1、44第五章 线性参数的最小二乘处理习 题5-1 研究铂- 铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示：x+ty+t2z=L式中 x 表示在 0时米尺基标准器的修正值（微米） ；y 和 z 为温度系数；t 为温度（） ；L 为 t基准器的长度的修正值（微米） 。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表：求未知参量 x，y ，z 的最可依赖值。5-2 对未知量 x，y，z，组合测量的结果如下：x=0y=0z=0x-y=0.92,-y+x=1.35-x+z=1.00试求 x，y，z 的最可依赖值及其标准误差。5-3 由等精度测定方程为：x+37y+1
2、369z=36.3x+32y+1024z=41.4x+27y+729z=47.5x+2y+484z=54.7x+17y+289z=63.2x+12y+144z=72.9x+7y+49z=83.7i 1 2 3 4 5t 17.250 0.551 5.363 10.459 14.277L 160.28 5.70 47.61 41.49 124.256 7 8 9 1017.806 22.103 24.633 28.986 34.417154.87 192.64 214.57 252.09 299.8445试用矩阵最小二乘法求 x，y ，z 的最可依赖值及其精度。5-4 交流电路的电抗 x=L ，
3、C1在角频率 1=3 时，测得 x 为 x1=0.82=2 时，测得 x 为 x2=0.23=1 时，测得 x 为 x3=-0.3试求：(i) L，C 及其方差；(ii) =3 时（ =0.1）电抗值及其方差。5-5 试求下列方程给出的 x，y 的最大或然值及其标准误差。2x+y=5.1x-y=1.14x-y=7.4x+4y=5.95-6 测得一直线上四段长度 AB、BC、CD、DE 分别为 24.1，35.8，30.3 和 33.8 厘米，但已知 AD 准确长 90 厘米和 BE 准确长 100 厘米。试求 AB，BC，CD，DE 的最大或然值。5-7 由方程组3x+y=2.9x-2y=0.
4、92x-3y=1.9试求 x，y 的最大或然值及其标准误差。5-8 由下面的不等精度的测定方程组，求 x1，x 2 的最可信赖值及其标准误差。x1=0 权： P1=8x2=0 P2=10x1+2x2=0.25 P3=1x1-3x2=0.92 P4=55-9 由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求 x，y 的最大或然值及其标准误差。x-3y=-5.6 权： P1=14x+y=8.1 P2=22x-y=0.5 P3=35-10 由下面的测定方程组，试求 x，y 的最可依赖值及其标准误差。2x+y=5.1 权：P 1=1x-y=1.1 P2=34x-y=7.2 P3=25-11 试求满足
5、下列方程的 x，y，z 及其标准误差（假设它们是等权的） 。46x+y+z=4.012x-y+z=1.04x+3y-2z=5.023x+y=4.975-12 由座标点(1，0) (3，1) 和 (-1，2) 到某点的距离分别为 3.1，2.2 和 3.2。试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。5-13 对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。试求该角度的最可信赖及其标准误差。第一测回 第二测回pi ai pi ai7 3456 3 3455401 3454 2 3455301 3455201 345502 3455 1 3455701 3455101 3455505
6、-14 某平面三角形三个角被测出为 A=48510，B=602524，C=70427 ，令假设这种测量（i）各次权相等；（ ii）各次权分别为 1、2、3；试求 A、B、C 的最大或然值。5-15 数 N 系时间 t 的函数N=x1+ x2t+ x3t2测定后的 N 的值如下。测定是在异权情况下进行的，试求 x1，x 2，x 3 的最可信赖值。i 1 2 3 4 5 6 7 8 9ti 1.5 1.1 0.7 0.3 -0.1 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0Ni 6.20 3.45 2.00 1.80 2.40 4.55 8.85 15.70 24.40Pi 0.707 0.5005-
7、16 硝酸钠在 100 份水内的溶解度与温度的关系，测定为温度 0 4 10 15 21 29 36 51 68溶解度 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.147上述关系可用直线 67.5+0.87t 表示(式中 t 为温度)。试用最小二乘法来检证。5-17 由下列测定的方程组，求 X、Y 最可信赖及其或然误差。X+Y=37.0 权：P 1=52X+Y=61.9 P2=43X+Y=86.7 P3=4X+2Y=49.2 P4=4X+3Y=60.6 P5=32X+3Y=86.7 P6=23X+2Y=98.4 P7=35-18 由下列测定方程组，
