r（cos+isin） ，Z=2（ cos +isin ） ，故选 B点评： 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误2 （3 分）函数 y=（0.2） x+1 的反函数是（ ）Ay=log5x+1 By=logx5+1 C y=log5（x1）D y=log5x1考点： 反函数 专题： 计算题分析： 本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x1）即可选择答案解答： 解：根据指数式与对数式的互化，由 y=（ 0.2） x+1 解得 x=log5（y 1）x，y 互换得
8、：y=log 5（x1）故选 C点评： 本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等3 （3 分）极坐标方程 表示（ ）A一条平行于x 轴的直线B一条垂直于 x 轴的直线C一个圆 D一条抛物线考点： 点的极坐标和直角坐标的互化 专题： 选作题；转化思想分析：首先由极坐标与直角坐标系的转换公式 ，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形解答：解：由极坐标与直角坐标系的转换公式 ，可得到 X= 即是一条垂直于 x 轴的直线所以答案选择 B点评：此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式 的应
9、用计算量小题目较容易4 （3 分）函数 是（ ）A 周期为 的奇函数B 周期为 的偶函数C 周期为 的奇函数D 周期为 的偶函数考点： 二倍角的正弦 分析： 逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题解答： 解：y= sin2xcos2x= sin4xT=24= ，原函数为奇函数，故选 A点评： 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数把函数化为 y=Asin（x+）的形式再解
10、决三角函数性质有关问题5 （3 分）给出 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 它们的和是（ ）A1789 B1799 C1879 D1899考点： 收集数据的方法 专题： 计算题分析： 本题要求求 20 个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字解答： 解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选 B点评： 本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，
11、这样的题目若出上，则是一个送分的题目6 （3 分） （2004重庆）已知 p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 压轴题分析： 由题设条件知 prsq但由于 r 推不出 p，所以 q 推不出 p解答： 解：依题意有 pr，rs，sq，prsq但由于 r 推不出 p，q 推不出 p故选 A点评： 本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用7 （3 分）如果方程 x2+y2+
12、Dx+Ey+F=0（D 2+E24F0）所表示的曲线关于直线 y=x 对称，那么必有（ ）AD=E BD=F CE=F DD=E=F考点： 圆的一般方程 分析： 圆关于直线 y=x 对称，只需圆心坐标满足方程 y=x 即可解答： 解：曲线关于直线 y=x 对称，就是圆心坐标在直线 y=x 上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D 2+E24F0）中，D=E故选 A点评： 本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题8 （3 分）在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、
13、G 2、G 3 三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 SEFG 中必有（ ）A SGEFG 所 B SDEFG 所 C GFSEF 所 D GDSEF 所 在平面 在平面 在平面 在平面考点： 空间中直线与平面之间的位置关系 分析： 根据题意，在折叠过程中，始终有 SG1G1E，SG 3G3F，即 SGGE，SGGF，由线面垂直的判定定理，易得 SG平面 EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择解答： 解：在折叠过程中，始终有 SG1G1E，SG 3G3F，即 SGGE，SG GF，所以 SG平面 EFG故选 A点评： 线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平
14、面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来9 （3 分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与 y=ax+b（ab0）的图象只可能是（ ）ABCD考点： 函数的图象与图象变化 专题： 压轴题；数形结合分析： 要分析满足条件的 y=ax2+bx 与 y=ax+b（ab 0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数 a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除 A，C；由二次函数常数项 c 为 0，函数图象过原点
