1、第十二章 卷积码,主要内容和重点,基本概念 卷积码的图解表示 树状图 网格图 状态图和状态转移图 卷积码的解析表示 延时算子多项式表示 半无限矩阵表示,12.1 基本概念,按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为 (n, k)分组码：每个码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关 为了达到一定的纠错能力和编码效率（Rc=k/n），n通常较大，编译码时存储信息码产生的时延随n增大而线性增加 (n, k, N)卷积码：在任何一段规定时间内产生的n个码元，不仅取决于这段时间中的k个信息位，而且取决于前(N-1)段时间内的信息位 也是把k个信息比特编成n个比特，但k和n很
2、小，延时小 编码过程中相互关联的码元为Nn个 纠错能力随N的增加而增大。在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码 未有严格的数学手段有规律地联系纠错性能和码的构成，采用计算机搜索好码 N（或Nn）定义为卷积码的约束长度 编码效率Rc=k/n,12.1 基本概念,表示方法： 解析法：延时算子多项式表示、半无限矩阵表示 图解法：树状图、网格图、状态图 译码方法： 门限译码：即大数逻辑译码 性能最差，但硬件简单 Viterbi（维特比）译码：属最大似然译码 具最佳性能，但硬件实现复杂 序列（序贯）译码：属最大似然译码 在性能和硬件方面介于两者之间,12.1 基本概念,卷积码编码器的一般形式
3、 N段组成的输入移位寄存器，每段k级，共Nk位寄存器 n个模2和相加器 n级组成的输出移位寄存器,12.1 基本概念,卷积码编码器的一般形式（续） 由图可知：n个输出比特不但与当前k个输入比特有关，而且与以前的(N-1)k个输入信息比特有关 整个编码过程可看成：输入信息序列与移位寄存器和模2和连接方式所决定的另一个序列的卷积,12.2 卷积码的图解表示,主要内容 树状图 网格图 状态图和状态转移图,12.2 卷积码的图解表示,树状图 (2, 1, 3)卷积编码器：输出移位寄存器用转换开关代替，每输入1个信息比特经编码产生2个输出比特 设移位寄存器初始状态为全0 第1个输入比特：为0，输出比特=
4、00；为1，输出比特=11 第2个比特输入，第1个比特右移1位，输出比特同时受当前输入比特和前一个输入比特的影响 第3个比特输入，第1、2个比特各右移1位，输出比特同时由这3位移位寄存器存储的比特共同决定 第4个比特输入，第1个比特移出移位寄存器，不对后续编码产生影响,12.2 卷积码的图解表示,树状图（续） ：(2, 1, 3)卷积编码器 移位过程可用树状图表示 用a、b、c、d表示移位寄存器mj-2mj-1的4种可能状态：00、01、10和11 树状图用mj=0和mj-2mj-1=00作起点，即从a点出发 随着移位寄存器和输入比特的不同，树状图陆续分成4条支路，2上、2下。上支路对应于输入
5、比特为0，下支路对应于输入比特为1 每条支路（树叉）上标注的码元为输出比特，每个节点上标注的a、b、c、d为移位寄存器的状态 对j个输入信息比特，有2j条支路，但在j=N3时，树状图的节点自上而下开始重复出现4种状态（相当于移位超过移位寄存器长度，状态已重复出现）,12.2 卷积码的图解表示,树状图（续）树状图分析： 第1个输入比特m1=0时，输出比特x1,1x2,1=00； m1=1时x1,1x2,1=11。即从a点出发有2条支路（树叉）可选：m1=0取上支路，下一节点mj-2mj-1=00（为a）；m1=1取下支路，下一节点mj-2mj-1=01（即b）,12.2 卷积码的图解表示,树状图
6、（续）(2, 1, 3)卷积编码器树状图分析： 输入第2个比特，移位寄存器右移1位后，上支路情况下移位寄存器状态mj-2mj-1仍为00，即a，下支路mj-2mj-1=01，即b 对a，mj-2mj-1=00。若m1=0时，x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=00（为a） ； m1=1时x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=01（为b） 对b，mj-2mj-1=01。若m1=0时，x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=10（为c） ； m1=1时x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=11（为d） 输入第3个比特（ a、b的情况重复，故可不考虑）
7、 对c，mj-2mj-1=10。若m1=0时，x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=00（为a） ； m1=1时x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=01（为b） 对d，mj-2mj-1=11。若m1=0时，x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=10（为c） ； m1=1时x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=11（为d）,12.2 卷积码的图解表示,网格图 按照码树中的重复性，可得一种更为紧凑的图形表示 把码树中具有相同状态的节点合并在一起,12.2 卷积码的图解表示,网格图（续） 码树中的上支路（对应输入比特0）用实线表示，下支路（对应输入比
