1、数学思想方法及其教学设计 魏喜凤,国培讲座,未来教育目的观和学科教育的本质,当今社会科学技术高速发展的现状和发展趋势表明：高科技竞争已成为世界性和全方位的科技竞争焦点，而高科技的竞争必然导致知识密集化、技术综合化、科学边缘化、方法系统化、科研社会化、生产智能化和社会信息化，必然深刻地影响着人们的生产方式、生活方式，以及思维方式、思想意识和价值观念。也与此同时，随着人类物质生活水平的提高和教育水平的提高，人们不仅需要物质享受，而且需要精神享受和文化教养的充实和提高。因此，未来社会既是一个科技迅速发展的知识密集型社会，又是一个生活质量全面提高，文化需求全面增长的社会。但我们不能不看到，当今教育中存
2、在的功利性和人的片面发展，影响了未来社会高科技发展对人才的全面要求。,因此，我们必须提倡和坚持一种完整的教育观，一种既信奉科学，又崇尚人格完善的，以科学为基础和手段，以人自身的完善和解放为终极目标的人的发展观和社会发展观，要使科学和技术有助于人类建立一种科学的世界观，以促使个人和社会朝着和谐健康方向发展的未来教育目的观。这一教育目的观要求我们在科学实践活动中，在整个教育活动中不断发展和完善人的品质文化素养、思维修养、思想修养、行为修养、心理修养，培养和发展人的各种能力，使个体在学习掌握文化知识的同时，在思想、道德、行为、身体等诸方面得到发展。,关于文化素养，不仅是指知识的获得和积累，更重要的是
3、要使个体形成良好的认知结构，形成有序的、起基础作用的、有着生长点和开方面的知识结构。数学思想方法作为数学知识进一步提炼、概括的一种对数学内容的本质认识，数学的指导思想和一般方式、途径和手段，使得学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，这就为学生形成有序的知识链，进行有意义的学习，以及把数学知识结构内化为学生的认知结构，起到十分重要的基础作用，为现代社会高科技发展所需要的高效益、高智能、高竞争，为一定的实践活动打下良好的思想基础。,思维修养是指具有科学的思维方式、方法，良好的思维品质，帮助个体养成理性的思维方式，从公民对现代社会中的“社会”、“逻辑”、“图像”等概
4、念的理解，到高科技发展所需要的高智能，都要求有良好的思维素养。思想素养反映为政治思想和道德价值，以及用于观察问题的思想、观念、责任心、使命感等。心理素养是指高竞争社会中，面对种种压力有较好的承受能力，能估计风险，提出变通的方法，有较广泛的普适性，在群体中有较好的合作意识和能力。行为素养包括良好的工作和学习态度、习惯、实事求是的作风。,学科教育的本质是育人，是使学科教育与人的发展与完善相结合，通过学科教学活动，从各个方面，或者直接传授，或者潜移默化的影响，提高个体的整体素颜，而不是陷于功利性和人的片面发展。数学科学以其学时多，学习时间之长久，以及学科的特征，在发展和完善人的教育活动，在认识世界的
5、态度和方法上，对整体素质的提高起到了积极而重要的作用，它使人能很好地理解周围充满信息的现代社会，从实际生活中的存款利率、保险金额、通货膨胀，到一个有见识的公民能从税率、公共卫生、人口增长的数学表达式中辨别合理的主张。从把数学作为科学语言和工具的观念到把数学作为强者的翅膀，作为一种主要的智力活动的传统，如同语言、宗教和艺术一样，是人类文化影响全局的部分。,数学在自然科学、社会科学、行为科学等方面的广泛应用，使得现代科学的任何部分几乎都已带上了抹不掉的数学印记，而数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理；使人善于处事和做事，
6、使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养更好地理解、领略和创造现代文明。,数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容得一种指导思想和普遍使用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，懂的数学的价值，学会数学地思考和解决问题，它能把知识的学习与培养能力、发展智力有机地统一起来。,数学教学已由双基向四基转化：,基础知识 基本技能 基本思想方法 基本活动经验,英籍匈牙利哲学家波兰尼于20世纪50年代提出将知识分为明确知识与默会知识 明确知识：可用语言文字符号表达。 默会知识：只能意会不能言传。 人类的默会知识远远多于明确知识。默会知识镶嵌于实践活动之中，是情境性和个性化的，常常是不可言传的
