1、4.10 正弦定理、余弦定理应用举例1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三角外) 才能求解，常见类型及其解法如表所示已知条件 应用定理 一般解法一边和两角(如 a， B，C ) 正弦定理由 ABC 180，求角A；由正弦定理求出 b 与 c.在有解时只有一解两边和夹角(如 a， b，C )余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 AB C180求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c) 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 AB C180，求出角 C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如 a， b，A )正弦定理余弦定理由
2、正弦定理求出角 B；由ABC 180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解，一解或无解2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图) (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数1在某次测量中，在 A 处测得同一半平
3、面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则BAC_.2(2011上海)在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若 CAB75，CBA60，则A，C 两点之间的距离是_ 千米3江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_ m.4如图，某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，则 山的高度 BC 为_ m.5两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A
4、在观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的方位为_题型一 测量距离问题例 1 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 )海里的两3个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点3需要多长时间？探究提高 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；
5、选取的三角形及正、余弦定理要恰当要测量对岸 A、 B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并测得3ACB75 ，BCD45，ADC30 ，ADB45，求 A、B 之间的距离题型二 测量高度问题例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30，求塔高探究提高 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识如图，某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平 面内沿南偏西 60的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1
6、分钟以后，在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB， 的最大值为 60.(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了几分钟；(2)求塔的高 AB.题型三 几何中的正、余弦定理应用问题例 3 如图所示，在梯形 ABCTP209.TIF；%90%90；Z *2，YD 中， ADBC，AB 5，AC9，BCA 30 ，ADB45，求 BD 的长探究提高 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干 个三角形在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理如图所示，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，BD 交 AC 于 E，AB2.(1)求 cos
7、CBE 的值；(2) 求 AE.7.运用正、余弦定理解决实际应用问题试题：(14 分) 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处( 1)3海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的速度3追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度，以 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间审题视角 (1)分清已知条件和未知条件( 待求)(2)将问题集中到一个三角形中，如ABC 和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解规范解答解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小
8、时，才能最快截 获( 在 D 点)走私船，则 CD10 t 海3里，BD10t 海里， 2 分在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB 2AC 22AB ACcos A( 1) 22 22( 1)2cos 120 6.3 3BC 海里 4 分6又 ，BCsin A ACsin ABCsinABC ，ACsin ABC 2sin 1206 22ABC45，B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030 120， 8 分在BCD 中，由正弦定理，得 ，BDsin BCD CDsin CBDsinBCD .BDsin CBDCD 10tsin 120103t 12BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行
9、驶 10 分又在BCD 中，CBD120，BCD30 ，D30， BDBC，即 10t .6t 小时15 分钟610缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 14 分解斜三角形应用题的一般步骤：第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题 的解批阅笔记 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路如果涉及三角形问
10、题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题(2)本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解方法与技巧1合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型2把生活中的问题化为二维空 间解决，即在一个平面上利用三角函数求值3合理运用换元法、代入法解决实际问题失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含 义1方向角从指定方向线到目 标方向线的水平角2方位角从正北方向线顺时针 到目标方向线的水平角3坡度坡面与水平面的二面角的度数4仰角与俯角与目标视线 在同一铅直平面内的水平视线 和目标视线的夹角，目 标视线在水平
11、视线上方时称为仰角，目 标视线在水平视线下方时称 为俯角课时规范训练(时间：60 分钟)A 组 专项基础训练题组一、填空题1如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为 ，设 为坡角，那么 cos _.342已知 A、B 两地的距离为 10 km，B、C 两地的距离为 20 km，现测得ABC120，则A、C 两地的距离为_ km.3如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_ m.4如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区 的一个出入口，且小区