15、，可排除 B解答： 解：在 A 中，由二次函数开口向上，故 a0故此时一次函数应为单调递增，故 A 不正确；在 B 中，由 y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故 B 也不正确；在 C 中，由二次函数开口向下，故 a0故此时一次函数应为单调递减，故 C 不正确；故选 D点评： 根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握10 （3 分）当 x1，0 时，在下面关系式中正确的是（ ）ABCD考点： 反三角函数的运用 专题： 压轴题；阅读型分析： 利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项解答： 解：当 x 在（1，0） x1，0内变化时：由于
16、01x 21，每一个关系式的右端均为锐角每一个关系式的左端均为两项，第一项均为 ；考查第二项，由于 arccos（x）和 arcsin（x）均为锐角，所以 arccos（x）=钝角， （A）不正确arcsin（x） =钝角， （B）不正确由于 arcsinx 为负锐角，所以 arcsinx， （D）不正确故选 C点评： 本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题二、解答题（共 13 小题，满分 90 分）11 （4 分）求方程 的解考点： 指数函数综合题 分析： 将方程两侧化成以 5 为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解解答：解： = = =点评： 本题主要考
17、查解指数方程的问题注意方程两侧可都化成同底数后再求解12 （4 分）已知 的值考点： 复数代数形式的混合运算 分析： 的值是 1 的一个立方虚根， 2+1=0 是它的性质解答： 解：由= =0点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题13 （4 分）在 xoy 平面上，四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0） 、 （1，0） 、 （2，1）及（0，3）求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 计算题分析： 画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可解答： 解：在 xoy 平面上，四边形
18、 ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0） 、 （1，0） 、 （2，1）及（0，3） ，这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为 3，高为 2，上底面半径为 1 的圆台，去掉一个底面半径为 1，高为 1 的圆锥，所以几何体的体积是： = 故答案为：点评： 本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型14 （4 分）求 考点： 极限及其运算 专题： 计算题分析： 当 x时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则本题中，可将分子、分母都除以 3n，再利用商的极限运算法则进行计算解答：解：原式= ，又 则原式
19、= 故答案是 点评： 在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以 3n即可完成极限计算15 （4 分）求 展开式中的常数项考点： 二项式定理 专题： 计算题分析： 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求出常数项解答：解： 展开式的通项 Tr+1=（1） r25rC5rx155r令 155r=0 得 r=3所以展开式的常数项为2 2C53=40点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题16 （4 分）已知 的值考点： 同角三角函数基本关系的运用 分析： 先对 sincos= 两边平方得到 sincos= ，再由 si
20、n3cos3=（sin cos）（sin 2+sincos+cos2）可得答案解答： 解：sincos= ， sincos=sin3cos3=（sin cos） （ sin2+sincos+cos2）= （ 1+ ）=点评： 本题主要考查已知关于三角函数的等式求 3 次三角函数值的问题这里要注意三角函数的变形应用17 （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A、B 的任一点，求证：平面 PAC 垂直于平面 PBC考点： 平面与平面垂直的判定 专题： 证明题；综合题分析： 要证明平面 PAC 垂直于平面 PBC，直线证明平面 PBC 内的直线
21、 BC，垂直平面 PAC 内的两条相交直线 PA、AC 即可解答： 证明：连接 AC AB 是圆 O 的直径ACB=90即 BCAC 又PA 圆 O 所在平面，且 BC 在这个平面内PABC 因此 BC 垂直于平面 PAC 中两条相交直线BC平面 PACPBC 所在平面与 PAC 所在平面垂直点评： 本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题18 （12 分）当 sin2x0，求不等式 log0.5（x 22x15）log 0.5（x+13 ）的解集考点： 对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法 专题： 计算题分析： 由 sin2x0
22、 得到 x 取值范围；再接对数不等式，又得到 x 取值范围，最后将得到的这 2 个范围取交集即得原不等式的解集解答： 解：满足 sin2x0 的 x 取值范围是 ， （1）而由 log0.5（x 22x15）log 0.5（x+13） ，得解得：4x3，5x7， （5）由（1） 、 （5）可知所求解集为（ ，3）（2 ，7 ） 点评： 本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法19 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 A、B 试在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 C，使ACB 取得最大值考点： 基本不等式在最