7、；默会知识很难以正规形式加以传递；默会知识是不能被批判反思的。,明确知识（是什么，为什么）主要是事实和原理的知识。 存在与书本，可编码（逻辑性）可传递（共享性）可反思（批判性） 默会知识（怎么想，怎么做）本质上是理解力和领悟 存于个人经验（个体性）镶嵌于实践活动中（情境性）,数学教学必须重视数学思想方法日本数学教育家米山国藏指出：科学工作者所需数学知识，相对地说是不多的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必要的。数学的知识可以记忆一时，但数学的精神、思想和方法却随时随地发挥作用，可以使人受益终生。,一、数学思想方法涵义和特点二、中学常用数学思想方法简介三、数学思想方法的教学,一、数学思想方法的涵
8、义 数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。例如：模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想等。,数学方法是指在数学地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。,二、中学常用数学思想方法简介,有人认为在中学数学学习和教学要处理好六个飞跃 从算术到代数，即从具体数字到抽象符号的飞跃 从实验几何到推理几何的飞跃 从常量到变量的飞跃 从平面几何到立体几何的飞跃 从推理几何到解析几何的飞跃 从有限到无限
9、的飞跃,用字母代替数的思想方法,从具体数字到抽象符号的飞跃，掌握字母代替数的思想方法是整个中学数学重要目标之一发展符号意识的基础。从用字母表示数，到用字母表示未知元、表示待定系数、设辅助元，再到用 表示式，表示函数等字母的使用与字母的变换，是一整套的代数方法。列方程、解方程的方法是解决以质量与未知量间等量关系的一类代数方法，此外，待定系数法、根与系数的关系，乃至解不等式、函数定义域的确定、极值的求法等等，都是字母代替数思想和方法的推广。,方程思想,方程思想作为源于解决应用问题的思想，其核心一是已知数和未知数被一视同仁在“能否参与运算”这个“法律”条款面前，二是问题中的数量关系可用等式“直观”表
10、示，三是方程的解法理论方程思想体现了已知与未知的对立统一。,方程思想与算术思想的根本区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量（以符号的形式如字母的形式）参与运算；算术方法是在头脑里纯“抽象”地操作各种数量关系最终列出算式，而代数方法是直接地找出等量关系并变换成方程而在“直观可视化”下进行有程式地思维操作变形出未知数代数方法这种外显型思维运算优于算术方法的内隐型思维操作表现在解题思维方法方面，用算术方法解题时，由于未知数不能参加列式运算，需要根据未知数和已知数的关系，直接用已知数和运算符号组成一个算式，来求出未知数,中学生掌握方程思想可分三个步骤。第一，学会代数设想。假定问
11、题已解，即未知量客观存在且假设它已求出，然后再用字母代表未知量，且与已知量平等看待。第二，学会代数翻译。透彻分析实际问题中已知量与未知量之间的关系，将用自然语言表达的实际问题翻译成用符号语言表达的方程或不等式等。第三，掌握解方程的思想。,在代数中应突出数系的通性、通法，渗透建立代数结构的思想。比如强调整数、有理数等数集和多项式集合关于加法、乘法的封闭性，这就可以为以后学习群、环、域、线性空间等代数结构打下基础，从更高的观点来看待具体的运算。 几何中的轨迹法和交规作图，也可通过运用几何的思想方法，经常注意到训练学生从考虑具体的数学对象到考虑对象的几何，进而进行分类。 任一几何图形都是 或 或 的
12、子集，这就,集合的思想方法,把几何的思想方法作为基本思想方法是很自然的事情，因为现代数学是以集合论为基础，运用统一的语言，采用公理化的方法，为现代数学的结构化、形式化、统一化提供了较好的表达、组织方式。因此，作为基础的中学数学内容中必须考虑渗透和运用几何的语言、思想和方法。,可通过集合术语（属于、包含、并集、交际、余集、空集），借助集合和描述集合特征性质间的关联，说明性质的逻辑关系。以及和为工具，讲清一些基本逻辑关系、推理格式，这种思想方法还便于推广到 和抽象空间中并可沿用原来的几何语言。这对培养几何直观能力是十分有益的。,函数、映射、对应的思想方法,这是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，
13、以一种状态确定地 刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法。 函数概念在中学数学关于式、方程、不等式、排列组合、数列等主要内容中起到了横向联系和纽带作用。 代数式可看作函数的值：3a可看作函数y=3x当x=a时的值。,两个代数式 恒等等价于函数恒等于零。 方程 的根可看作函数 的图像与x周交点的横坐标。 在不等式的证明中，函数的性质经常是有力的工具。 数列是一种特殊的函数。 排列组合中的某些公式可看作函数。,映射是函数的发展，函数是一种特殊的映射，用映射观点看函数，更加突出了对应的本质。 函数概念的形成和发展是中学数学中从常量到变量的一个人是上的飞跃，因此、理解和掌握函数的思想方