8、求 X、Y 最可信赖及其标准误差。2X+4Y+8Z=0.16122.200X+4.840Y+10.648Z=0.19863.200X+10.240Y+32.768Z=0.50982.600X+6.760Y+17.576Z=0.28963X+9Y+27Z=0.41815-19 假设有三个某种量规，其值分别为 Y1、 、 Y2、Y 3。现在将它们直接地或间接地与数值已知为 N 的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：（i）每一个量规各与标准量规比较二次；（ii）第一个量规（Y 1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y 2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y 3）与第二量规比较二次；（ii
9、i ）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次；上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：（1） （2） （3）Y1N=X1 Y1N=X1 Y1N=X1Y1N=X2 Y1N=X2 Y2N=X2Y2N=X3 Y2Y1=X3 Y3N=X3Y2N=X4 Y2Y1=X4 Y2Y1=X4Y3N=X5 Y3Y2=X5 Y3Y1=X5Y3N=X6 Y3Y2=X6 Y3Y2=X6试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。 （提示：可以比较不同测量方案下未知数的权） 。48典型题解5-1 由测量方程 9.23yx9.0yx9.132yx试求 、 的最小二乘法处理及其相应精度。xy解：方
10、法一：列出误差方程组： 123.9(2)0.3vxy22231i2 )3(9.1)(9.)(9. yxyxyxV 分别对 求偏导，并令它们的结果为 0，yx， 02)9.132()9.2(3)9.23( yxyx)即， 1453.6xy由上式可解得结果：92.0x0152.y方法二：直接列表计算给出正规方程常数项和系数 i1ia2i21ia2i21iailila1il21 3 1 9 1 3 2.9 8.7 2.92 1 -2 1 4 -2 0.9 0.9 -1.83 2 -3 4 9 -6 1.9 3.8 -5.7- - 14 14 -5 - 13.4 -4.6可得正规方程 1453.6xy
11、将 的结果代入分别求得：yx， 123.9(0.2.15)0.36234v 得，493221322(0.)(.0)(.04)46ivv由题已知， 得23tn， 0382.3146.312tnvi由不定乘数的方程组 121450d21254d得 089.1.2d得 019.8.03.1x2.2dy方法二：按矩阵形式计算，由误差方程VLAX123.9(2)0.3vxy上式可以表示为 yxllv321321即； ； ； 123vV123.90.llL123AxyX可得5011()TTxyXCAL式中 1111()32451451457T 所以 12.9453071.1.9293264.170.925
12、TxyXCAL即解得， 0.96215xy将最佳估计值代入误差方程可得， 123123vlxylVLAX51312.90.962053204将计算得到的数据代入式中 0382.2-3146.312tnvi为求出估计量 的标准差，首先求出不定常数 。yx， ijd)1(，由已知，不定常数 的系数与正规方程的系数相同，因而 是矩阵 中各元素，即ijdij1C514721dC则 089.11.742d可得估计量的标准差为 09.8.03.1x12.2dy5-2 已知误差方程为1103.xv3302.xv )(08.315xv22 )(42162试给出 的最小二乘法处理及其相应精度。31x，解:根据矩
13、阵形式，误差方程 可以表示为VLAX32165432100xlllvv即52； ； ；123456vvV12345600.8lllL1010A123xX可得 1123()TTxXCAL式中 11 11()00311084841136T CA得 123TxXCAL10.38410.21 460.861.3084.21460.80653160.248.510.93即解得 1230.59.x将最佳估计值代入误差方程可得 411 105.012.03.03. xv22 79433 34214 108.0)91025(4)(0 xv53.8.82)3(6)(62得 6222213456i 4242428
14、6(50)(71)(310)()(10)94.vvv 可得 36612 102.3-105.4 tnvi为求出估计量 的标准差，首先求出不定乘数 ，不定乘数 的系数321x， ijdijd与正规方程的系数相同，因而 是矩阵 中各元素，即ijd1C2313846d则 5.0816d545.08162d.3于是估计量的标准差，016.512.311 dx2 333 x5-3 测力计示值与测量时的温度 的对应值独立测得如下表所示。t/tC15 18 21 24 27 30FN43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78设 无误差， 值随 的变化呈线性关系 ，试给出线性方程中
15、系数 和 的最tt ktF0 0k小二乘估计及其相应精度。解：方法一：列出误差方程式， )(0iiiktFV令 为待估计量，则误差方程可写成为bka，0 )(iiibta为计算方便，将数据列表如下： i/itC2/it/iFN/itCA1 15 225 43.61 654.152 18 324 43.63 785.343 21 441 43.68 917.284 24 576 43.71 1049.045 27 729 43.74 1180.986 30 900 43.78 1313.4135 3195 262.15 5900.19根据误差方程，列出正规方程： 66i1i12iiiinatbF
