1、第二类曲面积分的计算方法 X柴春红 何率天 (空军第一航空学院数学教研室 河南信阳 464000)摘要 利用两类曲面积分的联系 、分面投影法、合一投影法和高斯公式解答一个第二类曲面积分的题目关键词 曲面积分 中图分类号 O172. 2第二类曲面积分 (对坐标的曲面积分 ) 是高等数学学习中的难点 ,许多学员对求解这一类型题感到相当困难 1 下面针对一道例题 (同济大学出版的高等数学 (第四版 ) 第 202 页例 3) 给出四种不同的求解方法。例题 计算曲面积分 k( z 2 + x) d yd z - z d x d y ,其中 是旋转抛物面 z = 12 ( x 2 + y2) 介于平面
2、z = 0 及 z = 2 之间的部分的下侧 。方法一 利用两类曲面积分的联系k Pd yd z + Qd z d x + Rd x d y = k ( Pcos + Qcos + Rcos ) d S (1)其中 cos ,cos ,cos 是有向曲面 上点 ( x , y , z) 处的法向量的方向余弦。解 n = x , y , - 1 , n0 = cos ,cos ,cos = x1 + x 2 + y2 , y1 + x 2 + y2 , - 11 + x 2 + y2k ( z 2 + x) d yd z - z d x d y = k ( z 2 + x) x1 + x 2 +
3、 y2 - z - 11 + x 2 + y2 d S =k z2 x + x2 + z1 + x2 + y2dS = k x2 + z1 + x2 + y2dS = kD x2 + 12 ( x2 + y2)1 + x2 + y2 1 + x2 + y2d xdy =kD x 2 + 12 ( x 2 + y2) d x d y = 20 d 20 r2cos2 + r22 rdr = 8方法二 分面投影法如果 由 z = z ( x , y) 给出 ,则 kR ( x , y , z) d x d y = kDxyR x , y , z ( x , y) d x d y (2)如果 由 x
4、 = y ( y , z) 给出 ,则 kP( x , y , z) d yd z = kDyzP x ( y , z) , y , z) d yd z (3)如果 由 y = y ( z , x) 给出 ,则 kQ ( x , y , z) d z d x = kDzxQ x , y ( z , x) , z d z d x (4)等式右端的符号这样决定 :如果积分曲面 是由方程 z = z ( x , y) ( x = x ( y , z ) , y = y ( z , x ) )23高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA THEMA TICS Vol. 7 ,No. 2
5、Mar. ,2004X 收稿日期 :2002 - 09 - 13 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/所给出的曲面上 (前、右 ) 侧 ,应取正号 ;反之 ,如果积分曲面 是由方程 z = z ( x , y) ( x = x ( y , z ) ,y = y ( z , x) ) 所给出的曲面下 (后 ,左 ) 侧 ,应取负号。解 k( z 2 + x) d yd z - z d x d y = k( z 2 + x) d yd z - kz d x
6、d yk ( z 2 + x) d yd z = k前( z 2 + x) d yd z + k 后( z 2 + x) d yd z =kDyz( z 2 + 2 z - y2) d yd z - kDyz( z 2 - 2 z - y2) d yd z = 2kDyz2 z - y2 d yd z =420d y2y222 z - y2d z = 4kzd xd y = - 12 kDxy( x2 + y2) d xd y = - 1220d 20r3d r = - 4所以 k( z 2 + x) d yd z - z d x d y = 8方法三 合一投影法前面我们看到 ,按分面投影法计
7、算曲面积分时 ,对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示 ,然后转化为不同坐标面上的二重积分 ,这种方法形式上虽然简单但计算比较烦琐。事实上 ,如果 的方程为 z = z ( x , y) , ( x , y) D xy ( Dxy 是 在 xOy 面上的投影区域 ) ,函数P , Q , P 在 上连续时 ,则单位法向量为en = cos ,cos ,cos = - z xz 2x + z2y + 1, - z yz 2x + z 2y + 1, 1z 2x + z 2y + 1由于投影元素 d yd z = cos d S , d z d x = cos d S , d x d y =
8、 cos d S ,于是得到d yd z = cos d S = coscos cos d S = coscos d x d y = - z x d x d yd z d x = cos d S = coscos cos d S = coscos d x d y = - z yd x d y所以k P( x , y , z) d yd z + Q ( x , y , z) d z d x + R ( x , y , z) d x d y = kDxy P x , y , z ( x , y) - zx ( x , y) + Q x , y , z ( x , y) - zy ( x , y)
9、+ R x , y , z ( x , y) d xdy = kDxy P ( - z x) + Q ( - z y) + R d x d y (5)等式右端的符号这样确定 :如果 是由方程 z = z ( x , y) 所给出的曲面上侧 ,取正号 ,否则取负号。当 可用显式方程 y = y ( z , x) 或 x = x ( y , z) 表示时 ,只要注意到此时 的法向量为 -y x ,1 , - yz 或 1 , - x y , - x z ,可得相应公式。上述方法将 (5) 式中的三种类型积分转化为同一个坐标面上的二重积分 ,故名为合一投影法。(下转 37 页 )33第 7 卷第 2
10、 期 柴春红、何率天 :第二类曲面积分的计算方法 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/显然 ,将以上各等式右边的第二项系数 - 12 换成 12 ,就得到相应的前 n 项幂和公式。上述矩阵算法令人惊奇地给出了二项系数与伯努利数之间的关系。参考文献1 贾利新 . k - 1r = 1rn 的行列式算法 . 高等数学研究 ,1992 ,2 (2) :17 - 18.(上接第 33 页 )解 z = 12 ( x 2 + y2) , 在 xOy 面上的投影区域
11、 : D xy = ( x , y) | x 2 + y2 F4 ,又 取下侧 , z x= x ,故由公式 (5) 得k ( z 2 + x) d yd z - z d x d y = - kDxy14 ( x2 + y2) 2 + x ( - x) - 12 ( x2 + y2) d x d y =- kDxyx 2 + 12 ( x 2 + y2) d x d y =20d 20 r2cos2 + r22 rd r = 8方法四 利用高斯公式l Pd yd z + Q d z d x + Rd x d y = m 5 P5 x + 5 Q5 y + 5 R5 z d (6)解 曲面不是封
12、闭曲面 ,不能直接利用高斯公式 ,应补面 1 z = 2 的上侧 ,则由高斯公式k+ 1( z 2 + x) d yd z - z d x d y = m0d = 0所以 k( z 2 + x) d yd z - z d x d y = - k 1( z 2 + x) d yd z - z d x d y又 k 1( z 2 + x) d yd z - z d x d y = 0 - k 1z d x d y - 2kDxyd x d y = - 8所以 k( z 2 + x) d yd z - z d x d y = 8(上接第 34 页 )例 3 证明不等式 4 1 - 1e kD2e- x2 - y2d x d y ,其中 D1 :0 F x F1 ,0 F y F1 ; D2 : x 2 + y2 F1 , x E 0 , y E 0 ,而 kD2e- x2 - y2d x d y =20d 10e - r2rd r =4 1 -1e ,所以I2 = 10e - x2d x2 4 1 - 1e 173第 7 卷第 2 期 汪晓勤、周崇林 :自然数幂和的矩阵算法 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/
