1、题型六 新定义阅读理解题1. (2016 重庆 B 卷)我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：npq(p，q 是正整数，且 pq)，在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分解，并规定：F(n) .例如 12pq可以分解成 112，26 或 34，因为 1216243，所以 34 是 12 的最佳分解，所以 F(12) .34(1)如果一个正整数 a 是另外个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F(m)1；(2)如果一个两位正整数 t，t10x y(1xy9， x，y 是自然
2、数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18.那么我们称这个数 t 为“吉祥数” 求所有“吉祥数”中 F(t)的最大值2. (2017 重庆 A 卷)对任意一个三位数 n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” 将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)例如 n123.对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为 213 321132 666，6661116，所以
3、，F(123) 6.(1)计算：F(243) ，F (617)；(2)若 s，t 都是“相异数” ，其中s100x32，t150y (1x9，1y9，x，y 都是正整数)，规定：k .F（s）F（t）当 F(s)F( t)18 时，求 k 的最大值3. (2015 重庆 A 卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数” 例如自然数 12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此 12321 是一个“和谐数”
4、再如 22，545，3883 ，345543，都是“和谐数” (1)请你直接写出 3 个四位“和谐数” ；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11 整除？并说明理由；(2)已知一个能被 11 整除的三位“和谐数” ，设其个位上的数字为 x(1x 4，x为自然数)，十位上的数字为 y，求 y 与 x 的函数关系式4. (2017 张家界) 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于1，记为 i21，这个数 i 叫做虚数单位，把形如 abi(a，b 为实数)的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：(2i) (53 i)(
5、25)(13)i72i ；(1i)(2i)12i2i i 22( 12)i 13i ；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i 3 _， i4_；(2)计算：(1i)(34i) ；(3)计算：i i2i 3i 2017.5. (2018 原创) 若整数 m 是 8 的倍数，那么称整数 m 为“发达数” 例如，因为16 是 8 的倍数，所以 16 是“发达数” (1)已知整数 m 等于某个奇数的平方减 1，求证：m 是“发达数” (2)已知两位正整数 t10 xy(1xy9，其中 x，y 为自然数) ，交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数 s，如果 s 加上 t 的和是“发达数” ，求所有
6、符合条件的两位正整数 t.6. (2017 重庆南开模拟) 若将自然数中能被 3 整除的数，在数轴上的对应点称为“3 倍点” ，取任意的一个“3 倍点”P，到点 P 距离为 1 的点所对应的数分别记为 a，b.定义：若数 Ka 2b 2ab，则称数 K 为“尼尔数” 例如：若 P 所表示的数为 3，则 a2，b4，那么 K2 24 22412；若 P 所表示的数为 12，则 a11，b13，那么 K13 211 21311147，所以 12，147 是“尼尔数”(1)请直接判断 6 和 39 是不是“尼尔数” ，并且证明所有“尼尔数”一定被 9 除余 3；(2)已知两个“ 尼尔数”的差是 18
7、9，求这两个“尼尔数” 7. (2017 重庆一外一模) 若一个三位数 tabc (其中 a，b，c 不全相等且都不为 0)，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为 T(t)例如，357 的差数 T(357)753357396.(1)已知一个三位数 a1b(其中 ab1) 的差数 T(a1b)792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数(2)若一个三位数 ab2(其中 a、b 都不为 0)能被 4 整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数 2ab 被 4 除余 1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数b2a 被 4 除余