16、t 将表中计算出的相应系数值代入上面的正规方程得55613526.9015ab解得 43.2015ab即 043.215k将 代入误差方程得：k，0 )02.43.(iii tFV将 代入上式，可得残余误差为：itF，N8.)1502.43.(61. VN09762 N.)(8.3 N124015243714 N034.)7(.5 VN86 可得：2222222i1(0.4)(0.976)(.058)(.01)(.034)(.0)63可得标准差为，N0647.260173.tn61i2 V由上面所给的正规方程的系数，可列出求解不定乘数的方程组 1123590d21263591d分别解得 380
17、5.1d62估计量 的标准差为k，056019.385.0647.10 dk621方法二：直接利用矩阵求解，误差方程 可写成VLAXklllvv06543211785即； ； ；123456vvV123456.6.87.lllL518247130A0kX可得 011()TTkXCAL式中 11 11() 58125824730463595361361594T =所以5701 43.61319511.86824704 43.3.2015Tk XCAL将最佳估计值代入误差方程 得VLAX123456158243.0170.89.5120.34vllvl可计算 0.167340.67nt2TV 为求
18、出估计量 的标准差,需要求出不定乘数 的系数，而不定乘数 的系数与正k，0 ijdijd规方程的系数相同，因而 是矩阵 中各元素，即ijd1C21319564d 则 38095.1d6.42可得估计量的标准差为 019.385.07.10 dk580516.63.047.21 dk5-4 研究米尺基准器的线膨胀系数，得出在不同温度时该基准器的长度修正值可用公式 表示。式中为 时米尺基准器的修正值（单位为 ）： 和 为温2ztyxL0C myz度系数； 为温度。在不同温度时米尺基准器的修正值 如下表所示：t L/tC0.551 5.363 10.459 14.277 17.806 22.103
19、24.633 28.986 34.417m5.70 47.61 91.49 124.25 154.87 192.64 214.57 252.09 299.84试求 的最小二乘法处理及其相应精度。zyx，解：利用矩阵形式误差方程 可以表示为VLAX2123 2456 27890.51.36.49.71.80.2314.6.9vllvllvlV 1.7.xyz即； ； ；123456789vvvV1234567895.7069.1.2.0.4lllllL 2220.51.36.49.71.80.2314.6.91.7.AxyzX可得 11()TTxyzXCAL式中 11()TCA592222222
20、2222111110.5.360.459.7.806.34.68.934.710.459.7.86. 12123149.7. 0853019.219所以 1TxyzXCAL0.785.320.19.1922222222211110.5.360.459.7.806.34.68.934.71 .74691.25.87641.2509.8.6140即解得601.028645.xyz将最佳估计值代入误差方程可得 2123 2456 27890.51.36.49.71.80.2314.6.9vllvllvlV 1.7.xyz2225.70.50.146369149.275.87.801.62314.4.
21、6.2099.8.17. .086145.147025.896.0231.54.79可计算 0.327.5nt9TV 再由 121330.78.320.19.9d C61则 785.01d29.20.3d可得估计量的标准差为 2087.75.2.1x61930dy .z5-5 不等精度测量的方程组如下：， ； ， ； ， 6.53yx1P1.84yx2P5.03yx3P试求 、 的最小二乘法处理及其相应精度。解：方法一：列出误差方程 )3(6.51yxv1P4822)(.03 3现用表格计算出正规方程常数项和系数， i1ia2iiPipa21i2 21iiaP ililaP1il21 1 3
22、1 1 9 3 5.6 5.6 16.82 4 1 2 32 2 8 8.1 64.8 16.23 2 1 3 12 3 6 0.5 3 1.545 14 1 62.2 31.5根据误差方程，列出正规方程 4562.13xy解得 .4523xy由残余误差方程 )(21yaxlviii62得2221 03.1)35.4.1(6.5 vP2 958223 )016.(3)5.143.2(5.0 v于是可得标准差为0392.23)165.0(095.02.1231i2 tnVPi由已经计算出来的正规方程的系数，及不定乘数的方程组 12450d214d得 023.6.6291715.4.5d可得估计量
23、的标准差为 09.23.09.1x15.72dy方法二：直接利用矩阵计算； ； ； 1342A1235.680.llLxyX1023P由 1()TTxyAPL另6310342413218621451TCAP得 14145155629C则 11()05.64421815362933TTTxyXAPLAP将最佳估计值代入误差方程 ，得VLAX1235.613.458209516v可计算 3 222i10.30.953(0.165).039Tnt PV由已知，不定常数 的系数与正规方程的系数相同，因而 是矩阵 中各元素，即ijd ijd1C1214569dC则64023.6.62914d7155可得
