1、河北省石家庄市 2017 届高中毕业班第二次模拟考试数学（理科）本试卷共 23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题,共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
2、的.1函数 2yx与 ln(1)yx的定义域分别为 M、 N，则 （ ）A (, B 1,2C ,) D (),)2若 iz，则复数 z对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 ，则“ 1m”是“ ”成立的（ ）),(),1(baba/A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 4现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为（ ）A 10B C 12D 35 5已知角 （ 360）终边上一点的坐标为 (sin,cos2)，则 （ ）A 2B
3、 25C 35D 4 6已知 ln()xf，其中 e为自然对数的底数，则（ ）A (3)f B(3)2feC (2)3ef D()3(2)fef 7如图是计算 153的值的程序框图，则图中处应填写的语句分别是（ ）A 2n, 6?iB 2n, 16?iC , D , 8某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 34B 24C 12D 39实数 x， y满足 1|2yx时，目标函数zm的最大值等于 5，则实数 m的值为（ ）A2 B3C4 D5 10如图是一个底面半径为 1 的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为 4，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形 为矩形，若沿 A将其
4、侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）11如图，两个椭圆的方程分别为21(0)xyab和221()xymab（0ab， 1m） ，从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线 AC、 BD，若 、BD的斜率之积恒为 625，则椭圆的离心率为（ ）A 35B 34C 4D 7 12若函数 32()3fxabx在 (0,1)上存在极小值点，则实数 b的取值范围是（ ）A (1,0B (1,)C 0,)D (1,) 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若 1(3)nx的展开式中二项式系数和为 64，则展开式的常数项为 （用数字作答）14已知函数 si
5、()fx（ 0， ）的图象如图所示，则 0f的值为 15双曲线21xyab（ a， b）上一点 (3,4)M关于一条渐进线的对称点恰为右焦点 2F，则该双曲线的标准方程为 16在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为 a， b， c，其面积()()Spabpc，这里 1()2p已知在 ABC中，6BC， 2A，其面积取最大值时 sinA 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （本小题满分 12 分）已知数列 na满足 112()2nna， *N（）求数列 的通项公式；（）
6、若 221loglnnnba， 12nTb，求证：对任意的 *n，34nT.18 （本小题满分 12 分）在如图所示的多面体 ABCDEF中， 为直角梯形， /， 90，四边形 AEF为等腰梯形， ，已知 ，2ABF， 4 （）求证：平面 平面 ；（）求直线 C与平面 E所成角的正弦值.19 （本小题满分 12 分）天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为 40%，求四天中至少有两天降雨的概率
7、；（）经过数据分析，一天内降雨量的大小 x（单位：毫米）与其出售的快餐份数 y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量（毫米） 1 2 3 4 5快餐数（份） 50 85 115 140 160试建立 y关于 x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为 6 毫米时需要准备的快餐份数 （结果四舍五入保留整数）附注：回归方程 ba中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：12()niiiiixyb， yx20 （本小题满分 12 分）已知圆 C： 22(1)xyr（ 1） ，设 A为圆 C与 x轴负半轴的交点，过点 A作圆的弦 AM，并使弦 的中点恰
8、好落在 y轴上（）求点 的轨迹 E的方程；（）延长 交曲线 于点 N，曲线 E在点 处的切线与直线 M交于点 B，试判断以点 B为圆心，线段 C长为半径的圆与直线 N的位置关系，并证明你的结论21 （本小题满分 12 分）设函数 ()xfea，其中 e为自然对数的底数，其图象与 x轴交于 A1(,0)x，2,0x两点，且 12（）求实数 的取值范围；（）证明： 12()03xf（ ()fx为函数 ()fx的导函数） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以 为极点， x轴正半