14、法无疑会有助于实现这一飞跃。,一、函数概念的发展,笛卡尔 变量 函数（function)莱布尼茨1673年首先提出一个随曲线上的点变动而变动的量。1718年约翰.伯努利函数是由变量x和常数组成的式子。欧拉1755年在微分学中给出如下定义：如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面一些变量也跟着发生变化，则称前面的那些变量是后面的这些变量的函数。 1834年柯西给出的定义：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数。 1837狄利克雷的定义：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个值与之对应，那么y叫做x的函数。 1851年黎曼对于x
15、的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，而不管如何建立x，y之间的对应方法，都将y称为x的函数。 1939年布尔巴基学派给出了函数的关系定义。,二、函数的几种定义,函数的传统定义 定义1： 设在某个变化过程中有两个变量x 和 y ，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把 y 叫做x 的函数，x叫做自变量。 这个定义建立在变量基础上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。,函数的近代定义,给定两个集合A和B，如果按照某一确定的的对应法则f,对于集合A内的每一个元素x有唯一的一个元素 y与它相对应，那么f就是确定在集合A上的函数
16、。集合A称为函数f的定义域，集合A中的任一元素x根据法则f所对应的y，记作 称为f在x的函数值，全体函数值的集合称为函数f的值域。,这个定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，他把函数看作是定义域到值域这两个实数集合之间的单值对应，突出地反应了变量之间的对应关系。函数的本质是变量之间的关系，而描述这种关系的正是对应。它能够微观地、明确地指出因变量是如何随着自变量的变化而变化的。例如分段函数、狄利克雷函数,函数思想的特征,（1）函数反应的量与量之间的关系是运动变化中的关系。 （2）对应是函数思想的本质特征。 例1、研究体育运动 高速摄影机 列宁：如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简
17、单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么，我们就不能想象、表达、测量、描述运动。例2、 自由下落运动、变化本身是连续、不间断的，但为了描述、研究其运动规律，我们将自变量t的连续变化割碎、僵化为“自变量每取一个值”“每一个”即表示了取值在一定范围内的随意性，又表示了取值的确定性。动态的自变量的连续变化被相对静态的“自变量取每一个值”所代替后就更形象 （3）自变量的变化处于主导地位。,新教材函数概念的呈现,以生产、生活中的实例为背景引导学生探索、寻找变量之间的关系，把实际问题抽象为函数模型，让学生在探索的过程中体验、理解从而培养学生的抽象能力、解决问题的能力，让学生感觉数学来源于现实应用于现实，
18、激发他们的学习兴趣。教师的教学也从传授知识（结果的教学）转化为智慧的教学（智慧蕴含在过程中）,公说公有理，婆说婆有理,【例题】香港某厂的业绩如下,90,91,92,90,91,92,100%,150%,200%,5,10,15,7.5,12.5,同一个表格老板与工会主席得到完全不同的结论。 老板：股东的红利与工人的工资总额都增加了5万元。平行增长，大家公平。 工会主席：以1990年的数据为基础，即100%，工资总额只增加到150%，而股红翻了一番，到了200%。,函数概念的教学,一、从函数的“变量说”过渡到“对应说” 初中阶段采用变量说便于联系实际，高中阶段，要求用两个数集之间的对应方式来阐述
19、函数的意义，此时，学生需要抽象的思考，跳出函数具体表达式的限制，把对应法则作为函数概念的核心这就要求从变量说过渡到对应说。,对应说的函数概念，可以形象地解释为一架加工机，他把自变量加工成因变量。例如：学习函数概念，要实现由静到动的转变。这就像原来人的照片这种静态关系，而现在要认识录像所表示的量与量之间的动态关系这是认识的一个飞跃。,二、弄清函数与代数式、方程的关系,三、突出“依赖关系”，提倡“函数建模” 四、抽象地、符号地理解 的意义。 五、用美国杜宾斯基的概念教学理论进行函数教学。 美国杜宾斯基（Dubinsky)提出了数学概念教学的APOS理论其核心思想是，任何一个数学概念的建立，必须经过
