1、,第四章 动态电路时域分析,4.1 动态电路元件 4.2 动态电路的方程 4.3 一阶电路的零输入响应 4.4 一阶电路的零状态响应 4.5 一阶电路的全响应 4.6 一阶电路的单位阶跃响应 4.7 二阶电路分析 4.8 正弦激励下一阶电路的响应 小结,time domain analysis,时域分析法： 以时间为主变量列写电路的微分方程并确定初始条件，通过求解微分方程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。,动态电路分析与电阻电路分析的比较:,电阻电路 动态电路,组成： 电阻,独立源,受控源, 电阻,独立源,受控源,电感,电容,特性： 电压、电流、耗能,瞬时元件:,动态元件:,电阻元件。,电
2、感元件、电容元件。,电压、电流随时间变化 的规律-KL和VCR以微积分形式出现。,动态电路:,含动态元件的电路。当动态电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,动态电路,Dynamic Circuits,4.1.1 电感元件:,实际电感器：,4.1 动态电路元件,把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感器；当电流通过线圈时将产生磁通 （总磁通称为磁链 ），是一种储存磁能的部件。,磁链,Inductor,Dynamic Elements,（右手螺旋定则）,任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。 i 特性是过原点的直线：,电路符号,L 称为
3、电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，mH表示。,+,-,u (t),i,L,单位,线性时不变电感元件：,（磁链 （t） 、磁通（t）的单位：韦伯 Wb）,电感元件VCR的微分关系：,（u、i 取参考方向关联）,表明：,(1) 电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与i 的大小无关； 伏安特性是微分关系，所以电感是动态元件；,(2) 当i为常数(直流)时，u =0。所以电感对直流相当于短路；,实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流i不能跃变，必定是时间的连续函数。,根据电磁感应定律与楞次定律得线性电感的电压电流关系：,对 式积分，并设i(-)=0，得：
4、,设t0为初始时刻，记t=0的前一瞬间0-，上式可改写为：,电感元件VCR的积分关系,电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。,注意：当 u、i为参考方向非关联时，微分、积分式前要加负号。,表明：,式中i(0-)称为电感电流的初始值，它体现t=0以前的“历史”状态，也反映电感初始时刻的储能状况；第二项体现t 0的状态。,设电感上的电压、电流参考方向关联，得电感元件的吸收功率为：,电感的吸收功率和储能：,（1）当电流增大，i0， ，则： ， p0, 电感吸收功率。,表明：,电感在一段时间内吸收外部供给能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储
5、（磁）能元件，它本身不消耗能量。,（2）当电流减少，i0， ，则： ， p0, 电感发出功率。,对功率式子从-到t 进行积分， 得电感元件的储能为：,（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流 不能跃变，反映了储能不能跃变； （2）电感储存的能量一定大于或等于零。,从t0到 t 电感储能的变化量：,表明,根据电流变化规律，分段计算如下：,例： 电路如图(a)所示， 0.1H电感通以图(b)所示的电流。求时间 t 0 的电感电压、吸收功率及储能，并画出波形。,L,L,电压、功率及能量均为零。,各时段的电压、功率及能量的波形如图 (c)、(d)、(e)所示。,小结：可见，电流源的端电压决定于外
6、电路，即决定于电感。而电感电压与电流的变化率成正比。因而当 时，虽然电流最大，电压却为零。,电容的基本构成：,4.1.2 电容元件:,两块平行的金属极板构成一个电容元件。在外电源作用下，两个极板上能分别存贮等量的异性电荷，在两极板之间形成电场，贮存电能。,电解电容,钽电容,实际电容器,Capacitor,瓷质电容器,聚丙烯膜电容器,任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比。q u 特性是过原点的直线：,电路符号,C 称为电容器的电容, 单位：F (法) (Farad，法拉), 常用F，pF等表示。,单位,线性时不变电容元件,可变电容,电解电容,电容元件VCR的微分关系：,表明：,设电
7、压电流参考方向关联，得电容器电压电流关系：,i,i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大小无关，电容是动态元件；,(2) 当 u 为常数(直流)时，i =0。电容对直流相当于开路，所以，电容有隔断直流作用；,实际电路中通过电容的电流 i为有限值，则电容电压u必定是时间的连续函数.,电容在电路中具有隔断直流电、通过交流电的作用，常用于级间耦合、滤波、去耦、旁路及信号调谐。,对 式积分，并设u(-)=0，得：,设t0为初始时刻，记t=0的前一瞬间0-，上式可改写为：,电容元件VCR的积分关系,电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件。,注意：当 u、i为参考方向非关联时，微分、积分式前要