8、 2，则称原数为 4 的“闺蜜数” 例如：因为6124153，2614651，1264312，所以 612 是 4 的一个闺蜜数求所有小于 500 的 4 的“闺蜜数”t，并求 T(t)的最大值8. (2017 重庆八中一模) 一个三位正整数 M，其各位数字均不为零且互不相等，若将 M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为 M 的“友谊数” ，如：168 的“友谊数”为“618”；若从 M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为 M 的“团结数” ，如：123 的“团结数”为1213212331321
9、32.(1)求证：M 与其“友谊数”的差能被 15 整除；(2)若一个三位正整数 N，其百位数字为 2，十位数字为 a、个位数字为 b，且各位数字互不相等(a0, b0)若 N 的“团结数”与 N 之差为 24，求 N 的值9. (2017 重庆大渡口区模拟)我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2 整除；一个整数的各位数字之和能被 3 整除，则它一定能被 3 整除若一个整数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么这个整数一定能被 6 整除数字 6 象征顺利、吉祥，我们规定，能被 6 整除的四位正整数 abcd(千位数字为 a，百位数字为b，十位数字为 c，个位数字为 d)是“吉祥数”
10、请解答下面几个问题：(1)已知 785x 是“吉祥数” ，则 x_.(2)若正整数 abcd 是“吉祥数” ，试说明：d4(abc )能被 2 整除(3)小明完成第(2) 问后认为：四位正整数 abcd 是“吉祥数” ，那么 d4(abc)也能被 6 整除你认为他说得对吗？请说明理由10. 个正整数，由 N 个数字组成，若它的第一位数可以被 1 整除，它的前两位数可以被 2 整除，前三位数可以被 3 整除，一直到前 N 位数可以被 N 整除，则这样的数叫做“精巧数” 如：123 的第位“1”可以被 1 整除，前两位数“12”可以被 2 整除， “123”可以被 3 整除，则 123 是一个“精
11、巧数” (1)若四位数 123k 是一个“精巧数” ，求 k 的值；(2)若一个三位“精巧数”2ab 各位数字之和为个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数” 11. (2017 重庆巴蜀模拟) 阅读材料：欢喜数若一个四位数的前 2 位数是后 2 位数的 2 倍，则称该数为“欢喜数” ，如 1005、2211 等都是欢喜数；半和数一个数，若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的 2 倍，则称该数为“半和数” ，如 132 等都是半和数；平方差数一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数” 根据上面的材料，回答下列问题：(1)证明所有的三位“半和数”均能
12、被 11 整除；(2)若一个四位正整数 abbc 是欢喜数，bmc 既是半和数又是平方差数，求 m 的值12. 一个三位自然数 m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为 0 的新三位自然数 m(m可以与 m 相同)，记 mabc ，在 m所有的可能情况中，当|a2bc|最小时，我们称此时的 m是 m 的“幸福美满数” ，并规定 K(m)a 22b 2c 2.例如：318 按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3281|18，|8213|7，|1 238|1，1718，所以 138 是318 的“幸福美满数” ，K(318)1 223 28 245.(1)若三位自然数 t
13、的百位上的数字与十位上的数字都为 n(1n9，n 为自然数)，个位上的数字为 0，求证：K(t)0；(2)设三位自然数 s10010xy (1x9，1y9，x，y 为自然数) ，且 xy.交换其个位与十位上的数字得到新数 s，若 19s8s3888，那么我们称 s 为“梦想成真数” ，求所有“梦想成真数”中 K(s)的最大值13. (2018 原创) 如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节” ，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以 252525
