1、高等数学试卷 6（下）一.选择题（3 分 10）1.点 到点 的距离 （ ）.1M,24,7221MA.3 B.4 C.5 D.62.向量 ，则有（ ）.jibkjia,A. B. C. D.b3,a4,ba3. 设有直线 和 ，则 与 的夹角为（ ）158:21xyzL26:3xyLz1L2（A） ； （B） ； （C） ； （D） . 6434.两个向量 与 垂直的充要条件是（ ）.abA. B. C. D.000ba0ba5.函数 的极小值是（ ）.xyz33A.2 B. C.1 D.216.设 ，则 （ ）.xzsin4,1yzA. B. C. D.2227. 级数 是（ ）1()co
2、s) (0)n（A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与 有关.8.幂级数 的收敛域为（ ）.1nxA. B C. D.,1,1,9.幂级数 在收敛域内的和函数是（ ）.nx02A. B. C. D.1x12x1二.填空题（4 分 5）1.一平面过点 且垂直于直线 ，其中点 ，则此平面方程为3,0AAB1,2_.2.函数 的全微分是_.xyzsin3.设 ，则 _.132yxz24. 设 为取正向的圆周： ，则曲线积分 _.L2 2(2)d(4)dLxyxy5. .级数 的收敛区间为_.1()nnx三.计算题（5 分 6）1.设 ，而 ，求vezusi yxv, .,z2
3、.已知隐函数 由方程 确定，求yxz, 05242zxz .,yzx3.计算 ，其中 .dD2sin:yD4. 计算10iyx.试卷 6 参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1. .062zyx2. .xdcos3. .1962yx4. .nn015. .xeCy21三.计算题1. ， .yxyxexzy cossinyxyxezxycossin2. .12,zz3. .20sindd264. .316R5. .xey2四.应用题1.长、宽、高均为 时，用料最省.m32. .12xy高数试卷 7（下）一.选择题（3 分 10）1.点 ， 的距离 （ ）.1,4M2,721MA.
4、 B. C. D.23452.设两平面方程分别为 和 ，则两平面的夹角为（ ）.0zyx0yxA. B. C. D.64323.点 到平面 的距离为（ ）.1,2P52zyxA.3 B.4 C.5 D.64.若几何级数 是收敛的，则（ ）.0narA. B. C. D.1r1r1r8.幂级数 的收敛域为（ ）.nnx0A. B. C. D. 1,1,1,1,9.级数 是（ ）.14sinaA.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10. 考虑二元函数 的下列四条性质：(,)fxy（1） 在点 连续； （2） 在点 连续(,)fxy0 (,),xyff0(,)xy（3） 在点 可微分；
5、（4） 存在.(,)0若用“ ”表示有性质 P 推出性质 Q，则有（ ）PQ（A） ； （B）(2)(1)(3)2(1)（C） ； （D）344二.填空题（4 分 5）1. 级数 的收敛区间为_.1(3)nnx2.函数 的全微分为_.xyez3.曲面 在点 处的切平面方程为_.24,14. 的麦克劳林级数是_.21x三.计算题（5 分 6）1.设 ，求kjbkjia32,.ba2.设 ，而 ，求2uvz yxvsin,co.,zx3.已知隐函数 由 确定，求yxz,23z.,4. 设 是锥面 下侧，计算 2 (01)yz2d3(1)dxxzy四.应用题（10 分 2）试用二重积分计算由 和 所
6、围图形的面积.xy2,4试卷 7 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题1. .2112zyx2. .dexy3. .48z4. .021nnx5. .3y三.计算题1. .kji282. .yxyyxyzyxz 33323 cossincosincosi,sincosin 3. .22,zxzy4. .3a5. .xxeCy21四.应用题1. .362. .021xtvgx高等数学试卷 3（下）一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5 A、10 B、20 C、24 D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k
7、，则 a 与 b 的向量积为（ ）A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P（-1 、 -2、1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、函数 z=xsiny 在点（1， ）处的两个偏导数分别为（ ）A、 B、 C、 D、 ,2,222,5、设 x2+y2+z2=2Rx，则 分别为（ ）yzx,A、 B、 C、 D、zyR, zR, zyRx,zyRx,6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为 的薄板的质量为（ ） （面积 A= ）2 2A、R 2A B、2R 2A C、3R 2A D、 17、级数 的收敛半径
8、为（ ）1)(nnxA、2 B、 C、1 D、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A、 B、 C、 D、0)(n!2xn1)(n!2x0)1(n!2xn0)1(n)!21xn9、微分方程(y) 4+(y)5+y+2=0 的阶数是（ ）A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶10、微分方程 y+3y+2y=0 的特征根为（ ）A、-2，-1 B、2，1 C、-2 ，1 D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）1、直线 L1：x=y=z 与直线 L2： _。的 夹 角 为zyx3直线 L3： _。之 间 的 夹 角 为与 平 面 0621zyx2、 （0.98） 2.