23、值问题中的应用；两角和与差的正切函数 专题： 计算题；函数思想分析： 首先题目给定 y 轴的正半轴上的两点 A、B，求 x 轴的正半轴上点 C，使 ACB 取得最大值故可以设 A 的坐标为（0，a） 、点 B 的坐标为（0，b） ，C 的坐标为（x，0）记BCA=，OCB=， 然后根据三角形角的关系，求出 tan 的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在 内 tan 是增函数，即所得的角为最大角解答： 解：设点 A 的坐标为（0，a） 、点 B 的坐标为（0，b） ，0ba，又设所求点 C 的坐标为（x，0） 记 BCA=， OCB=，则OCA=+ 显然， 现在有tan=tg（+） = = 记
24、 ，那么，当 时，y 取得最小值 2因此，当 时，tan 取得最大值 因为在 内 tan 是增函数，所以当 时，ACB 取最大值 故所求点 C 的坐标为（ ，0） 故答案为（ ，0） 点评： 此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目20 （10 分）已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素， AB 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数：（1）C AB 且 C 中含有 3 个元素， （2）C A（表示空集） 考点： 子集与交集、并集运算的转换 分析： 集合韦恩图求出 AB 中元素的个数，再利用排列组合知
25、识求解即可解答： 解：因为 A、B 各含 12 个元素，AB 含有 4 个元素，因此AB 元素的个数是 12+124=20故满足题目条件（1）的集合的个数是 C203，在上面集合中，还满足 AC=的集合 C 的个数是 C83因此，所求集合 C 的个数是 C203C83=1084点评： 本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大21 （12 分）过点 M（1， 0）的直线 L1 与抛物线 y2=4x 交于 P1、P 2 两点记：线段 P1P2 的中点为 P；过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2；L 1 的斜率为 k 试把直线 L2 的斜率与直线 L1 的斜率之比表示
26、为 k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数考点： 抛物线的简单性质 专题： 综合题分析： 先设直线 L1 的方程是 y=k（x+1 ） ，然后与抛物线方程联立消去 y，得到两根之和、两根之积，将直线 L1 与该抛物线有两个交点转化为= （2k 24） 24k2k20 且 k0，进而可得到 k 的范围，设点 P 的坐标为 ，可以得到直线 L1、直线 L2 的斜率，记 ，则可以得到，再由 ，可以得到 ，再分析单调性即可解答： 解：由已知条件可知，直线 L1 的方程是 y=k（x+1）把代入抛物线方程 y2=4x，整理后得到 k2x2+（2k 24
27、）x+k 2=0因此，直线 L1 与该抛物线有两个交点的充要条件是：（ 2k24） 24k2k20及 k0解出与得到 k（1，0）（0，1）现设点 P 的坐标为 ，则直线 L1 的斜率 ，而直线 L2 的斜率 ，记 ，则今记 L1 与抛物线的两个交点 P1 与 P2 的横坐标分别为 x1 和 x2，由韦达定理及得，由此得到 ，定义域是（1，0） （0， 1）显然，1k 2 在（1，0）内递增，在（0，1）内递减所以， 在（0，1）内为增函数，在（1，0）内为减函数点评： 本题主要考查直线与抛物线的综合问题直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习22 （12 分）已知 x10，x
28、11，且 ， （n=1，2，） 试证：数列x n或者对任意自然数 n 都满足 xnx n+1，或者对任意自然数 n 都满足 xnx n+1考点： 用数学归纳法证明不等式；数列递推式 专题： 证明题；压轴题；归纳法分析：首先， ，故 xn 与 xn+1，的大小关系取决于 xn 与1 的大小，猜想分两类：x 11 和 x11，最后利用数学归纳法进行证明即可解答：证：首先， ，由于 x10，由数列x n的定义可知 xn0， （n=1 ，2，）所以，x n+1xn 与 1xn2 的符号相同假定 x11，我们用数学归纳法证明 1xn20（nN ）显然，n=1 时， 1x120设 n=k 时 1xk20，
29、那么当 n=k+1 时，因此，对一切自然数 n 都有 1xn20，从而对一切自然数 n 都有 xnx n+1若 x11，当 n=1 时，1 x120；设 n=k 时 1xk20，那么当 n=k+1 时= ，因此，对一切自然数 n 都有 1xn20，从而对一切自然数 n 都有 xnx n+1点评： 本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题23附加题：（1）求 y=xarctgx2 的导数；（2）求过点（1，0）并与曲线 相切的直线方程考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算 专题： 计算题；压轴题分析： （1）根据（uv）=uv+uv， （arctgx ）= ，根据复合函数求导数的法则求出即可；（2）根据（ ）= 求出 y，把 x 等于 1 代入 y的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可解答： 解：（1）y=（xarctgx 2） =xarctgx2+x（arctgx 2） =arctgx2+x2x =arctgx2+ ；（2） ，而点（1，0）在曲线上， y|x=1=1，所以所求的切线方程为 y=x+1点评： 此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题