14、 是循环数它是 2 阶 6 位循环数；再如：11 是 1 阶 2 位循环数，789789789 是 3 阶 9 位循环数，345634563456 是 4 阶 12位循环数.(1)请你直接写出 3 个 2 阶 6 位循环数，猜想任意一个 2 阶 6 位循环数能否被 7整除，并说明理由；(2)已知一个能被 13 整除的 2 阶 4 位循环数，设循环节为 xy，(033，所以 333是 9 的最优拆分，且 P(9)0.(1)由上述条件，可得：P (11)_；若 P(n)1，则 n_；若 P(n)0，证明 n 必定能被 3 整除；(2)t 是一个两位正整数，且 t 的十位数字、个位数字分别为x、y(
15、1 xy9，x 、y 为整数)若 t 的十位数字、个位数字和的 8 倍加上 t 所得的和为 99，则我们称这个数 t 为“期盼数” ，求所有 “期盼数”中 P(t)的最大值18. 对于一个大于 100 的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”. 比如：2017 的兄弟数为 1720, 168 的兄弟数为 681.根据以上阅读材料，回答下列问题(1)求证：个三位数与其兄弟数之差一定能被 9 整除；(2)已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的 4 倍，求满足条件的原六位数19. (2017 重庆南开模拟) 一个自然数 m，若将其数字重新排列可得 个新的自
16、然数 n，如果 m3n，我们称 m 是一个“希望数” ，例如：310531035，71253323751，3712503123750.(1)请说明 41 不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数” ；(2)一个四位“ 希望数”M 记为 abcd，已知 abcd3cbad，且 c2，请求出这个四位“希望数” 20. (2017 重庆西大附中月考)一个三位正整数 N，各个数位上的数字互不相同且都不为 0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数 N 为“公主数”例如：132，选择百位数字 1 和十位效字 3 所组成的两
17、位数为：13 和 31，选择百位数字 1 和个位数字 2 所组成的两位数为：12 和 21，选择十位数字 3 和个位数字 2 所组成的两位数为：32 和 23，因为 133112213223132，所以 132 是“公主数” 个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数” (1)判断 123 是不是 “公主数”？请说明理由(2)证明：当一个“伯伯数”xyz 是“公主数”时，则 z2x.(3)若一个“伯伯数 ”与 132 的和能被 13 整除，求满足条件的所有“伯伯数” 21. (2018 原创) 若实数 a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即 a ，1n
18、 1n 1那么我们称 a 为第 n 个“1 阶倒差数” ，例如 1 ， 是第 1 个“1 阶倒差数”12 12 12， ， 是第 2 个“1 阶倒差数” 同理，若 b ，那么，我们称16 12 13 16 1n 1n 2b 为第 n 个“2 阶倒差数” (1)判断 是否为 “1 阶倒差数” ；直接写出第 5 个“2 阶倒差数” ；132(2)若 c，d 均是由两个连续奇数组成的“2 阶倒差数” ，且 22，求 c，d 的1d 1c值22. (2017 重庆八中二模) 若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数” ，如 3
19、4 的“诚勤数”为 324；若将个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数” ，如 34 的“立达数”为 36.(1)求证：对任意一个两位正整数 A，其“诚勤数” 与”立达数”之差能被 6 整除；(2)若一个两位正整数 B 的 “立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值23. (2017 重庆南岸区二模)若一个两位正整数 m 的个位数为 8，则称 m 为“好数”(1)求证：对任意“好数”m，m 264 一定为 20 的倍数；(2)若 mp 2 q2，且 p，q 为正整数，则称数对(p，q)为“友好数对” 规定：H(m) .例如 6818
20、216 2，称数对(18，16) 为“ 友好数对” ，则 H(68) .qp 1618 89求小于 50 的“好数”中，所有“友好数对”的 H(m)的最大值24. (2018 原创) 定义，对于一个多位自然数 a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加 1，我们称自然数 a 是“格调数” 例如，12，123，1234 等都是“格调数” 根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是 12，最大的“格调数”是 123456789.而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是 3，这样的“格调数”是 3456789.(1)已知四位“ 格调数”m 和 n，若 mn3333，求 m