9、03 的近似值为_,sin10 0 的近似值为_。3、二重积分 _。Dyxd的 值 为:,24、幂级数 _， _。的 收 敛 半 径 为0!nx0!nx的 收 敛 半 径 为5、微分方程 y=xy 的一般解为_，微分方程 xy+y=y2 的解为_。三、计算题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线 x=t,y=t2,z=t3 在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.3、计算 . D xyy。xyd围 成及由 直 线其 中 2,14、问级数 1sin)(n 。收 敛则 是 条 件 收 敛 还
10、是 绝 对若 收 敛收 敛 吗5、将函数 f(x)=e3x 展成麦克劳林级数6、用特征根法求 y+3y+2y=0 的一般解四、应用题（本题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）1、求表面积为 a2 而体积最大的长方体体积。2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比， （已知比例系数为k）已知 t=0 时，铀的含量为 M0，求在衰变过程中铀含量 M（t ）随时间 t 变化的规律。参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 1
11、0,A二、填空题1、 2、0.96，0.1736518arcsin,2or3、 4、0，+ 5、 ycxey,2三、计算题1、 -3 2 -8解： = 2 -5 3 = （-3） -5 3 -2 2 3 +（-8）2 -5 =-1381 7 -5 7 -5 1 -5 17 2 -8 x= 3 -5 3 =17 -5 3 -2 3 3 +（-8） 3 -5 =-1382 7 -5 7 -5 2 -5 2 7同理：-3 17 -8y= 2 3 3 =276 , z= 414 1 2 -5所以，方程组的解为 3,2,1zyx2、解：因为 x=t,y=t2,z=t3,所以 xt=1,yt=2t,zt=
12、3t2，所以 xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3故切线方程为： 311法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D 由直线 y=1,x=2,y=x 围成，所以D： 1y2yx2故： 2121381)(dydyxxydyD4、解：这是交错级数，因为5。 。nn。nxxnVnV原 级 数 条 件 收 敛所 以 发 散从 而发 散又 级 数所 以时趋 于当又 故 收 敛型 级 数所 以 该 级 数 为 莱 布 尼 兹且所 以 111 si1silmsi0si 0li,i、解：因为 ),( !3121xxxenw用 2x 代 x，
13、得： ),( !2!321 )(!1)(1)()(322 xxnxe n6、解：特征方程为 r2+4r+4=0所以， （r+2） 2=0得重根 r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为 y1=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解为 y=(c1+c2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为 x，y，z则 2（xy+yz+zx）=a 2构造辅助函数F（x,y,z）=xyz+ )(2azxyx求其对 x,y,z 的偏导，并使之为 0，得：yz+2 (y+z)=0xz+2 (x+z)=0xy+2 (x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于
14、零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z= 6a所以，表面积为 a2 而体积最大的长方体的体积为 36axyzV2、解：据题意 。eM。CcetdtMdttttt 而 按 指 数 规 律 衰 减铀 的 含 量 随 时 间 的 增 加铀 的 衰 变 规 律 为由 此 可 知所 以所 以又 因 为所 以两 端 积 分 得 式对 于初 始 条 件 为 常 数其 中 000lnln高数试卷 4（下）一选择题： 031下列平面中过点（,1）的平面是 （） （） （） （） 在空间直角坐标系中，方程 表示 2yx（）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面二元函数 的驻点是 22
15、)1()(yxz（） （,） （） （,） （） （,） （） （,）二重积分的积分区域 是 ，则 42yxDdxy（） （） （） （）4315交换积分次序后 xdyf01),(（） （） （） （）dyxf10),(10),(xf ydxf01),(10),(dxyfx 阶行列式中所有元素都是，其值是 （） （） （）！ （）对于 元线性方程组，当 时,它有无穷多组解,则 rAr)(（） （） （） （）无法确定下列级数收敛的是 （） （） （） （）1)(n123n1)(n1n正项级数 和 满足关系式 ，则 1nunvnvu（）若 收敛，则 收敛 （）若 收敛，则 收敛 1n1n1nu（
