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类型第二节 定积分计算公式和性质.doc

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:8091621
  • 上传时间:2019-06-08
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    第二节 定积分计算公式和性质.doc
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    1、第二节 定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数 在区间 上连续,并且设 x 为 上的任一点,于是, 在区间上的定积分为这里 x 既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为如果上限 x 在区 间上任意变动,则对于每一个取定的 x 值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上定义了一个以 x 为自变量的函数 ,我们把 称为函数 在区间 上变上限函数记为从几何上看,也很显然。因为 X 是 上一个动点,从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点 x 的函数(见图 5-10)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时

    2、甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道:如果物体以速度 作直线运动,那么在时间区间 上所经过的路程 s 为图 5-10图 5-11另一方面,如果物体经过的路程 s 是时间 t 的函数 ,那么物体从 t=a 到 t=b 所经过的路程应该是(见图 5-11)即由导数的物理意义可知: 即 是 一个原函数,因此,为了求出定积分 ,应先求出被积函数 的原函数 ,再求 在区间 上的增量即可。如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分 的一般方法:设函数 在闭区间 上连续, 是 的一个原函数,即 ,则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便,将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分

    3、基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。例 1 计算因为 是 的一个原函数所以例 2 求曲线 和直线 x=0、x= 及 y=0 所围成图形面积 A(5-12)解 这个图形的面积为图 5-12二、定积分的性质设 、 在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以得到定积分以下几个简单性质:性质 1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面,即(A 为常数 )性质 2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和,即这个性质对有限个函数代数和也成立。性质 3 积分的

    4、上、下限对换则定积分变号,即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明,此处证明从略。性质 4 如果将区间 分成两个子区间 及 那么有这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用定积分的几何意义,对性质 4 加以说明。当 acb 时,从图 5-13a 可知,由 y=f 与和 x=a x=b 及 x 轴围成的曲边梯形面积:图 5-13a图 5-13b因为 所以即性质 4 成立。当 abc 时,即点 c 在 外,由图 5-13b 可知,显然,性质 4 也成立。总之,不论 c 点在 内还是 外,性质 4 总是成立的。例 3 求例 4 求解 =例 5 求解所以例 6 求解 于是, 例 7 设 求解

    5、 因为 所以= =例 8 火车以 v=72km/h 的速度在平直的轨道上行驶,到某处需要减速停车。设火车以加速度 a=-5m/ 刹车。问从开始刹车到停车,火车走了多少距离?解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度刹车后火车减速行驶。其速度为当火车停住时,速度 ,故从解得 于是在这段时间内,火车走过的距离为=即在刹车后,火车需走过 40m 才能停住。习题 5-21 求下列定积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7)(8) (9) (10) (11)设2.求由 与直线 x=1,x=2 及 x 轴所成的图形的面积。3.一物体由静止出发沿直线运动,速度为 ,其中,v 以 m/s 单位,求物体在 1s 到 2s 之间走过的路程。

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