21、的值；(2)规定：任意一个能被 18 整除的数，称为“发财数” 对于任意一个三位“格调数”t100a10(a1)(a2) ，交换其个位和百位上的数字，得到新的三位数 k，令 q kt，猜想 q 是否为“发财数” ，请说明理由25. (2017 重庆一中一模) 人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数” 例如：18 的正因数有 1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为 1236921；51 的正因数有 1、3、17、51，它的真因数之和为 131721，所以称 18 和 51 为“亲和数”
22、 数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是 1 的数为“两头蛇数” 例如：121、1351 等(1)8 的真因数之和为 _；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的 3 倍的差，能被 7 整除；(2)一个百位上的数为 4 的五位“两头蛇数”能被 16 的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数” 26. (2018 原创) 依次排列的几个数，如：a，b，c ，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，并将所得的差写在这两个数之间，从而产生一个新数串：a，ba，b，c b， c，我们称这样的一次操作
23、为 “差变增数列” 例如，对于依次排列的两个数，1，2，做一次“差变增数列”所得数串为 1，1，2；再做一次“差变增数列”所得数串为 1，0，1，1，2.(1)已知依次排列的 3 个数：2，8，7，做一次“差变增数列” ，所得新数串所有数字的和是_；做 m 次“差变增数列”后，所得新数串所有数字的和为_(用含 m 的代数式表示)；(2)若依次排列的 3 个数：x ，8，y；其中，0x ，5723 417 319 223 113 179“吉祥数”中 F(t)的最大值为 F(35) .572. 解：(1)F(243) (423 342234)1119，F(617)(167716671)11114；
24、(2)s， t 都是相异数F(s)(30210x 230x100x23)111x 5，F(t)(510y100y5110510y)111y 6，F(s)F( t) 18，x5y6xy1118，xy7，1x9， 1y 9，且 x，y 都是正整数 或 或 或 或 或 ，x 1y 6) x 2y 5) x 3y 4) x 4y 3) x 5y 2) x 6y 1)s 是相异数，x2，x3，t 是相异数，y1，y 5，满足条件的有 或 或 ，x 1y 6) x 4y 3) x 5y 2) 或 或 ，F（s） 6F（t） 12) F（s） 9F（t） 9) F（s） 10F（t） 8)k 或 k 1 或
25、 k ，F（s）F（t） 612 12 F（s）F（t） 99 F（s）F（t） 108 54 1 ，12 54k 的最大值为 .543. 解：(1)1331 ，2442，1001；猜想：任意一个四位“和谐数”能被 11 整除理由：设一个四位“和谐数”记为 xyyx，用十进制表示为：1000x100y10yx1001x110y 11(91x10y)，x、y 是 09 之间的整数，11(91 x10y )能被 11 整除；任意一个四位“和谐数”能被 11 整除；(2)设这个三位的“和谐数”为 xyx，用十进制表示为：100x10yx101x10y，它是 11 的倍数， 为整数，101x 10y1
26、1 9xy ，101x 10y11 99x 11y 2x y11 2x y11x，y 是 09 之间的整数， 是整数2x y11又1x4 ，0y 9，22x8， 9y 0，72x y8，要使 是整数，2x y11则 2xy 只能是 0，2xy0，即 y2x，y 与 x 之间的函数关系式是 y2x(1x4，x 为自然数)4. 解：(1) i；1；【解法提示】i 21，i 3i 2ii，i 4i 2i2(1)(1)1.(2)原式3 4i3i 4i 23i47i；(3)根据题意可得ii，i 21，i 3i，i 41，i 5i，i 61， ，i 20161，i 2017i ，ii 2i 3i 40，2
27、0164504，ii 2i 3i 4i 2017i 2017i.5. 解：(1)设这个奇数为 2n1，n 为任意整数，由题意知 m(2n1) 21 4n 24n114n(n1)， ，是4n（n 1）8 n（n 1）2整数，即 4n(n1) 是 8 的倍数，m 是“发达数” ；(2)由题意知 s10y x ，st10yx10xy 11x11y11(x y)，又1xy9，2xy18，要使 11(xy )是发达数，则 xy 是发达数，x y8 或 xy 16，当 xy8 时，x1，y7，t17，x2，y6，t26，x3，y5，t35，x4，y4，t44，当 xy16 时，x7，y9，t79，x8，y
