1、第五章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,第5章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( ? ),四、不定积分的性质,二、 不定积分的概念,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的概念与性质,第5章,三、不定积分的几何意义,五、 基本积分公式,一、 原函数的概念,一、 原函数的概念,引例: 已知边际成本函数为,问题为:,已知,求,试求总成本函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1.,或,则称F (x)为f (x)在区间 I 上的一个原函数 .,的原函数有,由定义可知,等,若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足,还有,1. 在什么条件下, 一
2、个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,存在原函数 .,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题:,定理1. 若函数f (x)在区间 I 上连续,则f (x)在 I 上,定理 5.1,( C 为任意常数 ) ,也是f (x)的原函数., F (x) + C 是 f (x)的原函数.,证:,又,说明:,(1) 由定理5.1可知,只需找到f (x)的一个原函数F(x), 就可以求出f (x)的无穷多个形如 F(x) + C的原函数, C 可取任意常数.,(2) 对f (x) 而言的原函数除了F(x) + C
3、 外,还有其他形式的原函数吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若F(x)是f (x)的一个原函数,则 F(x)+C,定理 5.2,为常数.,证:,(拉格朗日中值定理推论2),说明:,二、不定积分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,F (x) + C 是 f (x)的全体原函数.,若(x) 和 F(x)都是f (x)的原函数,则它们的差,定义2.,f (x)在区间 I 上的原函数全体称为f (x)在 I 上,的不定积分,记作,定义2.,f (x)在区间 I 上的原函数全体称为f (x)在 I 上,的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,(
4、C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、不定积分的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的图形,且其上任一点处的切线,斜率等于 , 求此曲线的方程.,解:,由题意可知,故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,四、不定积分的性质,推论: 若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、 基本积分公式 (P208),由不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 x 0 时,或,或
5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,解:,例4.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,原式=,=,1,求,原式=,例5. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,+ C,例6. 求,解:,例7. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,原式 =,例8. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,例9. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,例10. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求下列积分:,解:,原式=,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分公式,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 求下列积分:,将被积函数恒等变形,2. 填空:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示: 先从右往左思考,作业 P222 /6,7(3)(6)(7)(9)(11)(12)(13)(14),