8、特1）用虚线表示,12.2 卷积码的图解表示,网格图（续） 支路上标注的码元为输出比特，自上而下4行节点分别表示a、b、c、d四种状态。通常有2N-1种状态，从第N节开始，图形开始重复而完全相同,12.2 卷积码的图解表示,状态图和状态转移图 取出已达到稳定状态的一节网格，可得到状态图 再把目前状态与下一行状态重叠起来，可得到反映状态转移的状态转移图,12.2 卷积码的图解表示,例：对上述(2, 1, 3)卷积编码器，若起始状态为a，输入序列为1101 1100 1000，求输出序列和状态变化路径 解：由该卷积码的网格图表示，找出编码时网格图中的路径如图所示，由此可得到输出序列和状态变化路径，
9、画在同一图中,12.2 卷积码的图解表示,对于(n, k, N)卷积码的一般情况，有如下结论 对应于每组k个输入比特，编码后产生n个输出比特 树状图中每个节点引出2k条支路 网格图和状态图（状态转移图）都有2k(N-1)种可能的状态。每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它状态或本状态引入,12.3 卷积码的解析表示,主要内容 延时算子多项式表示 半无限矩阵表示,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示 将编码器中移位寄存与模2和的连接关系以及输入、输出序列都表示为延时算子D的多项式 如输入序列1101110表示为M(D)=1+D+D3+D4+D5+ 哑变量D的幂次等于相对于时间
10、起点的单位延时数目，时间起点通常选在第1个输出比特 通常，输入序列可表示为M(D)=m1+m2D+m3D2+m4D3+ 其中，m1、m2、m3、m4为输入比特的二进制表示（1或0）,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示 用D算子多项式表示移位寄存器各级与各模2和连接关系时，若某级寄存器与某模2和相连，则多项式中相应项的系数为1，否则为0（表示无连接线） (2, 1, 3)卷积码编码器中，左、右两个模2和与寄存器各级的连接关系可表示为G1(D)=1+D+D2G2(D)=1+D2,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示（续） 把表示移位寄存器与模2和连接关系的多项式称为生成多项式
11、 由生成多项式用多项式相乘可计算出输出序列 以输入序列1101110为例，可得x1(D)=G1(D) M(D)=(1+D+D2)(1+D+D3+D4+D5+)=1+D5+D7+ x2(D)=G2(D)M(D)=(1+D2)(1+D+D3+D4+D5+)= 1+D+D2+D4+D6+D7+) 由此，输出序列x1=(x1,1, x1,2, x1,3, )=10000101x2=(x2,1, x2,2, x2,3, )=11101011x= =(x1,1, x2,1, x1,2 , x2,2, x1,3 , x2,3, )=11 01 01 00 01 10 01 11 结果与前面图解法所得结果相同
12、,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示（续） 常用二进制或八进制序列表示生成多项式。如上例：G1(D)=1+D+D2 g1=(111)=(7)8G2(D)=1+D2 g2=(101)=(5)8 这种表示主要是为了方便,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 输入信息序列和输出序列都用半无限矢量表示 以(2, 1, 3)卷积码为例，有M=m1 m2 m3 X=x1,1 x2,1 x1,2 x2,2 x1,3 x2,3 当第1个信息比特输入时，若移位寄存器起始状态为全0，两个输出比特为 x1,1=m1 x2,1=m1 当第2个信息比特输入时，移位寄存器右移1位，输出为 x1,2=m2
13、+m1 x2,2=m2 当第3个信息比特输入时，有 x1,3=m3+m2+m1 x2,3=m3+m1,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 当第j个信息比特输入时，输出为 x1,j=mj+mj-1+mj-2 x2,j=mj+mj-2 上式写成矩阵形式，即 mj mj-1 mj-2A=x1,j x2,j 其中,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 当第1、2信息比特输入时存在过渡过程m1 0 0T1=x1,1 x2,1m1 m2 0T2=x1,2 x2,2 其中，,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 把上述编码过程综合起来，可得矩阵表示如下X= MG 其中，G为生成矩阵（半无
14、限，矩阵的空白区元素均为0）,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系 已知(2, 1, 3)卷积码的生成序列为g1=(111)=(g11 g12 g13) g2=(101)=(g21 g22 g23) 把生成序列g1 、 g2按如下方法交错排列，即可得生成矩阵,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系（续） 结果与前面表示的生成矩阵相同，上式可表示为其中，每个子矩阵Gi（i=1, 2, 3）由一行二列组成：G1=(g11 g21) G2=(g12 g22) G3=(g13 g23),12.3 卷积码的解析表示,半
15、无限矩阵表示 推广：对于(n, k, N)码，有X= MG 其中，M=m1,1 m2,1 m3,1 mk, 1 m1,2 m2,2 m3,2 mk, 2 X=x1,1 x2,1 x3,1 xn, 1 x1,2 x2,2 x3,2 xn, 2 已知该码的生成序列一般表达式为gi, j=(gi,j1 gi,j2 gi,jl gi,jN) i=1, 2, k; j=1, 2, , n; l=1, 2, , N 其中gi,jl表示了每组k个输入比特中第i个比特经l-1组延迟后的输出与每组n个输出比特中第j个模2和的输入端的连接关系， gi,jl =1表示有连线，gi,jl=0表示无连线 则生成矩阵的一
