1、1河北省衡水中学 20132014 学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1设全集为实数集 R， 24,13MxNx,则图中阴影部分表示的集合是( )A 21x B C D 2x2设 ,aRi是虚数单位，则“ 1a”是“i为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3若 na是等差数列，首项 1
2、0,a21201a， 201201a，则使前 n 项和0S成立的最大正整数 n 是（ ）A2011 B2012 C4022 D40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” ，根据连续7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）平均数 3x；标准差 2S；平均数 3x且标准差 2S；平均数 且极差小于或等于 2；众数等于 1 且极差小于或等于 1。A B C D5.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线 B1D 与平面 A1BC1
3、 相交于点 E，则点 E 为A1BC1 的（ ）A垂心 B内心 C外心 D重心6.设 yx,满足约束条件,02,63yx若目标函数baz),(的最大值是 12，则 2ab的最小值12是（ ）A613B 365C D3617.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A16 B4 C8 D28已知函数 sin()fx(0,)图像的一部分（如图所示） ，则 与 的值分别为（ ）A15,06B21,3C7,16D4,539. 双曲线 C的左右焦点分别为 2,F,且 恰为抛物线2yx的焦点,设双曲线 与该抛物线的一个交点为 A,若 1是以 1AF为底边的等腰三角形,则双曲线 C的离心率为
4、（ ）A 2B 1C 13D 2310. 已知函数 )(xf是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 12,x，不等式)()()( 12121 xfffx恒成立，则不等式 0)(f的解集为( )A. 0, B. , C. , D. ,11.已知圆的方程 42yx，若抛物线过点 A(0，1)，B(0,1) 且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A. 1(y0) B. 1(y0)x23 y24 x24 y23C. 1(x0) D. 1 (x0)x23 y24 x24 y2312. 设 ()f是定义在 R上的函数，若 (0)8f ，且对任意 xR，满足2xx， (632xf，则
5、 )0(f=（ ）A. 076 B 208 C 708 D 2086第卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）313.在区间6，6，内任取一个元素 xO ，若抛物线 y=x2 在 x=xo 处的切线的倾角为 ，则3,4的概率为 。14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S的值是 15. 在 ABC中， P是 边中点，角 A， B， C的对边分别是 a，b， c，若 0ab，则 的形状为 。16.在 x轴的正方向上，从左向右依次取点列 ,21,j，以及在第一象限内的抛物线xy23上从左向右依次取点列,2
6、1,kB，使 kAB1（ ,）都是等边三角形，其中 0A是坐标原点，则第 2005个等边三角形的边长是 。三、解答题（共 6 个题， 共 70 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17.（本题 12 分）在 ABC中， cba,是角 CBA,对应的边，向量 ),(cbam, cban,，且nm)23(.（1）求角 ；（2）函数）（ 021)sin(co()(ssin()(2 xBAxBAxf的相邻两个极值的横坐标分别为 0、 0，求 )(f的单调递减区间.18.（本题 12 分）已知四边形 ABCD 满足1/,2ADBCDBCa，E 是 BC 的中点，将BAE 沿 AE翻折成 11,BEE使
7、 面 面 ，F 为 1的中点 .（1）求四棱锥 的体积；4（2）证明： 1/BEACF面 ；（3）求面 1D与 面 所成锐二面角的余弦值.19.（本题 12 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 |X Y|，求随机变量
8、的分布列与数学期望 E.20.（本题 12 分）已知椭圆 C：21xyab（ 0a）过点 (2)， ，且椭圆 C的离心率为12.（）求椭圆 的方程；（）若动点 P在直线 1x上，过 P作直线交椭圆 于 MN， 两点，且 P为线段 MN中点，再过 作直线 lMN.求直线 l是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。521. （本题 12 分）已知函数 ()fx是定义在 ,0,e上的奇函数,当 0,xe时, ()lnfxa(其中 e 是自然界对数的底, aR)（1）求 (fx的解析式;（2）设ln),0ge，求证：当 1a时，且 0,ex，1()2fxg恒成立；（3）是否存在实数 a
9、，使得当 ,0xe时， ()f的最小值是 3 ？如果存在，求出实数 a 的值；如果不存在，请说明理由。请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22. （本小题满分 10 分） 选修 41：几何证明选讲已知 PQ 与圆 O 相切于点 A，直线 PBC 交圆于 B、C 两点，D 是圆上一点，且 ABCD，DC 的延长线交 PQ 于点 Q求证： BCA2若 AQ=2AP，AB= 3,BP=2，求 QD.23(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程6在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为 si
10、ncobyax（ab0， 为参数） ，以 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线 C1 上的点M )3,2( 对应的参数 = 3， 4与曲线 C2 交于点 D)4,2(（1）求曲线 C1，C2 的方程；（2）A（1 ，） ， （2，+ 2）是曲线 C1 上的两点，求 21的值。24(本小题满分 l0 分) 选修 45：不等式选讲已知关于 x 的不等式 ax2log|1|2|（其中 0） （1）当 4a时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数 a的取值范围20132014 学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）答案一、选择题 （A）
