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第二节 定积分计算公式和性质.doc
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1、第二节 定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数 在区间 上连续,并且设 x 为 上的任一点,于是, 在区间上的定积分为这里 x 既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为如果上限 x 在区 间上任意变动,则对于每一个取定的 x 值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上定义了一个以 x 为自变量的函数 ,我们把 称为函数 在区间 上变上限函数记为从几何上看,也很显然。因为 X 是 上一个动点,从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点 x 的函数(见图 5-10)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时
2、甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道:如果物体以速度 作直线运动,那么在时间区间 上所经过的路程 s 为图 5-10图 5-11另一方面,如果物体经过的路程 s 是时间 t 的函数 ,那么物体从 t=a 到 t=b 所经过的路程应该是(见图 5-11)即由导数的物理意义可知: 即 是 一个原函数,因此,为了求出定积分 ,应先求出被积函数 的原函数 ,再求 在区间 上的增量即可。如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分 的一般方法:设函数 在闭区间 上连续, 是 的一个原函数,即 ,则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便,将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分
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