20、四个层次，即分为行动（Action)_过程（Process)_对象（Object)_概型（Scheme,第一步学习着用2对应4；3对应9；4对应16 第二步、此时进行第一次抽象，感知一般对应：任何的 对应 。这就把函数的对应思想抽象出来，或者把函数看作一台“加工机器”。于是出现 的表示，这是一个普遍的对应过程。 第三步、当我们进行多次尝试之后，已经获得了许多函数。此时，函数 是一个独立的个体。 第四步、此时，函数只是作为一个整体存在于学习者的脑海里。函数具有具体的变量，对应关系，还有定义域、图像可以即兴四则运算等等，它们以有机整体的方式形成函数只是模块。,数形结合的思想方法,笛卡尔在对几何方法
21、与代数方法进行深入研究、比较、分析的基础上，创立了解析几何一种研究几何问题的新方法：通过坐标系，将平面上的曲线用两个变量 的方程表示，使得图形的几何关系在方程的性质中表现出来，成为数形结合的典范，数学史上的里程碑。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性、解题过程的程序化、可操作性强、便于把握,化归思想方法,化归是转化和归结的简称。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。有框图可直观表示为：,待解决问题A,容易解
22、决问题B,问题A的解答,问题B的解答,转化,化归途径,化归目标,化归对象,还原,三、如何贯彻数学思想方法的教学,1、渗透性原理 中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学方法、数学思想组成的有机整体。现行数学教材的编排一般试验用知识的纵向方向展开的，大量的数学方法与数学思想知识蕴含在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结。一般认为，加强数学思想方法的教学，首先应当遵守渗透性原理。,所谓渗透原理，是指必须在具体数学知识的教学中通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的思想方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。例如：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、多元一次方程
23、组等渗透的是化归思想。函数的教学渗透的是函数、对应、映射的思想。,反复性原理,数学思想方法属于哲学思维的范畴，学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级的认识规律。由于与具体数学知识相比较，数学思想方法更为抽象和概括，因此这个认识过程具有长期性和反复性的特征。 一般来说，人们对数学思想方法的掌握需要一个过程。学生在具体数学知识的学习过程中对于蕴涵在其中的数学思想方法一开始只能形成初步的、感性的认识。经过多次反复后，在较为丰富的感性认识的基础上，才能逐步抽象、概括而形成理性认识。然后在实践中反复检验和运用，才能加深这种理性认识。从一个较长的学习过
24、程来看，学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，期间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。,此外，由于个体差异的存在，在于具体的数学知识相比，学生对数学思想方法的掌握往往表现出很大的不同步性。只有遵循反复性原理，才能是达到数学生掌握数学思想方法。,系统性原理,与具体数学知识一样，数学思想方法只有形成为具有一定结构系统，才能更好地发挥起整体的功能。对于某一种数学思想方法而言，它与所概括的一类数学方法、所串联的具体数学知识也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原理。,对于数学思想方法系统性的研究，一般需要从两个方面进行：一方面要研究在每一种具体数学
25、知识的教学中可以进行哪些数学思想方法的教育；另一方面又要研究一些重要的数学思想方法可以在那些知识点的教学中进行渗透，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。,归纳性原理,所谓归纳性原理，是指在反复渗透的基础上，要适时对数学思想方法进行归纳和总结，使学生明确数学思想与方法的系统，掌握与有关知识的联系。 由于现行教材对数学思想方法草有了蕴涵披露的方式，因而适时对数学思想方法做出归纳总结是完全必要的。,数学思想方法的教学设计,宏观设计 数学思想方法教学的宏观设计是指对中学数学思想方法教学整体的考虑，以及对某种思想方法的教学按照孕育、形成与发展的认识规律进行整体设计，宏观设计要求明确每一阶段的载
