1、1A BC DE F七年级数学：相交线与平行线 培优复习例题精讲例 1如图(1)，直线 a 与 b 平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3 的度数。解： ab， 34（两直线平行，内错角相等） 1+32+ 4180(平角的定义) 12 (等式性质)则 3x+705x+22 解得 x=24 即1142 3180-138 图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组） ，是几何计算常用的方法。例 2已知：如图(2)， AB EFCD，EG 平分BEF，B+BED+ D =192，B-D=24 ，求GEF 的度数。解：ABEFCD B=BEF ，DEF=D （两直线平行，内错角相等）B
2、+BED+D =192（已知）即B+BEF+ DEF+ D=192 2（B+D ）=192 （等量代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24（已知） 图(2)B=60（等式性质） 即BEF=60（等量代换） EG 平分BEF（已知）GEF= BEF=30（角平分线定义）21例 3如图（3） ，已知 ABCD，且B=40，D=70，求DEB 的度数。解：过 E 作 EFAB ABCD （已知） EFCD （平行公理） BEF=B=40 DEF=D=70 （两直线平行，内错角相等） DEB=DEF -BEF DEB =D-B=30 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角” ，则
3、应添出辅助线。 图（3）A BC DE FG32l ab42例 4平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2 条直线产生 1 个交点，第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个交点；则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)= n(n-1)21评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 56 个不同的点，其中只有 3 点在同一
4、条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条直线，即能确定的直线为 15-2=13 条。另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的 3 点最多有33=9 条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)= n(n-1)21例 610 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两
5、条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理：4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域； 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+n=1+ n(n+1)= (n2+n+2)块不同21的区域思考：平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？321ABCDEF巩固练习1平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A6 B
6、 7 C8 D92平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不一定是 1，2，33平面上 6 条直线两两相交，其中仅有 3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）A36 条 B33 条 C24 条 D21 条4已知平面中有 个点 三个点在一条直线上， 四个点也在一条直线上，nBA, EFA,除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这 个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条n不同的直线，这时 等于（ ）（A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）A4 对 B8
7、对 C 12 对 D16 对6如图，已知 FDBE，则 1+2-3=( )A90 B135 C150 D180A BC DEFGH 第 5 题312ABC DEF G第 6 题 第 7 题 7如图，已知 ABCD，1=2，则E 与F 的大小关系 ；8平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的 5 点之外这些直线最多还有 交点9平面上 3 条直线最多可分平面为 个部分。10如图，已知 ABCDEF，PSGH 于P，FRG=110，则PSQ 。11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分lA BC DE FGHPQRS第 10题4ABCD E线与直线的交点个数是 。1
8、2平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，DECB ，求证：AED=A+B第 13 题 14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+G第 14 题 15如图，已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，EDC+ECD =90 ，求证：DAAB16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18一直线上 5 点与直线外 3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有 8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于 23。A BC DEF