8、加负号。,表明：,式中u(0-)称为电容电压的初始值，它体现t=0以前的“历史”状态，也反映电容初始时刻的储能状况；第二项体现t 0的状态。,设电容上的电压、电流参考方向关联，得电容元件的吸收功率为：,电容的吸收功率和储能：,（1）当电容充电， u0， ，则： ，q ， p0, 电容吸收功率。,表明：,（2）当电容放电，u0， ，则： ，q， p0,电容发出功率。,电容在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是无源元件、是储（电）能元件，它本身不消耗能量。,对功率式子从-到t 进行积分， 得电容元件的储能为：,表明,一般总可以认为u(
9、-)=0， 得电容的储能为：,（1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变； （2）电容储存的能量一定大于或等于零。,电容元件与电感元件的比较：,电容 C,电感 L,变量,电流 i 磁链 ,关系式,电压 u电荷 q,(1)元件方程的形式是相似若把 u-i，q- ，C-L， i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；,(2) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶元素。,* 显然，R、G也是一对对偶元素:,I=U/R U=I/G,U=RI I=GU,结论,例,求电流i、功率P (t)和储能W (t),电源波形,解,uS (t)的函数表示式为:,解得电流,吸
10、收功率,释放功率,若已知电流求电容电压，有,例,例；如图所示电路中的us(t)波形如图(b)所示，已知电容C=0.5F，求电流i、功率p(t)和储能wC(t)， 并绘出它们的波形。,解: 写出us的函数表示式为,其波形如图(d)所示。 根据电容储能,4.1.3 电感、电容的串联和并联,电感串联：,根据电感元件VCR的微分形式， 有：,电感元件上电压与端电压的关系：,等效电感：,电感并联：,根据电感元件VCR的积分形式有,等效电感：,根据电感元件VCR的积分形式， 有：,电感元件上电流与端电流的关系：,电容串联：,等效电容：,根据电容元件VCR的积分形式， 有：,电容元件上电压与端电压的关系：,
11、电容并联：,根据电容元件VCR的微分形式有：,等效电容：,根据电容元件VCR的微分形式， 有：,电容元件上电流与端电流的关系：,4.2 动态电路的方程,4.2.1 电路微分方程,如图RC串联电路中开关接通，根据KVL列出回路电压方程为：,开关接通、断开或者电路参数的突然变化等统称为“换路”。,如图RL并联电路：,一阶线性常系数微分方程，故称电路为一阶电路。,“ 换路 ”: Switching,uR,uS,+,-,iS,i,first-order circuit,如图所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电路响应，根据KVL可得：,一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电
12、路的线性常系数微分方程是n阶的，称为n阶电路。,二阶线性常系数微分方程，故称电路为二阶电路。,uS(t),uR,必须根据初始条件(或初始值)，求解微分方程。,4.2.2 电路量初始值的计算,设电路发生换路的时刻记为t0，把换路前一瞬间记为t0-，而把换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL初始值分别为：,可见：若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。,0-,0+,电路量初始值：电容电流或电感电压的初始值，即独立初始值。 初始值是电路时域分析的重要条件。,跃变,连续,一般情况下，选择t0=0，则由上式得：
13、,由置换定理，在t=t0+时，通过下面等效替代获得0+等效电路:用电压等于uc(t0+)的理想电压源替代电容元件;用电流等于iL(t0+)的理想电流源替代电感元件;独立电源均取t=t0+时的值。,换路定理： 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,换路定理的意义：由换路定理可知，可以通过换路前0-时刻的电路求出换路后0+时刻的初始值。0+时刻相应的电路称为0+等效电路。,换路定律反映了能量不能跃变。,重点,换路定理：,电路初始条件的计算:,计算换路后初始值：即t=0+时的电压、电流的值。,1. 由t=0-时的电路，求出换路前iL(0-)、 uc(0-)。,2. 由换路定律得： iL(
14、0+)=iL(0-) 、uc(0+)=uc(0-)。,用理想电压源替代uc(0+)，用理想电流源替代iL(0+)，画出t=0+时刻的等效电路。,根据t=0+时刻的等效电路，求解各电流和电压的初始值。,(直流稳定（态）时,电容相当于开路，电感相当于短路。),（0+等效电路）,（0-等效电路）,例：,U=12V R1=4k R2=2k C=1F,已知t0时电路已稳定。在t=0时，开关S断开，发生换路。求:,解：,1. 先求出 :,3. 造出,等效电路:,2. 求出独立初始值:,由换路定律得：,求出非独立初始值:,电容开路，,等效电路,例：,解:,求 :,电路原已达到稳态，,设 时开关S断开，,1.