26、体内容达成目标以及操作办法。下面以转化思想为例，说明它的宏观设计。,在小学已孕育着转化思想萌芽的基础上，以“有理数”、“整式的加减”、“一元一次方程”、“二元一次方程组”等内容为载体，通过教师对转化思想的不断渗透，让学生不断感受和孕育这一思想。在教学有理数时，要使学生了解到有理数运算实际是通过引入绝对值的概念，将它转化为算术数的运算；通过引入相反数和倒数的概念，将有理数减法和除法运算分别转化为有理数的加法和乘法运算。在教整式加减法时，让学生认识到整式加减法的实质是通过同类项概念转化为有理数的加减，即化式的运算为数的运算。在教一元一次方程的解法时，让学生明确解方程的过程是通过去分母、去括号、移项
27、、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等操作步骤，将所给方程化为最简方程 的过程。,在教二元一次方程组的解法时，将继续孕育转化思想，让学生明确解二元一次方程组的过程是通过带入消元或加减消元，将“多元”转化为“一元”的过程，并且初步认识到化归对象与化归目标的相对性。在一元一次方程的基础上，以“一元二次方程”、“可化为一元一次、二次方程来解的其他方程”、“二元二次方程组”等方程的内容为载体，通过教师对蕴含思想的不断揭示和学生自身的内化，让他们领悟并形成转化思想，自己总结出解代数方程（组）的基本思想：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化，概括起来一句话，消元降次简单化。,
28、微观设计,数学思想方法的微观设计是指对一节课、一个概念以及命题、公式、法则、例题、习题等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。微观设计要求通过确立目标、创设情境、尝试活动、认识深化、提炼概括，融知识、方法思想于一体，在知识发生和应用过程中落实数学思想方法的教学。它主要包括目标设计、情境设计、过程设计、范例设计。,数学方法的层次 第一层次是基本和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等； 第二层次是与一般科学方法相应的数学方法，如类比联想、分析综合、归纳演绎等； 第三层次是数学中的特有方法，如数学表示、数学等价、数形转换等； 第四层次是中学数学中的解题方法和
29、技巧,将数学方法分为宏观的和微观的宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：(1)逻辑学中的方法例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色(2)数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法代数中常称图象法等这些方法极为重要，应用也很广泛(3)数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素
30、实现化归的数学思想)、因式分解诸方法以及平行移动法、翻折法等这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之,3数学思想与方法的关系数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性； 数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想 数学思想方法,二 、数学思想方法的教育意义
31、数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）数学的各种方法是数学最重要的部分弗利德曼,读一段文字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想，这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内容的东西数学思想的一个层面就是这种思想,1米山国藏数学的精神思想和方法无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知