9、GAB CDE第 15 题5答案1 5 个点中任取 2 点，可以作 4+3+2+110 条直线，在一直线上的 3 个点中任取 2 点，可作 2+13 条，共可作 10-3+18（条）故选 C2平面上 3 条直线可能平行或重合。故选 D3对于 3 条共点的直线，每条直线上有 4 个交点，截得 3 条不重叠的线段，3 条直线共有9 条不重叠的线段对于 3 条不共点的直线，每条直线上有 5 个交点，截得 4 条不重叠的线段，3 条直线共有12 条不重叠的线段。故共有 21 条不重叠的线段。故选 D4由 个点中每次选取两个点连直线，可以画出 条直线，若 三点不在一n 2)1(nCBA,条直线上，可以画
10、出 3 条直线，若 四点不在一条直线上，可以画出 6 条直线，FEA, 整理得 .8262)1(2n.0)9(1,09n n+90 选 B。,0n5直线 EF、GH 分别“截”平行直线 AB、CD，各得 2 对同旁内角，共 4 对；直线AB、CD 分别“截”相交直线 EF、GH，各得 6 对同旁内角，共 12 对。因此图中共有同旁内角 4+616 对6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3= AGC+AGF=180 选 B7解：ABCD （已知）BAD=CDA（两直线平行，内错角相等）1=2 （已知）BAD+1=CDA+ 2（等式性质）即EAD=FDAAEFDEF21ABCDEFA BC
11、DEFGH 第 5 题312ABC DEF G第 6 题68解：每两点可确定一条直线，这 5 点最多可组成 10 条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为 9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这 5 个点与其余 4 个点均有 4 条连线，这四条直线共有 3+2+16 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉 56=30 个交点，所以有交点的个数应为 45-3015 个9可分 7 个部分 10解 ABCDEFAPQ DQG=FRG=110同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ= DQG-SPQ=110-90=2011 0 个、1 个或无数个1）若线段 AB 的垂直
12、平分线就是 L，则公共点的个数应是无数个；2）若 ABL，但 L 不是 AB 的垂直平分线，则此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为 0 个；3）若 AB 与 L 不垂直，那么 AB 的垂直平分线与直线 L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个124 条直线两两相交最多有 1+2+36 个交点13证明：过 E 作 EFBA2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B （两个角的两边分别平行，这两个角相等）1+2= B+ A（等式性质）即AED=A+B14证明：分别过点 E、F、G 作 AB 的平行线 EH、PF、GQ，则 ABEHPF
13、GQ（平行公理） ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDC ABE+EFP+PFG+GDC BEH+ HEF+FGQ+ QGD （等式性质）即 B+D+EFG=BEF+ GFD15证明：DE 平分CDA CE 平分BCDEDC=ADE ECD =BCE (角平分线定义)CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+ BCE=2（EDC+ECD）180 DACB又 CBAB DAAB16两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有 4 个交点，三条直线最多有 3 个不同的交点，即最多交点个数为：2+43+3=1717 （1）2 个圆相交有交点 211
14、 个，ABCD EFA BEFGDCHQPlA BC DE FGHPQRS第 10题AB CDE第 15 题7第 3 个圆与前两个圆相交最多增加 224 个交点，这时共有交点 2+226 个第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加 236 个交点，这时共有交点 2+22+2312 个第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加 248 个交点 5 个圆两两相交最多交点个数为：2+22+23+2 420（2）2 个圆相交将平面分成 2 个区域3 个圆相看作第 3 个圆与前 2 个圆相交，最多有 224 个不同的交点，这 4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 224
15、 块区域，这时平面共有区域：2+2 26 块4 个圆相看作第 4 个圆与前 3 个圆相交，最多有 236 个不同的交点，这 6 个点将第 4 个圆分成 6 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 236 块区域，这时平面共有区域：2+2 2+2312 块5 个圆相看作第 5 个圆与前 4 个圆相交，最多有 248 个不同的交点，这 8 个点将第 5 个圆分成 8 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 248 块区域，这时平面最多共有区域：2+22+23+2 420 块18 直线上每一点与直线外 3 点最多确定 35=15 条直线；直线外 3 点间最多能确定 3 条直线， 最多能确
16、定 15+3+1=19 条直线 19将这 8 条直线平移到共点后，构成 8 对互不重叠的对顶角，这 8 个角的和为 180假设这 8 个角没有一个小于 23,则这 8 个角的和至少为: 238=184,这是不可能的.因此这 8 个角中至少有一个小于 23, 在所有的交角中至少有一个角小于 2320平面上有 10 条直线，若两两相交，最多可出现 45 个交点，题目要求只出现 31 个交点，就要减少 14 个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有 5 条直线互相平行，则可减少10 个交点；若有 6 条直线互相平行，则可减少 15 个交点；故在这个方向上最多可取 5 条平行线，这时还有 4 个交点需要减去，转一个方向取 3 条平行线，即可减少 3 个交点，这时还剩下 2 条直线和一个需要减去的点，只须让这 2 条直线在第三个方向上互相平行即可。如图这三组平行线即为所求。