28、8，t88，故所有符合条件的两位正整数 t 有17，26，35，44，79，88.6. 解：(1)6 不是尼尔数，39 是尼尔数证明：设 P 表示的数为 3m，则 a(3m1)，b(3m 1)，K(3m1) 2(3 m1) 2(3 m1)(3m1)9m 23，m 为整数，m 2 为整数，9m 23 被 9 除余 3；(2)设这两个尼尔数分别是 K1，K 2，将 P1，P 2 分别记为 3m1，3m 2.K 1 K29 m129m 22189，m 12m 2221，m 1，m 2 都是整数，m 1m 27，m 1m 23， ，m1 5m2 2) .K1 228K2 39)7. 解：(1) 一个三
29、位数 a1b(其中 ab1) 的差数 T(a1b)792，a9，三位数 a1b(其中 ab1)的各数位上的数字之和为一个完全平方数，1abn 2，101ab19，n4，b16916，这个三位数是 916；(2)一个三位数 ab2(其中 a、b 都不为 0)能被 4 整除，b1 或 3 或 5 或 7 或 9，将新数个位数字移到百位得到另一个新数 b2a 被 4 除余 2 并且 a5，a2，所有小于 500 的 4 的“闺蜜数”t 是 212，232， 252，272，292，T(t)的最大值是 922229693.8. (1)证明：设 Mxyz(xy z 0) ，则 M 的友谊数是 yxz，x
30、yz yxz (100x10y z)(100y10xz)90x90y 90(xy)156(x y)，6(xy) 是整数，xyz yxz 能被 15 整除故 M 与其 “友谊数”的差能被 15 整除；(2)解：由团结数定义可知，N 的团结数为：(20a)(20b)(10a2)(10a b) (10b2)(10ba)22a22b44，N 的团结数与 N 之差为 24，(22a 22b44) (20010ab) 24，即 a15 b，74a、b 为整数，1a9，1b9，ab， 或 ，a 8b 4) a 1b 8)N 284 或 218.9. 解：(1)4；(2)正整数 abcd 能被 6 整除，d
31、能被 2 整除设 d2k( k 为自然数 )，则d4(a bc)2k4(abc)2k2(abc) d4( abc )能被 2 整除；(3)小明的说法正确理由如下：四位正整数 abcd 能被 6 整除，abc d 能被 3 整除设 abc d3m(m 为自然数 )，则d4(a bc)(abcd)3(abc )3m3(abc)d4( abc )既能被 2 整除，也能被 3 整除，也能被 6 整除10. 解：(1)根据精巧数的定义，得 123k 能被 4 整除，则 1230k 能被 4 整除，1230k 1228(2k)，2k 能被 4 整除，又0k9 ，且 k 为整数，k2 或 6；(2)2ab
32、是“ 精巧数” ，a 为偶数，且 2ab 是 3 的倍数，a10，b10，2ab22，2ab 各位数字之和为一个完全平方数，2ab3 29，当 a0 时，b7，当 a2 时，b5，当 a4 时，b3，当 a6 时，b1，所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261.11. (1)证明： 设三位数 abc 是一个半和数，则 abc 2b，acb.这个三位数为 100a10bc100a10(ac ) c110a11c11(10ac )，且 10ac 为整数，这个三位数是 11 的倍数，能被 11 整除(2)解：四位数 abbc 是欢喜数，10ab2(10bc )，10a19b2c
33、 0.bmc 是半和数， bcm.bmc 是平方差数，mb 2c 2 (bc )(bc)，bc1，b1c ，代入 得 a ，21c 1910a 是 19 的正整数，c1，b 2，m213.12. (1)证明： 由题意得，t 按上述方法可得新数：n0n，nn0，|n20n|0，|n2n0|3n，03n，n0n 是 t 的“幸福美满数” ，K(t)n 220 2n 20；(2)解：s 10010x y ，s10010yx，19s8s3888，即19(10010xy )8(10010yx) 3888.得到 2xy12，xy，且均为自然数， 或 ，x 2y 8) x 3y 6)“梦想成真数”为 128
34、 或 136，通过计算，K(128)55，K(136)17 或25，又55 2517，K(s)的最大值为17.13. 解：(1)依照 2 阶 6 位循环数的定义，可任意写出 3 个 2 阶 6 位循环数：131313；272727；868686.任意一个 2 阶 6 位循环数能被 7 整除，理由如下：结合数字的特点可得知：2 阶 6 位循环数为任意的一个两位数10101 得出的101017 1443.任意一个 2 阶 6 位循环数能被 7 整除；(2)结合(1)的规律可知：2 阶 4 位循环数为任意的一个两位数101 得出的101 为质数xy 为 13 的倍数，又0x5 ，y3x.当 x4 时， y34 12，当 x5 时，y35 15 均不符合题意0x4，且 x 为整数，