32、识只是第二位的米山国藏,三、数学家思想方法简介,数学中的精神 将数学处理问题的一般思维活动称为数学的精神，概括了七种主要的数学精神活动： （1）应用化的精神， （2）扩张化、一般化的精神， （3）组织化、系统化的精神， （4）致力于发明、发现的精神， （5）统一建设的精神， （6）严密化的精神， （7）思想经济化的精神,重要的数学思想（1）“数学的本质在于思考充分自由”的思想， （2）极限的思想， （3）构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想 （4）集合与群的思想， （5）把有限长看作无限长的思想， （6）把曲线看作直线的思想， （7）使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思想，
33、 （8）二维空间、四维空间、高维空间的思想， （9）超限数的思想， （10）数学的神秘性与数学美的思想,波利亚的数学解题与猜想发现思想完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路G波利亚,波利亚认为，中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径解题意味着要找到克服困难的方法, 找到绕过障碍的道路, 达到不能直接达到的目的正如不可能找到一把能打开一切大门的神奇的钥匙一样，我们也不可能找到能解决一切问题的方法只有通过模仿与实践才能学会解题正如你想学会游泳你就得跳到水中去，你想成为解题能手, 那你就得去解题良好的思维习惯不可能靠从外部输入获
34、得, 只有靠练习才能获得尽管如此，波利亚还是通过认真分析人们解决数学问题的思维过程,总结出了具有一般指导意义的解题思维程序表，这就是著名的“怎样解题表”弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾,数学猜想与合情推理,数学的发明、发现离不开猜想所以，波利亚极力主张，“在数学的教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试”数学猜想一般来自与严密的论证推理完全不同的一种推理方法合情推理 合情推理是波利亚“启发法”(heuristic，即“有助于发现的”)中的一个推理模式它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，用欧几里得方式提出来的
35、数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”因此，他明确提出有两种推理：论证推理与合情推理论证推理用来确定数学知识，合情推理用来为猜想提供依据波利亚这一思想实质上告诉了我们，数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念，等等,论证推理有三段论推理模式等，波利亚通过具体例子的分析，在与论证推理模式的对比思考中，也提炼出了一些合情推理模式,基本归纳模式：,意义：你正从事研究某个猜想A，不知道A是真还是假你看出了A的某个结论B，即A蕴含B当你研究A觉得腻了的时候
36、，就想转而研究B该模式表示：一个结论B的证实使猜想A变得更可靠,基本归纳模式：,意义：证实新结论Bn+1意义的大小随新结论与前面已证实的结论B1，B2，Bn间的差异大小而定,类比推理模式：,意义：另一个和A类似的猜想B证明为真，使猜想A变得更可信 启发模式：,意义：在作为猜想A的依据B被推翻时，对A的信任程度只能减小,审定相抵触的猜想模式： 意义：当一个不相容的对抗猜想被推翻时，我们对原猜想的信任只能增加,波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题模式可供仿照的楷模 双轨迹模式 （1）把问题归结为要确定一个“点” （2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个“轨迹”这
37、两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点”笛卡儿模式 （1）把问题归结为去确定若干个未知的量 （2）设想问题已解出来了，列出已知量和未知量间根据条件必须成立的一切关系式 （3）把某些关系式转化为方程，得出一个方程组 （4）将方程组通过消元化归成一个方程,递归模式 （1）设法将要求的量归结为依次排列起来的某序列的一个项 （2）确定这序列的第一项或前面几项 （3）找出递推关系式，将序列的一般项与它前面的那些项联系起来 这样，我们就可递推地把所有的项都找出来叠加模式 （1）先处理一、两种特殊情形我们把它称之为导引特款 （2）利用导引特款的叠加去得出一般问题的解,教师十诫： 第一，对自己的科目要有兴趣