15、 先求出,4. 求出各初值,+,+,-,-,线圈短路，,2. 由换路定理得：,3. 造出,等效电路,例： 电路如图（a）所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。,解: (1) 求开关闭合前的电容电压uC(0-)。由于开关闭合前电路已处于稳定，uC(t)不再变化，duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电路如图(b)所示，由图(b)可得:,(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有:,(3) 由0+等效电路，计算各电流的初始值。由图(c)可知,例1：如图（a）所示电路中，已知Us=12V，R1=4k， R2=8k，
16、 C=1F，开关S原来处于断开状态，电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后，各电流及电容电压的初始值。,解：假设有关参考方向如图所示。 （1） 由换路定律可知：uC(0+)=uC(0-)=0,（2）画出t=0+时的等效电路，如图（b）所示。电容相当于短路。故有：,例： 电路如图（a）所示，t=0时开关S由1板向2，在t0时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。,解:,(1) 由t0时的电路，求iL(0-)。,(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有,(3) 由0+等效电路，计算各初始值。由图(c)可知,例: 电路如图(a)所示，在t0时电路已处于稳定。 t=0
17、时开关S由1扳向2，求初始值i2(0+)，iC(0+)。,解: (1),(2)根据换路定律有: 画出0+等效电路。,(3) 由0+等效电路计算各初始值。,0+等效电路,0-等效电路,4.3 一阶电路的零输入响应,一阶电路的零输入响应: 指一阶电路中仅由动态元件初始储能所产生的响应。,first-order circuit,zero-input response,此时的电路称为零输入电路：独立激励源为零。,+,-,Us,R,C,uR,uC,iC,S,+,-,+,-,一阶RC电路（蓝色）,一阶RL电路（蓝色）,一阶RC电路零输入响应:,uL,iL,uR,一阶RL电路零输入响应:,uC,iC,uR,
18、4.3.1 一阶RC电路的零输入响应,在t 0时,在t =0时,在t 0时,电容通过电阻放电。,列写放电回路方程：,(一阶常系数线性齐次微分方程),在初始条件下,得方程的解：,时间常数:,当t =时,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,电路放电电流和电阻上的电压：,一阶RC电路的零输入响应:,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。, = R C, 大 过渡过程时间长；, 小 过渡过程时间短；,在电压初值U0一定时,R 大（ C一定）： i= U0 /R 放电电流小,C 大（R一定）：W=C U0 2/2 储能大,物理含义：,过渡过程
19、或暂态过程,t0 稳态,t 新稳态,(2)时间常数:,工程上认为,经过35,过渡过程结束。, ：电容电压衰减到原来电压37%所需的时间。,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,t,Us,uc,0.37Us,过渡过程 或暂态过程,电路在t0时，处于稳定状态，电容上的电压为R0Is。当电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐下降到零，我们把这一过程称为过渡过程，或称为暂态过程。当t时，过渡过程结束，电路又处于另一稳定状态。时间常数的大小反映了电路过渡过程的进展速度，越大，过渡过程的进展越慢
20、。,当t=4时，,不同时间常数的uC波形,当t=时，,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,uC,R,+,C,i,4.3.1 一阶RL电路的零输入响应,在t0时,在t=0时,在t0时,电感通过电阻放电。,列写放电回路方程：,在初始条件下,得方程的解：,(一阶常系数线性齐次微分方程),时间常数:,当t=时,-RI0,uL,t,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,电路放电电流和电阻上的电压：,（2）一阶R
21、L电路时间常数：,L大 W=L I02/2 起始能量大 R小 P=RI02 放电过程消耗能量小, 大 过渡过程时间长;, 小 过渡过程时间短。,物理含义：,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。, = L/R,在电流初值I0一定时：,过渡过程或暂态过程,t0 稳态,t 新稳态,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的，随着时间t的增加，动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗，因此，零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零。若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为
22、yx(0+)，那么,小结：,零输入响应表达通式:,+,-,Us,R,C,uR,uC,iC,S,+,-,+,-,一阶RC电路零输入响应:,uL,iL,uR,一阶RL电路零输入响应:,uC,iC,uR,小结,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 ：RC电路： = RC , RL电路： = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,求零输入响应,应先求初始值。,重点,例,t=0时, 开关S由12，求电路
23、零输入响应:电感电压uL和电流iL及开关两端电压u12。,解,换路后的等效电阻:,由通式得:,例 4.3 1 电路如图) 所示。t0时电路处于稳定， t=0时开关S打开。求t0 时的电流iL和电压uR、uL。,4.4 一阶电路的零状态响应,电路的零状态响应：电路的初始储能为零，而仅由独立电源激励所产生的响应。,解答形式为：,1.一阶RC电路的零状态响应,在t0时,在t=0时,在t0时,暂态,电容充电。,列写充电回路方程：,在初始条件下,得方程的解：,(一阶常系数线性非齐次微分方程),通解,特解,zero-state response,含有独立电源，而初始储能为零的电路。,零状态电路：,稳态,换
24、路,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,表 4-1 不同激励时动态电路的特解,一阶RC电路的零状态响应：,充电的电容电压：,电路电流：,可见:(1)电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；,连续函数,跃变,电容电压：,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定：,暂态过程,t0 稳态,t 新稳态,t,U,0.632U,i,较小,较大,当 时:,当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。, 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的
