1、1,寄 语,假舟楫者，非能水也，而绝江河。,假舆马者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第21章,第一节、二重积分概念,第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性,重积分,第21章,本章内容：,第二节、直角坐标系下二重积分的计算,第四节、二重积分的变量替换,第五节、三重积分,第六节、重积分的应用,第七节、第八节、第九节-N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-略去,3,第5节 三重积分,一、三重积分的概念,二、化三重积分为累次积分,第21章,本节内容：,三、三重积分换元法,4,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布
2、在 内的物质的,可得,“分割(大化小), 近似代替, 求和, 取极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,5,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式” 极限,我们也可以用,语言描述该定义.(P243),6,注意:,三重积分与二重积分有相似的性质及存在定理.(略!),例如,中值定理:,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,由定义可知,引例中物体的质量为:,若在,那么,的体积为V.,7,二、化三重积分为累次积分,定理21.15,二重积分,存在 ,其中D= c, d x e, h ,则
3、积分,假设函数,在长方体,上的三重积分存在,且对任何,也存在, 且,V = a, b x c, d x e, h ,8,1）. 投影法 (“先一后二” ),一般区域上三重积分的计算法:(直角坐标系下),9,2）. 截面法 (“先二后一”),10,若区域,则:,3）. 三次积分法,11,小结: 三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,方法3. “三次积分”,12,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .（补充）,解:,面及平面,13,例2. (补充)计算,解:,用
4、“先二后一 ”,14,其中V 为x=1, x=2,例3. 计算三重积分,所围成的闭区域 .（P246 例1）,解:,z=0, y=x与,15,三、 三重积分的换元法,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,经常使用的是柱面坐标系和球面坐标系。即：,1、柱面坐标变换,2、球面坐标变换,分别介绍如下。,16,1、柱面坐标系,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,17,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,18,其
5、中为由,例4. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.（补充）,19,例5. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,20,2. 球坐标变换,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,21,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,22,例6. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,23,例7.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对
6、称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,24,例8（P250 例5）,求,其中，V由,解：,采用广义球坐标变换,与,围成。,25,例9（P246 例2）,求,其中，V是椭球体,解：解法1 参见教材-采用直角坐标，先二后一，要用到椭圆面积计算公式。,解法2 广义球坐标变换,26,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,变量可分离.,围成 ;,所以,=,由此可见，采用坐标变换，简化了计算。,27,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,28,2. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇
7、函数,29,3. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,30,作业,P106 1(1),(3); 2（2）; 3（1）; 4（1）; 5; 7 (1);,31,备用题 1. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 则有,计算较繁!,采用“三次积分”较好.,32,所围,故可,思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?,表为,解:,33,2. 计算,其中,解:,利用对称性,34,3.计算,解法1柱坐标,解法2(球坐标),35,解法4：(先二后一),解法3：直角坐标系下(先一后二),36,解法1:,所围成的立体如图，,37,所围成立体的投影区域如图，,38,39,解法2:,解法3:,40,5. 计算三重积分,解法1: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,(先一后二),41,解法2: (先二后一),42,6. 求由圆柱面,四围成的物体的质量. 物体的密度为,解:,43,7. 计算,及抛物面,所围成的区域.,解法1:采用先对,积分,将,44,解法2.采用先对,积分,将,45,注:在解题时,首先应该根据,区域的具体情况,考虑它对那个坐标面投影比较方便,从而采用相应的,积分的次序.此题用解法三较烦.,46,解法4.变量,的取值介于,之间,且在,处用平行于,面的平面去截,先二后一,47,解:,48,49,解,如图，,