11、卷 CACDD DBABC CC（B）CCADD BDACB CC二、填空题13、 1214、 15、等边三角形 16. 2005三、解答题17、解:（1）因为 abnmcbancbam)23(),(),( ，所以 abcb322，故 23cosC, 6,0C. -5 分（2） 21)sin()co()(cs)sin()(2 xBAxBAxf =1iocsi27= 21)sin(23)(cos2xx=)6sin(-8 分因为相邻两个极值的横坐标分别为 20x、 0，所以 )(xf的最小正周期为 T, 1所以)62sin()xf-10 分由Zkk,232所以 )(xf的单调递减区间为Zk,32,
12、6. -12 分18、解:（1）取 AE 的中点 M，连结 B1M，因为 BA=AD=DC= 21BC=a，ABE 为等边三角形，则B1M=a23，又因为面 B1AE面 AECD，所以 B1M面 AECD，所以 43sin31aV-4 分（2）连结 ED 交 AC 于 O，连结 OF，因为 AECD 为菱形， OE=OD 所以 FOB1E，所以 1/BEACF面 。-7 分(3)连结 MD，则AMD= 09，分别以 ME,MD,MB1为 x,y,z 轴建系，则),2(a,),23(a)0,2(aA,)0,3(D,),(1B,所以 1，)23,0(aEB，),(,)23,(1aA,设面 ECB1
13、 的法向量为 ),(zyxu，8023azxy，令 x=1, )3,1(u，同理面 ADB1 的法向量为)3,1(v， 所以53131,cos vu，故面 11ADBEC与 面 所成锐二面角的余弦值为 5.-12 分19.解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 .设“这 413 23个人中恰有 i 人去参加甲游戏 ”为事件 iA(i0,1,2,3,4)，则iiiCAP44)()(（1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 278)3(1)(2423 分（2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 43A，由于
14、3A与 互斥，故 91)3(2)1()( 434CPB所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 7 分19（3） 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 1A与 3互斥， 0与 4A互斥，故278)(0(AP， 81)()2(31PP1440。所以 的分布列是 0 2 4P 827 4081 17819随机变量 的数学期望 81478140270E12 分20.解：（）因为点 (2)， 在椭圆 C上，所以 2ab， 所以 2a， - 1 分因为椭圆 C的离心率为1，所以ca，即 214， - 2 分解得 23b， 所以椭圆 的方程为243xy. - 4 分（）设 0
15、(1)Py， ，()2，当直线 MN的斜率存在时，设直线 MN的方程为 0(1)ykx， 1()My， ， 2()Nxy， ，由2034(1)xyk， ，得222200(34)(8)(48)0kxk，所以01228+， 因为 P为 N中点，所以12=x，即28=34ky.所以03()4MNky， - 8 分因为直线 l，所以043lyk，所以直线 l的方程为004(1)3yx，即041()3yx，显然直线 l恒过定点1()4，. - 10 分当直线 MN的斜率不存在时，直线 MN的方程为 x，此时直线 l为 x轴，也过点1(0)4，. 综上所述直线 l恒过定点1(0)4，.- 12 分21.解
16、：（1）设 ,xe，则 (,xe，所以 ()ln()fxax又因为 ()fx是定义在,0)(,e上的奇函数，所以 )lf 10故函数 ()fx的解析式为ln(),0)()axef 2 分 （2）证明：当 ,0e且 1时，ln()()ln(),xfxxg，设ln()1)2xh因为1f，所以当 e时， ()0f，此时 ()fx单调递减；当10x时， ()0fx，此时 ()fx单调递增，所以 min1x又因为 2ln1h，所以当 0e时， ()0h，此时 ()hx单调递减，所以max min()()()efx所以当 ,0)时， (),fxh即12fg6 分（3）解：假设存在实数 a，使得当 ,0)e
17、时， ()ln()fxax有最小值是 3，则1()xfx（）当 0a， ,)e时，1()0fx ()fx在区间 ,0)e上单调递增，min()()1fxf，不满足最小值是（）当 ， ,)xe时， ()0fx， ()f在区间 ,)e上单调递增，min()()fxfa，也不满足最小值是（）当10e，由于 ,0)xe，则1()0fxa，故函数 ()ln()fxax 是,0)上的增函数所以 min(3ffe，解得41e（舍去）（）当1ae时，则当1exa时，1)0xa，此时函数 ()ln()fxax是减函11数；当10xa时，1()0fxa，此时函数 ()ln()fxax是增函数所以 min()()l
18、n()3ff，解得 2ae综上可知，存在实数 2ae，使得当 ,0)x时， ()fx有最小值 12 分22.（）因为 ABCD，所以PAB=AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A，所以PAB=ACB,因为 AQ 为切线，所以QAC=CBA,所以ACBCQA,所以 CBQ,所以 ABCQ25 分（）因为 ABCD，AQ=2AP ，所以 31CABPQ,由 AB= ,BP=2 得 3,PC=6AP为圆 O 的切线2124APB又因为 Q为圆 O 的切线2163D10 分23.解：（1）将 M )3,2(及对应的参数 = 3， 4；代入 sincobyax得 3sinco2ba，所以 4ba，所
19、以 C1 的方程为1462yx，设圆 C2 的半径 R，则圆 C2 的方程为：=2Rcos （或（x-R）2+y2=R2） ，将点 D)4,2(代入得：R=1 圆 C2 的方程为： =2cos（或（x-1 ）2+y2=1）-5 分（2）曲线 C1 的极坐标方程为：14sin16co22，将 A（1，） ，（2 ，+ 2）代入得： 4sin16co212，1)2(i)(2212所以 1654)cos16sin()4i16cos( 222221 即21的值为5。 -10 分24.解：（）当 a=4 时，不等式即|2x+1|-|x-1|2，当 x 21时，不等式为-x-22 ， 解 得4x 21；当 x1 时，不等式为 3x2，解得 x 3 ；当 x1 时，不等式为 x+22，此时 x 不存在综上，不等式的解集为x|4x 32 -5 分（）设 f（x）=|2x+1|-|x-1|=2x11x故 f（x）的最小值为3，所以，当 f（x）log2a 有解，则有 23loga，解得 a 42，即 a 的取值范围是),42。 -10 分