24、估计量的标准差为 09.23.09.1dx15.72y5-6 已知不等精度测量的单位权标准差 ，正规方程为04.184.70321x 9.173221x试给出 的最小二乘法处理及其相应精度。x，解：由正规方程可解得最小二乘法处理结果为 12.638054x由正规方程的系数，可求解不定常数 121370d2123d分别解得 0412.62d估计量的标准差为 08.412.0.11x622d5-7 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数 的二乘法处21x，理及其相应精度。113.5xv )(21.32xv226.8 2140.解：由前面三个线性的误差方程 可解得 的近似估计值VLA
25、Xx， 201x，利用矩阵形式求解：65； ； ； 1235.86.llL123vV01A12xX可得 112()TTxXCL式中 1111()0023TA所以， 125.1308263213.25.02463.78TxXCAL取 得近似值 ，令21x， 10205xx ， 10122可将误差方程线性化，现分别对测量方程求偏导1011xfa 0212xfa102f 20f1031xfa 12032xfa66381.0)()( 2120110 221241 xxxxfa 46.)()( 20120120 212142 xxxf则误差方程化成线性方程组 ，VLA； ； 1234vV10223410
26、2(,).64 ,.0()1lfxlfL12；213410.38.460aA可得 112()TTCLA 式中 11 11()100.3846462.15.703.6.268T A所以 12 0.60.67.32610.381458.2T CAL670.60.627.360.29.14587.2.140 解得， 120.64则 1015.70.1645.3x 2288.90 将 的最佳估计值代入误差方程计算可得，21x， 5.13.06.7482904.3652152V可得， 3i101204Tnt再由， 1.627.36058C则， 627.1d58.0可得估计量的标准差为， 07.62.1.
27、1 dx914.58.0.225-8 今有两个电容器，分别测其电容，然后又将其串联和并联测量，测得如下结果：10.27CF120.41CF6820.56CF120.35CF试求电容器电容量的最可信赖值及其精度。 解：前面三个方程为线性方程组，同时取 ， 为待估计量 的近似值， ，01221,C01为估计量与所取近似值的偏差，待估计量 的表达式为02 ,C01122测量的误差方程组为 112230.756.4()vC上式可以表示为：VLAX213210Cllv即； ； ； 123vV1230.756.4llL10A12X可得 12C-T-1TXL=()式中 110023-1T-1(A)所以691
28、0-20.271563.4.21026971530.2TCXAL得, 012.657CF再令由题中， 011f22Cf )()(020113 f 020211012010201214 )()( CCCf 现将函数在 ， 处展开，取一次项，则有 022101i02121 12ff)()( CCiifCf ，（ 1，2，3，4）i将展开式代入误差方程，并令（ 1，2，3，4）012(,)iiiLfi则，011.27.27.065.3C56L0312.4().41(.20.57).053700124 0.265.07.35().3.59CL 则误差方程组化成线性方程组， VLA即， )(0211av
29、22)(02313L44av在由前面的方程组分别求偏导：11Cfa 0212Cf012f 02fa0131Cfa 10232Cf489.)(0210121241f 5.)(021012124 CCfa则化成矩阵形式 VLA式中， ， ，1234V12340.543.9L 100.265.7 012则， -1T-1T=CAL()L式中 11()T71111010.26570257.4.310265.7.46203.8 得 1 0.542.04671.23601.2637.3.8 90.2.04671.236.01.281 353.8T CAL 43.9.0195.4726.3 即 012.463
30、5F进行第二次迭代计算：取 101.26C250代入式中 110.70.7.261.49L2256505C13.4().4(21)0.624160.0.3.9.0.5L得11Cfb 1212Cfb720121Cfb 122Cfb13f 123f487.0)(f 121211241 CCb 5.)(f 12121124 化成矩阵形式， 010.2487.54AL069.15.4112()TT100.4910.48170.24817525 5.6102584 1 .092.06159.20.417340258.61 0.492.06341.2501.24875195.613.5 0.492.06341.250.9.2551 3.613.5 0.415173.25.073即 120.35F可得 210.63.20C251F因为 与 ； 与 逼近较好。1C212取 ， 的最佳估计值为 120.65CuF可得 0.71.06.0525.46329V0.10.78.04T Fnt由于不定乘数的系数与正规方程的系数相同即由 12.04671.2363.8 C则 12.0467.219.d2.3.03.8可得估计量的标准差 10.6219.78.6CdF20.