16、般形式为,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示式中，Gl（l=1, 2, , N）是k行n列子矩阵，有,差错控制编码复习思考题,在通信系统中采用差错控制的目的是什么？ 什么是随机信道？什么是突发信道？什么是混合信道？ 常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。 什么试分组码？其构成有何特点？ 试述码重、码距、编码效率的定义、 一种编码的最小码距与其检错和纠错能力有什么关系？ 什么是奇偶监督码？其检错能力如何？ 什么是线性码？它具有哪些重要性质？ 什么是循环码？循环码的生成多项式如何确定？ 卷积码和分组码之间有何异同点？卷积码是否为线性码？ 什么是卷积码的树状图、网格图和状态图？,差错控制
17、编码复习计算方面的考点,基本计算 （1）抗干扰能力e，t与dmin之间的关系 （2）对线性分组码，dmin=Wmin （3）奇偶监督码编码 （4）汉明码参数（n=2r-1，r=3） （5）编码效率Rk/n 线性分组码 （1）编码A=MG，典型阵G=IkQ （2）监督AHT=O，典型阵H=PIr （3）纠错S=BHT=EHT,差错控制编码复习计算方面的考点,循环码 （1）生成多项式g(D) （2）g(D)G典型G典型（同线性分组码） （3）编码：A(D)=Dn-kM(D)+r(D) （4）译码：卷积码(n,k,N) （1）约束长度N的含义：相互关联的码段总数 （2）根据编码器原理图写出yimi关
18、系式 （3）根据输入信码求出卷积码，有如下多种方法： 根据输出、输入关系式： yimi 根据生成多项式gi 根据各种图形：树状图、网格图、状态图（4）状态图画法,练习题,1、已知三个码组为(001010),(101101),(010001)。若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错和纠错，各能纠、检几位错码？,根据三个码组可知该码的最小码距dmin4。当用于检错时，由dmine+1可得e=3，即能检出3位错码；当用于纠错时，由dmin 2t+1可得t=1，即能纠正1位错码；当同时用于检错和纠错时，由dmin e+t+1（e t）可得t=1,e=2，即能纠正1位错码
19、，同时检测2位错码。,练习题,2、设一线性分组码的错码图样如表所示。试： （1）确定(n,k)中的n,k值 （2）求监督矩阵H； （3）求生成矩阵G； （4）写出全部码组； （5）求dmin； （6）若接收码组B=(0111111)，试纠正之。 （7）若编码器输出码元速率为350Bd，求其输入码元速率。,解：1、由表可知a为a6a0，故n=7。又S为rbit，得r=3，于是k=4，此为（7，4）码。 2、表中内容为HT（除全0外），故有：3、,解：4、有两个方法：a：A=MG，然后从00001111排列出16种信息码，分别与G相乘。b:在生成矩阵中取一行，两行之和，三行之和，四行之和，以及取零
20、行（全0码），组成全部码组，共有C40C41C42C43C4416种。 5、dmin=Wmin=36、,7、编码效率 Rk/n=4/7输入码元速率R输出码元速率（4/7）350200Bd,练习题,3、已知(7,3)循环码的全部码组为(0000000),(0011101),(0111010),(1110100),(1101001),(1010011),(0100111),(1001110)。试求： （1）生成多项式g(D)； （2）典型生成矩阵G； （3）典型监督矩阵H； （4）列出错码图样表； （5）是否为汉明码？,解：1、根据生成多项式含义找到题中的第二码组（0011101），对应有：g(D
21、)=D4+D3+D2+1 2、3、,解：4、dmin=Wmin=4，所以t=1。列出错码图样如下图：5、由于不满足n=2r-1，因而它不是汉明码。,练习题,4、已知D7+1=(D3+D2+1)(D3+D+1)(D+1)。另g1(D)= D3+D2+1, g2(D)= D3+D+1,g3(D)= D+1。分别讨论： （1）g(D)=g1(D) g2(D) （2）g(D)=g2(D) g3(D) 两种情况下，由g(D)生成的7位循环码的检错与纠错能力。,练习题,5、设有一（3,1,4）卷积码，其编码器输出y与m1,m2,m3,m4之间的关系为： Y1=m4; Y2=m1+m2+m3; Y3=m2+
22、m3+m4 并给定输入信码为110100，试： （1）画出编码器原理图 （2）根据题目给定的关系式求输出序列 （3）采用生成多项式计算输出序列； （4）画出该卷积码编码器的状态图； （5）根据状态图求输出序列。,1、2、假设零初始条件，即m1=m2=m3=m4=0。当第1个信码进入时，m4=1，y1=m4=1,y2=m1+m2+m3=0,y3=m2+m3+m4=1。当第2个信码进入时，有m4=1,m3=1,m2=m1=0。于是有：y1=1,y2=1,y3=0。以此类推。可得： 输入信息码： 1 1 0 1 0 0 输出卷积码：101 110 000 100 001 011 为系统码。,3、生成多项式为：g1(D)=1,g2(D)=D3+D2+D, g3(D)=D2+D+1 又知信息码多项式m(D)= D3+D+1,因此， Y1(D)=m(D)g1(D)= D3+D+1 (110100) Y2(D)= m(D)g2(D)= D6+D5+D (0100011) Y3(D)= m(D)g3(D)= D5+D4+1 (1000110),