38、第二，熟知自己的科目 第三，要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现 第四，要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中 第五，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”，思维的方式，有条不紊的工作习惯 第六，要让学生学习猜测 第七，要让学生学习证明 第八，要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式 第九，不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜尽量让他们自己去找出来 第十，启发问题，而不要填鸭式地硬塞给学生接受,四、突出数学思想方法的教学设计,数学教学已由双基向四基转化：基础知识、基本技能、基本思想方
39、法、基本活动经验数学教学必须重视数学思想方法的设计,明确基本数学思想方法体系,全域性数学思想 局域性数学思想 一般性数学方法 特殊性数学方法,全域性数学思想 第一节 公理化思想 第二节 算法化思想 第三节 符号化思想 第四节 形式化思想 第五节 集合与对应思想 第六节 数学辨证思想,局域性数学思想 第一节 数与运算思想 第二节 图形与几何思想 第三节 方程与函数思想 第四节 无穷与极限思想 第五节 微分与积分思想 第六节 概率与统计思想,一般性数学方法第一节 推理证明方法数学说理论证的一般方法 第二节 合情推理方法数学猜想发现的一般方法 第三节 数学抽象方法数学化活动的一般方法 第四节 数学化
40、归方法数学解题的一般方法 第五节 数学模型方法数学应用的一般方法 第六节 数形结合方法数学转化的基本方法,特殊性数学方法 第一节 分类讨论方法 第二节 逐次逼近法 第三节 反证法 第四节 数学归纳法 第五节 构造性方法 第六节 反例法,设计思想,明确各种思想方法的实质 教学设计中系统渗透这些思想方法 通过概念原理教学让学生明确各种重要数学思想 通过解题教学让学生掌握各种数学方法,数与运算思想,什么是数？数的思想萌芽是给具有数量的东西的一种“确定性”表征，使得相同事物的不同的数量之间可以比较和运算。“数”是脱离了事物的“质”，而仅是“量”的表征，这使得不同事物之间的数似乎也可以运算。 数的发展是
41、随着数学的发展而发展的，不断扩充。 数构成数学的基本部分，是数学的基本语言。,运算是集合与集合之间联系的表现，仅有数而没有运算，事物将是孤立的，不能“综合”看待。 没有运算，集合只能是孤立元素的堆积，有了运算，集合才能形成结构体系 没有运算向量只能作为“路标”，有了运算，向量才能表示夹角、长度，才能作为联系代数、几何、三角的桥梁 没有运算，矩阵只是一张表，有了运算，矩阵就是一种线性变换,图形与几何思想,一般来说，图形本身不是客观存在，是没有具体性的东西，它是人们抽象的结果，是人们抛弃物体颜色、重量、组成等物质属性只从形状、位置、角度等看待物体的结果，是人们从个别、特殊的认识升华形成的一般性的认
42、识结果图形作为一种抽象的形式，有形状与大小图形最大的特点是直观几何学离不开图形，图形是几何的最基本构成 希尔伯特说：“几何图形就是直观空间的帮助记忆的符号”“几何学就是利用不正确的图形，做正确推理的艺术”,方程与函数思想,方程思想作为源于解决应用问题的思想，其核心一是已知数和未知数被一视同仁在“能否参与运算”这个“法律”条款面前，二是问题中的数量关系可用等式“直观”表示，三是方程的解法理论,方程思想与算术思想的根本区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量（以符号的形式如字母的形式）参与运算；算术方法是在头脑里纯“抽象”地操作各种数量关系最终列出算式，而代数方法是直接地找出
43、等量关系并变换成方程而在“直观可视化”下进行有程式地思维操作变形出未知数代数方法这种外显型思维运算优于算术方法的内隐型思维操作表现在解题思维方法方面，用算术方法解题时，由于未知数不能参加列式运算，需要根据未知数和已知数的关系，直接用已知数和运算符号组成一个算式，来求出未知数,函数思想应看成是用运动变化和集合对应的观点去分析和研究问题中的数量关系、建立函数模型并运用函数的性质求解函数模型从而使问题获得解决的一种思想,方程与函数考虑问题的出发点不同，前者的出发点是求一个确定的未知数问题，后者出发点是考虑相依变化量的问题前者属于确定值代数，后者属于非确定值代数方程与函数建立的联系也不同，方程是建立等
44、价事物之间的联系，是已知量与未知量之间的联系；函数也是建立联系，但是一个变量与另外变量的联系方程与函数的建构过程也不同，方程思想倾向于结构化，寻找结构关系加以字母化或符号化就可以了；函数思想更多地使用了“算术”思想，将函数看成因变量，建立函数就是构建由自变量和其他已知量的一个“算术”的代数或超越式，使之与因变量是等价的所以，从建模思维过程讲，方程模型建立是“结构化”的，而函数模型建立是“算术化”的,无穷与极限思想,无穷这个问题涉及无穷大量、无限可分性、运动与连续性等概念，自亚里士多德时代起就一直困扰着西方哲学家芝诺悖论(Paradoxes)使得空间无限可分性的观点和不可分（原子论）的观点都面临