25、时间越长。,结论：,（3）响应与外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时 , 开关S闭合，已知 uC（0-）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,4.3.2 一阶RL电路的零状态响应,在t0时,在t=0时,在t0时,暂态, 诺顿等效电路:,列写放电回路方程：,在初始条件下,得方程的解：,(一阶常系数线性非齐次微分方程),iR0,t,iL,0,稳态,换路。,一阶RL电路的零状
26、态响应：,例,t=0时 ,开关S打开，求t0后iL、uL的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,诺顿等效电路,例,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,4.5 一阶电路的全响应,全响应: 电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用下产生的响应。,线性电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。,一阶电路微分方程的一般形式：,（y(t)表示电路响应， f(t)表示激励）,4.5.1 全响应及其分解,完全解=齐次解+特解，即：,为一阶电路的时间常数。b为常数,一阶线性常系数非齐次微分方程,
27、将初始条件代入上式，得：,电路全响应解：,全响应的分解方式:,强制响应,自由响应,全响应=,+,全响应=,全响应=,稳态解,暂态解,+,零输入响应,零状态响应,+,激励,激励,全响应的分解方式:,全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),（1） 着眼于电路的两种工作状态:,(2)着眼于因果关系:,便于叠加计算,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,物理概念清晰,4.5.1 三要素法,一阶电路的全响应完全由y(0+)、 y() 和所决定。所以，稳态值、初始值和时间常数称为一阶电路的三要素。,全响应可按下式求出：,y()称为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。,三要素：,
28、-稳态值,-初始值,-时间常数,Circuits Initial State and Equations Initial Condition 电路的初始状态与方程的初始条件,对于一阶RC电路：,对于一阶RL电路：,(1) 由t0电路，求出电路的初始值y(0+)； (2) 由t0时电路，求出电路的稳态值(终值) y() ：作t时电路，（电容开路，电感短路），求此时的直流电阻电路得y() 。 (3) 求出时间常数,R是指动态元件两端的等效戴维南电阻，对于不同电路结构，R是不同的。,三要素法求解过程：,计算全响应：,重点,例：已知电路如图，开关K在t0时，由a打向b，开关闭合前电路处于稳态，求uC(
29、t) ，并指出全响应三要素。,解：(1) 求uC(0+) 因为换路前电路处于稳态， uC(0-)40V,所以 uC(0+)uC(0-)40V,（2）求uC() 因为t，电路又处于稳态，即C开路，则电路有,(3) 求将输出端短路，求Isc由KVL得：,而由KCL得：,所以：,此时就可求出零输入响应、零状态响应。,计算全响应：,解,4.8 正弦激励下一阶电路的响应,如图,正弦电压源作用于一阶RC电路.在t=0时开关闭合。若电容电压的初始值uC(0)=U0，电压源为:,RC电路方程:,方程完全解:,令,求待定系数:,由图可得,若使上式等号两端相等，必须满足,利用初始条件确定常数A， 即,t 0,uC
30、(t)波形,小 结,(1) 动态元件的VAR是微分或积分关系，如下表所示。,(2) 描述动态电路的方程是微分方程。利用KCL, KVL和元件的VAR可列写出待求响应的微分方程。利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。,换路前后瞬间，电感电流、电容电压不能突变。 即：,换路定律：,(3) 零输入响应是激励为零，由电路的初始储能产生的响应，它是齐次微分方程满足初始条件的解。零状态响应是电路的初始状态为零，由激励产生的响应，它是非齐次微分方程满足初始条件的解。全响应由电路的激励和初始储能共同产生的响应，包含齐次解和特解两部分。它等于零输入响应与零状态响应之和。也可以分为自由响应
31、（暂态响应）与强迫响应（稳态响应）。,(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为,t 0,求三要素的方法为: 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 稳态响应y(): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y()。 时常数：RC电路，=RC; RL电路，=L/R。式中R为断开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻。,小 结,利用换路定律和0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。,2.一阶电路的零输入响应 零输入响应就是无电源一阶线性
32、电路，在初始储能作用下产生的响应。其形式为：,1.换路定理在电路理论中， 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。换路前后瞬间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：,式中，f(0+)是响应的初始值，是电路的时间常数。,3. 一阶电路的零状态响应 零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。其形式为 ：,式中， f()是响应的稳态值。,4.一阶电路的全响应 全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生 的响应。其两种分解为：,(零输入响应),(零状态响应),(暂态响应),(稳态响应),5.一阶电路的三要素法 一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f()和时间常数三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应。全响应表达式为：,计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f()，分别用t=0+时的电路和t=时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电压源和电流源。作t=时的电路，电容相当于开路、电感相当于短路。时间常数中的电阻R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路电阻。,
