1、7.5 三向应力状态,对于受力物体内一点处的应力状态, 最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力, 而且切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量。,7.5.1 概念,x平面上有正应力sx, 切应力txy, 和txz。切应力的两个下标中, 第一个下标表示切应力所在平面, 第二个下标表示切应力的方向。,同理y平面上有正应力sy, 切应力tyx, 和tyz; z平面上有正应力sz, 切应力tzx, 和tzy。,7.5 三向应力状态,在一般的空间应力状态的9个应力分量中, 根据切应力互等定理, 在数值上有txytyx, txztzx, tyztzy,因而, 独立的应力分量是6个, 即sx, s
2、y, sz, txy, tyz和tzx。,7.5 三向应力状态,空间应力状态是一点处应力状态中最为一般的情况, 上节所讨论的平面应力状态可看作是空间应力状态的特例, 即有一个主应力等于零。,仅一个主应力不等于零的应力状态, 称为单轴应力状态。空间应力状态所得的某些结论, 也同样适用于平面或单轴应力状态。,对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算, 通常需确定其最大正应力和最大切应力。,x,y,z,O,s1,s2,s3,s,t,O,s1,s2,s3,tmax,弹性理论证明: 左图单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着右图应力圆上或阴影区内的一点。即三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分
3、上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。,x,y,z,O,s1,s2,s3,s,t,O,s1,s2,s3,tmax,整个单元体内的最大切应力为:,7.5 三向应力状态,x,y,z,O,s1,s2,s,t,O,s1,s2,s3,tmax,最大切应力所在的截面与2所在的主平面垂直, 并与1和3所在的主平面成 45角。,7.5 三向应力状态,s,t,O,s1,s2,s3,tmax,最大正应力为:,7.5 三向应力状态,上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态, 只需将具体问题的主应力求出, 并按代数值123 的顺序排列。,7.5 三向应力状态,斜截面上的应力,O,l=cos(N,x)
4、,m=cos(N,y),n=cos(N,z),AABC=dA,AOBC=ldA,AOAC=mdA,AOAB=ndA,7.5 三向应力状态,A,B,C,px,py,pz,N,当斜面为边界时, 可得到应力边界条件:,Fx、Fy、Fz 为边界上的面力分量。,主应力,A,B,C,px,py,pz,设v表示主应力的方位,v =0,v 表示主应力,则:,应力状态不变量,应力圆,A,B,C,px,py,pz,pv,最大切应力,1,2,3,主切应力,最大切应力,例：已知某点的应力状态为: sxa, sy-a, sza, txy0, tyz0, tzx-a。 求：主应力和最大切应力。,解：,例: 单元体的应力如
5、图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。,x,y,z,20 MPa,40 MPa,20 MPa,20 MPa,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关, 依据x截面和y截面上的应力画出应力圆, 求另外两个主应力。,解:该单元体有一个已知主应力,46 MPa,-26 MPa,量得另外两个主应力为,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,O,A1,1,A2,3,根据上述主应力, 作出三个应力圆。,7.8 广义虎克定律,一般空间应力状态下单元体的6个独立应力分量中, 3个正应力分量的正负号规定同前, 即,1. 符号规定,拉应力为正;,压应力为负。,3个切应力分量
6、的正负号则重新规定如下:,若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上切应力矢的指向与坐标轴正向一致, 或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上切应力矢的指向与坐标轴负向一致, 则该切应力为正, 反之为负。图中所表示的各应力分量均为正值。,7.8 广义虎克定律,6个应变分量的正负号规定仍与以前相同, 即线应变ex, ey, ez以伸长为正, 缩短为负; 切应变gxy, gyz和gzx (依次表示直角xOy, yOz和zOx的变化)均以使直角减小者为正, 增大者为负。按这样的正负号规定, 正值的切应力就对应于正值的切应变。,7.8 广义虎克定律,对于各向同性材料, 沿各方向的弹性常数E, G, m均
7、分别相同。而且, 由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性(即绕该方向旋转180后, 材料的弹性常数保持不变), 因而, 在线弹性范围、小变形条件下, 沿坐标轴(或应力矢)方向, 正应力只引起线应变, 而切应力只引起同一平面内的切应变。,用叠加原理, 分别计算出sx, sy, sz单独存在时x, y, z方向的线应变ex, ey, ez, 然后代数相加。,7.8 广义虎克定律,sx单独存在时,sy单独存在时,sz单独存在时,x方向的线应变,在sx, sy, sz同时存在时, x方向的线应变ex为,7.8 广义虎克定律,在sx, sy, sz同时存在时, y, z方向的线应变ex为,
