1、1,寄 语,假舟楫者，非能水也，而绝江河。,假舆马者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第21章,第一节、二重积分概念,第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性,重积分,第21章,本章内容：,第二节、直角坐标系下二重积分的计算,第四节、二重积分的变量替换,第五节、三重积分,第六节、重积分的应用,第七节、第八节、第九节-N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-略去,3,第6节 重积分的应用,一、立体体积,二、曲面的面积,第21章,本节内容：,三、物体的重心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,4,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从积分定义出发 建立积分式,用微
2、元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,5,一、立体体积（补充）,1. 曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,3.占有空间有界域 的立体的体积为,6,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积 V .,解: 曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在 xoy 面上的投影为,(记所围域为D ),在点,例1. 求曲面,7,例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,8,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成
3、曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,9,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,10,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,若光滑曲面方程由参数方程给出，也有相应的计算公式。参见P253254。略。,11,例3,求圆锥,在圆柱体,内那部分的面积。（P253 例1）,解：根据面积公式,其中，D：,所求曲面方程为,所以，,12,例4. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .（补充）,13,例5. 计算半径为 a 的球的表面积.,解:,设球面方程为,球面面积元素为
4、,方法2 利用直角坐标方程.练习,方法1 利用球坐标方程.,注意：本例是 P254 例2 的特例。,14,三、物体的重心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的重心坐标为,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,即:,采用 “分割, 近似代替, 求近似和, 取极限” 可导出其重心,15,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,16,同理可得,则得形心坐标：,17,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D
5、的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的静矩, 对 y 轴的静矩,18,例6. 求位于两圆,和,的重心.（补充）,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,19,例7. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线,的方程为,内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知重心在 z 轴上，,炉壁方程为,因此,故,自重, 求它的重心.（补充）,若炉,不计炉体的,其坐标为,20,21,四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和
6、,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,22,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,23,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,这里l为转动轴，r ( x , y )为D中点( x , y )到l的距离函数。,24,例8.求半径为 R 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.（P257 例5另解）,25,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例9.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.(补),设球,所占域为,(用球坐标),26,k为引力常数,五、物体的引力,设物体占有区域 ,A
7、（， ）点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,27,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,28,例10.,设面密度为 ,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解: 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,29,例11. 求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解: 利用对称性知引力分量,点,30,31,作业,P259 2，3（1） , 4（2） 5（1），6（1）,32,( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,1.设有一高度为,已
8、知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时? (2001考研),备用题,33,提示:,记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则,(用极坐标),34,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100,小时.,35,2. 计算,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,36,3.,37,解,4.,38,39,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,平面上的投影域为,5.,在,40,41,6. 求均匀球壳,解： 利用对称性,为计算方便选择：,42,7.设一圆柱体由柱面,解：画出圆柱体所占区域,的图形，,注意到圆柱体是均匀的，且具有对称性,计算其转动惯量,在柱面坐标中,43,解,8.,44,45,解,9.,46,解,10.,47,11.,求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为:,48,质心坐标,