12、里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟若此人 步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米5一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.6如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD 10， AB14，BDA60 ， BCD 135 ，则 BC 的长为_二、解答题7(2010陕西)TP218.tif ；Z *2，Y如图，在ABC 中，已知B45，D是
13、 BC 边上的一点，AD10，AC14，DC 6，求 AB 的长8如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向2匀速直线航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1 处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航 行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 10 海里问：乙2船每小时航行多少海里？B 组 专项能力提升题组一、填空题1在ABC 中，已知A45，AB ，BC2，则C_.22某人向正东方向走 x km 后，向右转 150，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么 x 的值为_33已知
14、ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC 的面积为_4在ABC 中，B60，AC ，则 AB2BC 的最大值为_35如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救犬从 A 处沿正北方 向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后向右转 105，行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它向右转 135后继续前行回到出发点，那么 x_.6在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD DC，ADB120，12AD2.若ADC 的面积为 3 ，则BAC_.3二、解答题7如图所示，海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，船向正南航行，在 B 处测得小岛 A 在
15、船的南偏东 30方向，航行 30 海里后，在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触 礁的危险？8如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75、30 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km， 1.414， 2.449)2 6答案基础自测1130 2. 3.10 4.500( 1) 5.北偏西 106 3 3题
16、型分类深度剖析例 1 解 由题意知 AB5(3 )海里，3DBA906030 ，DAB9045 45，ADB180(4530)105.在ABD 中，由正弦定理，得 ，DBsin DAB ABsin ADBDB ABsin DABsin ADB 5(3 r(3)sin 45sin 1055(3 r(3)sin 45sin 45cos 60 cos 45sin 6053(r(3) 1)3 1210 (海里) 3又DBCDBAABC 30(9060)60，BC20 (海里)，3在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD 2BC 22BD BCcos DBC3001 20021020 900，3 312
17、CD30(海里)，需要的时间 t 1(小时)3030故救援船到达 D 点需要 1 小 时变式训练 1 解 如图所示，在 ACD 中，ACD120 ，CADADC30，ACCD km.3在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC .3sin 75sin 60 6 22在ABC 中，由余弦定理，得AB2( )2 22 cos 753 (6 22 ) 3 6 2232 5，3 3AB (km)，A、B 之间的距离为 km.5 5例 2 解 如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD40，此时DBF45， 过点 B 作 BE CD于 E，则AEB 30，在BCD 中，C
18、D40，BCD30， DBC135，由正弦定理，得 ，CDsin DBC BDsin BCDBD 20 .40sin 30sin 135 2BDE18013530 15.在 Rt BED 中，BEDB sin 1520 26 2410( 1) 3在 Rt ABE 中， AEB30，ABBEtan 30 (3 )(米) 103 3故所求的塔高为 (3 )米103 3变式训练 2 解 (1)依题意知，在DBC 中，BCD30，DBC180 45135 ，CD6 000 100(米)，160D180 1353015，由正弦定理得 ，CDsin DBC BCsin DBC CDsin Dsin DBC
19、 100sin 15sin 135 50( 1)(米) 1006 2422 50(r(6) r(2)2 3在 Rt ABE 中， tan .ABBEAB 为定长，当 BE 的长最小时， 取最大值 60，这时 BECD.当 BECD 时，在RtBEC 中，ECBCcos BCE50( 1)33225(3 )(米)3设该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了 t 分钟则 t 60 60 (分钟)EC6 000 25(3 r(3)6 000 3 34(2)由(1)知当 取得最大值 60时，BE CD，在 Rt BEC 中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsin BCDtan 60
20、50( 1) 25(3 )(米) 312 3 3即所求塔高 AB 为 25(3 )米3例 3 解 在ABC 中，AB5， AC9，BCA30.由正弦定理，得 ，ABsin BCA ACsin ABCsinABC .ACsin BCAAB 9sin 305 910ADBC，BAD180 ABC，于是 sinBAD sinABC .910同理，在ABD 中，AB 5，sinBAD ，910ADB45，由正弦定理得 ，ABsin BDA BDsin BAD解得 BD .故 BD 的长为 .922 922变式训练 3 解 (1)因为BCD9060150 ，CB ACCD，所以CBE15，所以 cosC
21、BEcos(45 30) .6 24(2)在ABE 中，AB2，由正弦定理 ，AEsin(45 15) 2sin(90 15)故 AE .2sin 30cos 15 1cos 15 6 2课时规范训练A 组1. 2.10 3.50 4.50 5.30 6845 7 2 7 2 27解 在ADC 中，AD10，AC14，DC 6，由余弦定理得cosADCAD2 DC2 AC22ADDC ，100 36 1962106 12ADC120，ADB60.在ABD 中，AD10，B45， ADB60，由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin BAB ADsin ADBsin B 10sin 60s
22、in 45 5 .103222 68解 如图所示，连接 A1B2，由已知 A2B210 ，2A1A230 10 ，22060 2A 1A2A 2B2.又A 1A2B218012060，A 1A2B2 是等 边三角形，A 1B2A 1A210 .2由已知，A 1B1 20，B 1A1B2 1056045，在A1B2B1 中，由余弦定理得B1B A 1B A 1B 2A 1B1A1B2cos 452 21 220 2(10 )222010 200，2 222B 1B210 .2因此，乙船的速度为 6030 (海里/小时)10220 2B 组130 2. 或 2 3.15 4.2 5. 6.603
23、3 3 710637解 在ABC 中，BC30 ，B30，ACB18045135 ，所以A15.由正弦定理，得 ，BCsin A ACsin B即 ，30sin 15 ACsin 30所以 AC 15( )30sin 30sin 15 6 2所以 A 到 BC 的距离为 ACsin 4515( )6 22215( 1) 15(1.7321)40.98( 海里)3这个距离大于 38 海里，所以继续 向南航行无触礁的危险8解 在ACD 中，DAC 30 ，ADC60 DAC30，所以 CDAC 0.1.又BCD18060 6060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA.在ABC 中， ，ABsin BCA ACsin ABC所以 AB ，ACsin 60sin 15 32 620同理，BD 0.33(km)32 620故 B、D 的距离约为 0.33 km.