16、）若 发散，则 发散 （）若 收敛，则 发散 1nvuuv已知： ，则 的幂级数展开式为 2x21x（） （） （） （）42x4 421x421x二填空题： 05 数 的定义域为 )2ln(122yxyz若 ，则 xf),(),f已知 是 的驻点，若 则,0y,(f ayxfyxfyxf ),(,12),(,3),( 000当 时， 一定是极小点),0yx矩阵为三阶方阵，则行列式 A3级数 收敛的必要条件是 1nu三计算题(一)： 056 已知： ，求： ， yxzxzy 计算二重积分 ，其中 dD24 20,40|),(2xyxD已知： ，其中 ， ，求未知矩阵 1021023求幂级数 的
17、收敛区间1)(nnx求 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间） xef)(四计算题(二)： 021求平面 和 的交线的标准方程 设方程组 ，试问： 分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解1zyx参考答案一；二 21|),(yxyxy6a0limnu四 1解： zzyln12解： 3164)(44 2020202 xdxdxdxD3解： . 1542,1071ABB解： 当|x|1 时，级数收敛，当 x=1 时，得 收敛，,R 1)(n当 时，得 发散，所以收敛区间为 .x112)(nn ,(解：.因为 ,所以 .0!xe)(x nnnxxe00!)!) ),(四1解：.求直线的方向向量:
18、 ,求点: 令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所kjikjis5312以交线的标准方程为:. 531zyx2解： 1)2(100110011 2A(1) 当 时 , ,无解;3)(,2Ar(2) 当 时, ,有唯一解: ;,1 21zyx(3) 当 时, ,有无穷多组解: ( 为任意常数)1)(Ar 21cz21,c高数试卷 5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知 ， ，则 （ ）jiakbbaA 0 B C D jijiji2、空间直角坐标系中 表示（ ）12yxA 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面3、二元函数 在（ 0，0）点处的极限是（ ）sinzA 1 B 0
19、 C D 不存在4、交换积分次序后 =（ ）dy),x(f10A B )y,(fd10 dx)y,(fx10C D x),(fy10 ),(fy015、二重积分的积分区域 D 是 ，则 （ ）dxA 2 B 1 C 0 D 46、n 阶行列式中所有元素都是 1，其值为（ ）A 0 B 1 C n D n!7、若有矩阵 ， ， ，下列可运算的式子是（ ）233A B C D CABAC8、n 元线性方程组，当 时有无穷多组解，则（ ）r)(ArA r=n B rn D 无法确定9、在一秩为 r 的矩阵中，任 r 阶子式（ ）A 必等于零 B 必不等于零 C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都
20、不等于零 10、正项级数 和 满足关系式 ，则（ ）1nu1nvnvuA 若 收敛，则 收敛 B 若 收敛，则 收敛1n1n1n1nuC 若 发散，则 发散 D 若 收敛，则 发散1nv1nu1nu1nv二、填空题（4 分/题）1、 空间点 p（-1，2，-3）到 平面的距离为 xoy2、 函数 在点 处取得极小值，极小值为 28642)y,x(f3、 为三阶方阵， ，则 A3A4、 三阶行列式 = 0zyx5、 级数 收敛的必要条件是 1nu三、计算题（6 分/题）1、 已知二元函数 ，求偏导数 ，xyz2xzy2、 求两平面： 与 交线的标准式方程。2zyx4zyx3、 计算二重积分 ，其
21、中 由直线 ， 和双曲线 所围成的区域。dxyD2 2xxy1y4、 求方阵 的逆矩阵。1203A5、 求幂级数 的收敛半径和收敛区间。15nn)x(四、应用题（10 分/题）1、 判断级数 的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。pn)(12、 试根据 的取值，讨论方程组 是否有解，指出解的情况。1321321xx参考答案一、选择题（3 分/题）DCBDA ACBCB二、填空题（4 分/题）1、3 2、 （3，-1） -11 3、-3 4、0 5、 0nulim三、计算题（6 分/题）1、 ，ylnxzx212xyz2、 5033、 494、 461A5、收敛半径 R=3，收敛区间为（-4，6）四、应用题（10 分/题）1、 当 时，发散；0p时条件收敛；时绝对收敛2、 当 且 时， ， ，方程组有唯一解；123)(Ar0当 时， ，方程组无解；23)(r当 时， ，方程组有无穷多组解。1A