45、逻辑危机正如希尔伯特曾深刻指出的：“无穷大!任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”,极限思想是现代数学的一种基本思想，它是一种用运动变化的观点，把所考察的对象（如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看作某对象（内接正n边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和）在某一无限变化过程中变化结果的思想，是一种“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定下来”的运动辩证思想,概率与统计思想,概率思想可以通俗理解为计算随机不确定事件发生的可能性的思想 概率思想具有重要的现实指导意义正如
46、M克莱因在西方文化中的数学中所说：“不用说关于我们未来的事情，甚至从现在起的一小时后，也均无任何肯定的东西存在一分钟后，我们脚下的地面可能就会裂开但是，宣称这种可能性吓唬不了我们，因为我们知道，出现这种情况的概率极小换句话说，正是一个事件是否发生的概率，决定了我们对该事件的态度和行动”,早期错误随机思想对学习具有干扰作用学生在接触概率论之前，己经碰过无数次具有随机特征的事情，他们常常使用“可能性”“随机性”“运气”“公平”等词汇来处理或表达随机问题事实上，他们对随机的理解常常是错误的，这些误解将会对他们学习概率产生负面影响例如，许多学生相信，随机地投2枚硬币，出现1个正面的概率与随机地投4枚硬
47、币，出现2个正面的概率是相同的他们把概率直觉的理解为“比率” 概率能够帮助我们了解随机现象的规律，但不能提供准确无误的结论,统计思想可以通俗理解为对数据汇总加工处理并外推的思想。 数理统计的基本特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质，就是从总体中抽出一组样本分析，判断整个系统的状态，或判断某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出发生错误判断的概率统计方法是“由局部到整体”“由特殊上升到一般”，是归纳法在数学上的具体应用就是说，“我们要利用统计这个测度，从露出海面的十分之一冰山，去推测在海底十分之九的冰山形状” 抽样思想,本市的治安形式急剧恶化今年的恶性刑事案件较去年增加了100% 这
48、个城市的环境治理工作搞得很好，有96%的企业废物排放量达到了国家标准不能把概率教学处理成数值计算，把统计教学处理成数字运算和画图表,公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来1亚里士多德 自欧几里得以来，要使一个理论公理化就是意指通过选取某些命题和从这些命题进一步演绎出一些命题来实现的；如果作出的系统是完全的，那么在通常情况下这理论中所断定的全部语句都应该同样是可以被推演出来的2C帕森 公理化的步骤在于把逻辑形式同现实、同实际的直观的内容严格分开，公理是人类精神的自由创造3爱因斯坦,在一个数学理论体系中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点
49、，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想,公理是对诸基本概念相互关系的规定这些规定是合理的，不互相矛盾的，也是不多不少的，即公理的选取应符合三条要求： （1）相容性公理系统的相容性,亦称协调性或无矛盾性，是指同一系统中的公理,不能相互矛盾 任何一组公理，层出不穷，不可能逐一考察其中有没有相互矛盾的命题；另外，即使一时推不出矛盾，也不能断定将来什么时候不会出现矛盾如果它能够成为具有数学意义的公理系统，一定要符合相容性,这是公理系统的最基本的要求事实上,根据逻辑知识,PP是一个恒假命题对于任意一个命题，(PP)Q是一个恒真命题因此，如果一个公理系统有矛盾，不论这个矛盾是否明显，但最终从这个公理系统能推导出十分明显的两个相互矛盾的命题R与R，从而也就可以导出任意命题（为真）显然，这样的公理系统难以帮助人们认识现实世界的数量关系与空间形式，因而没有任何实际价值 然而，要判断一个公理体系的公理是否具有相容性并非易事一般说来，由公理出发推导出的命题因此，为了证明公理系统的相容性，常用模型的方法，即寻找抽象公理的一个具体模型如果模型中的具体关系之间没有矛盾，那么，公理系统就符合相容性要求所以说，公理系统的相容性是相对意义下的相容性,