8、切应变gxy, gyz, gzx与切应力txy, tyz, tzx间的关系为,一般空间应力状态下, 在线弹性范围内、小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律:,7.8 广义虎克定律,平面应力状态下(假设z0,xz0yz0),若已知空间应力状态下单元体的三个主应力, 则沿主应力方向只有线应变, 而无切应变。,与主应力s1, s2, s3相应的线应变分别记为e1, e2, e3, 称为主应变。主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值。,7.8 广义虎克定律,在已知主应力的平面应力状态下,在线弹性范围内, 由于各向同性材料的正应力只引起线应变, 因此, 任一点处的主应力指向与相应的主应变方向是一致的
9、。,7.8 广义虎克定律,材料的三个弹性常数E, G和m间存在着如下关系:,7.8 广义虎克定律,例: 已知一受力构件自由表面上的两个主应变数值为e124010-6, e3-15010-6。构件材料为Q235钢, 其弹性模量E210 GPa, 泊松比m0.3。求该点处的主应力值, 并求该点处另一主应变e2的数值和方向。,解:主应力s1, s2, s3与主应变e1, e2, e3一一对应,在构件自由表面上主应力s20。该点为平面应力状态。,该点处另一主应变e2的数值为,主应变e2是缩短, 其方向必与e1和e3垂直, 即沿构件表面的法线方向。,例: 一直径d20mm的实心圆轴, 在轴的的两端加转矩
10、m126 Nm。在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45方向的应变5.010-4, 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。,m,m,A,45,x,解: 包围A点取一单元体,例: 壁厚t10mm , 外径D60mm 的薄壁圆筒, 在表面上k点处与其轴线成45和135角即x, y两方向分别贴上应变片, 然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶, 如图所示, 已知圆筒材料的弹性常数为E200GPa和m0.3, 若该圆筒的变形在弹性范围内, 且max80MPa, 试求k点处的线应变x, y以及变形后的筒壁厚度。,可求得,解: 从圆筒表面k点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图所示,k点处的线应变x, y
11、为,拉应变,压应变,圆筒表面上k点处沿径向(z轴) 的应变为,同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为)处的径向应变为,因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为t10 mm。,体积应变,构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变, 用q表示。,设单元体的三对平面为主平面, 三个边长为a1, a2, a3。,变形后的边长为a1(1+e1, a2(1+e2, a3(1+e3。,变形后单元体的体积为,7.8 广义虎克定律,由体应变的定义, 并在小变形条件下略去线应变乘积项的高阶微量, 可得,在平面纯剪切应力状态下:,材料的体积应变等于零。即在小变形下, 切应力不引起各向同性材料的体积改变
12、。,在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关。,在最一般的空间应力状态下, 材料的体积应变只与三个线应变x, y, z有关。仿照上述推导有,K称为体积弹性模量, sm是三个主应力的平均值。,上式说明, 单位体积的体积改变q只与三个主应力之和有关, 至于三个主应力之间的比例, 对q并无影响。无论是作用三个不相等的主应力, 或是代以它们的平均应力sm, 单位体积的体积改变仍然是相同的。,体应变q与平均应力sm成正比, 此即体积胡克定律。,例: 边长a0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较大, 变形可略去不计
13、的钢凹槽中, 如图。已知铜的弹性模量E100GPa, 泊松比m0.34, 当受到F300kN的均布压力作用时, 求该铜块的主应力, 体积应变以及最大切应力。,a0.1m, E100GPa, m0.34, F300kN,解: 铜块横截面上的压应力为,铜块受力如图所示。,铜块受到轴向压缩将产生膨胀, 但受到刚性凹槽壁的阻碍, 使铜块在x和z方向的线应变等于零。变形条件为,解得,铜块的主应力为,体积应变和最大切应力分别为,物体受外力作用而产生弹性变形时, 在物体内部将积蓄有应变能, 每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度。,在单轴应力状态下, 物体内所积蓄的应变能为,7.9 复杂应变状态的应变
14、能密度,对于在线弹性范围内、小变形条件下受力的物体, 所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值, 而与加力顺序无关。,为便于分析, 假设物体上的外力按同一比例由零增至最后值, 因此, 物体内任一单元体各面上的应力也按同一比例由零增至其最后值。,在同一比例加载时, 对应于每一主应力, 其应变能密度等于该主应力在与之相应的主应变上所作的功, 而其他两个主应力在该主应变上并不作功。因此, 同时考虑三个主应力在与其相应的主应变上所作的功, 单元体的应变能密度应为,在一般情况下, 单元体将同时发生体积改变和形状改变。若将主应力单元体分解为图示两种单元体的叠加。其中sm称为平均应力, 即,=,+,在平均应力作
15、用下(图b), 单元体的形状不变, 仅发生体积改变, 且其三个主应力之和与图a所示单元体的三个主应力之和相等, 故其应变能密度就等于图a所示单元体的体积改变能密度, 即,(b),(a),(c),图c所示单元体的三个主应力之和为零, 故其体积不变, 仅发生形状改变。于是, 其应变能密度就等于图a所示单元体的畸变能密度。,(b),(a),(c),应变能密度ve等于体积改变能密度vv与畸变能密度vd之和。,对于一般空间应力状态下的单元体, 其应变能密度可用6个应力分量sx, sy, sz, txy, tyz, tzx来表达。,由于在小变形条件下, 对应于每个应力分量的应变能密度均等于该应力分量与相应的应变分量的乘积之半, 所以有,