9、轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 cosa（ 0） ， Q为 l上一点，以 O为边作等边三角形 OPQ，且 、 、Q三点按逆时针方向排列.（）当点 在 l上运动时，求点 P运动轨迹的直角坐标方程；（）若曲线 C： 22xya，经过伸缩变换 2xy得到曲线 C，试判断点 P的轨迹与曲线 C是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()2|1|fxx.（）求函数 的图象与直线 1y围成的封闭图形的面积 m；（）在（）的条件下，若正数 a、 b满足 2ab，求 2的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题1-5
10、DDACA 6-10 DADBA 11-12AB二、填空题 13. 540 14 . 215. 2150xy16. 35三、解答题17.解：(1) 当 1n时， 112()-2naa （ 2 分-得 1()nnn所以 2na，3 分当 时， 1， 所以 ， *N 4 分(2)因为 2na，221()logl(2)2nbn .6 分因此 111134352nT nn .8 分212n10 分 33414所以，对任意 *N， 4T12 分18(1)证明:取 AD 中点 M，连接 EM，AF=EF=DE =2，AD=4，可知EM= 12AD， AEDE，2 分又 AEEC， DEC AE平面 CDE
11、， AECD， 又 CDAD，A,CD平面 ADEF， D 平面 ABCD，平面 ABCD平面 ADEF；5 分（2）如图，作 EOAD，则 EO平面 ABCD，故以 O 为原点，分别以 ,ADCOE的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得 (03) ，(3,0)A， (1,40)C， (2,3)F ， 所以 3E， 4,0A，(,)F7 分设 (,)nxyz为平面 EAC 的法向量，则0EAC即 304zxy 不妨设 x=1，可得 (1,)n，9 分所以 2140cos, 7|85FnA= 35，11 分直线 CF 与平面 EAC 所成角的正弦值为 12 分
12、19.解：（1）四天均不降雨的概率41381562P，四天中恰有一天降雨的概率3124C， 2 分所以四天中至少有两天降雨的概率 128163285P 4 分（2）由题意可知 135x， 5分 50+81406=1y6 分512()75=.10iiiiixyb ，8分 =27.abx所以， y关于 x的回归方程为： 27.5.yx. 10 分将降雨量 6代入回归方程得： .6193.所以预测当降雨量为 6 毫米时需要准备的快餐份数为 193 份. 12 分20.（）方法一：设 M（x，y） ，由题意可知，A（1-r ，0） ，因为弦 AM 的中点恰好落在 轴上，所以 x=r-10,即 r=x+
13、1, 2 分所以 22(1)(1)x，化简可得 y2=4x（x0）所以，点 M 的轨迹 E 的方程为：y 2=4x（x0）4 分方法二：设 M（x，y） ，由题意可知，A（1-r，0） ，AM 的中点 ,x0，因为 C（1，0） ， ， 2 分在C 中，因为 CDDM ，所以， ，所以 所以，y 2=4x（x0）所以，点 M 的轨迹 E 的方程为：y2=4x（x0）4 分（） 设直线 MN 的方程为 1xmy， 1(,)xy， 2(,)Ny，直线 BN 的方程为2()4ykxy22140m，可得 12124,yy，6 分由（1）可知， 1rx，则点 A 1(,)x，所以直线 AM 的方程为 1
14、2yx，2222()404ykxkyky， ，可得 2ky，直线 BN 的方程为 2xy，8 分联立12,yx可得2114, 2Bymx，所以点 B（-1，2m）10 分2|4BCm，22|41d= 12， e与直线 MN 相切12 分21.【解】 （1） ()exfa若 0a ，则 0f，则函数 ()fx是单调增函数，这与题设矛盾所以 0a，令()fx，则 ln. 2 分当 l时， ()fx， ()f是单调减函数； lnxa时， ()fx， ()fx是单调增函数；于是当 lnxa时， ()fx取得极小值 因为函数 ()e)faR的图象与 x轴交于两点 1(0)Ax， ， 2()Bx， (x1
15、x 2)，所以 ln2l)0fa，即 2e 4 分此时，存在 1l(f， ；（或寻找 f（0） ）存在 33lnln)lnafaa， 320a，又由 ()fx在 l)， 及 (l， 上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 2ea为所求取值范围. 5 分 （2）因为12e0xa，两式相减得 21exa 7 分 记 21(0)xs，则 1212112e(e)xxx sf s ，9 分设 ()2(e)sgs，则 ()2(e)0sg，所以 ()gs是单调减函数，则有 ()0，而120xs，所以 12xf又 exfa是单调增函数，且 321，所以 0)32(1。 .12 分（2）另解参考： 213211
16、)( xeexfx=7 分 )1(213(332122xexx，9 分令 tx321，则 0，令 ,)(ttgt则 ,2)(tteg令 4)(,)( 2ttehg在 0显然成立，则 t在 单调递减， )(t， )(t单调递减，0)(，则 3(21xf得证。12 分选做题：22.解：（）设点 P 的坐标为 ),(，则由题意可得点 Q的坐标为 )3,(，2 分再由点 的横坐标等于 0a，可得 a)cos(，4 分可得 sin23cos1 ,故当点 Q在 l上运动时点 P的直角坐标方程为 023ayx.5 分（)曲线 C： 22ayx，yx/，即 /y，代入 2/4ayx，即 24ayx，6 分联立点 P的轨迹方程，消去 得 03728 分0a有交点，坐标分别为 ),2(74,(aa10 分23.解：（）函数 1,3,12)( xxxf，它的图象如图所示：3 分函数 )(xf的图象与直线 1y的交点为（4，1） 、 （0， 1） ，故函数 的图象和直线 围成的封闭图形的面积m= 43=65 分（） ab62,6216 分844)1(ba8 分当且仅当 a，可得 31,2ba时等号成立，的最小值是 410 分
