1、小学奥数知识系列之-扑克牌中的数学游戏有一种叫“24 点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家，深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉，把 A、J、Q、K 分别看作 1 点，11 点、12 点、13 点，或者将它们均看 1 点，其余牌面是几点，就是几点。玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：（1）四个人每人抓到 13 张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。（2）参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行、（）运算，使结果为24。（3）谁先列出，谁就得 1 分，牌入底；若四人均无法列出，则无人得分，牌也入底。（4）再次每人任意抽取一张牌，再次按（2）（3）规则进行。（5）重复（2）、（3）、（4），直
2、至每人手中 13 张牌全部用完为一局，得分多者为胜。例如，抽出的四张牌为 3、4、7、11，可以这样计算：（74）（113）3824，或（711）3418346424这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：例 1 抽出下面四组牌：（A，J，Q，K 分别为 1 点，11 点，12 点，13 点）（1）2，3，4，5 （2）3，4，5，10（3）K，7，9，5 （4）J，6，Q，5你能算出 24 点吗？分别：要想比赛获胜，必须有一些技巧。那就是要非常清楚 24 可以由怎样的两个数求得，如 21224，4624，3824，18624，30624这样就可以把问题转化成怎样使用 4 个数，凑出两个
3、数的问题，其中有一点值得大家注意，就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。解：（1）依据 21224，可得 2（345）24，（2）依据 3812，可得 3（1054）24，（3）依据 4624，可得（137）（95）24，（4）依据 18624，可得（115）（612）24说明：上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据 4624，也可得第（2）组为4（1035）24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。例 2 如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“19”中的同一数字的牌，请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”？怎样算？分析：四人抽出同一数字的牌有 9 种情况，4 个 1，4 个 3，4 个 44 个 8
4、，4 个 9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字（19 中的一个）填加运算符号，得“24”的问题。由于 4 个数字相同，用乘法关系最后求得“24”就不太容易，应考虑、关系，27324，25124，20424，121224经过尝试，我们发现，4 个 1，4 个2，由于数太小，无法算出“24”，而 4 个 7，4 个 8，4 个 9 由于太大，也无法算出。其余可以实现。解：依据 27324 ，可得 333324，依据 20424 ，可得 444424，依据 25124 ，可得 555524，依据 121224 ，可得（66）（66）24，说明：有些不能算出 24，可能是由于我们知识水平的限制，而
5、并非真的不能，如请同学们想一想 4 个 10，4 个 11，4 个 12，4 个 13 你能求解吗？由上面的例子，我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题，下面我们就来研究。例 3 填上适当的运算符号，使算式成立（1）4 4 4 45（2）4 4 4 46（3）4 4 4 47（4）4 4 4 48（5）4 4 4 49（6）4 4 4 410分析：（1）4 4 4 45，最后一个 4 前面是三个 4，如可凑出 1，145，如可凑出20，2045，44 420，因此可求解。（2）4 4 4 46，最后一个 4 前面是三个 4，如可凑出 2，246；即（44）42，因此可求解。
6、（3）4 4 4 47，前面两个 448，后面两个 4 得 1 即可求解，441 刚刚好。（4）和（6）可利用（3）的思路稍加变化就可以求解。（5）4 4 4 410，最后一个 4，前面如是 6，6410 可求解，但不易做到。如前面是 40，40410 也可以求解，44440，数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。（题目中没有限制，当然是可以这样做的）。解：（1）（444） 45（2）（44）446（3）（44）447（4）（44）448（5）（44）+449（6）（444）410说明：（1），（2），（6）中的解题思路是一种倒推的方法，这是一种常用的，行之有效的方法同学们加以掌握。（4），（
7、5）中解题思路是依据数字的特点，这种方法，依赖于良好的数感，需要大家经过一段时间的训练才能获得。例 4 不用（），且运算符号不超过三次，添在适当位置，使下面的算式成立。9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000分析：不使用（），运算顺序只能从左往右，先、后、；运算符号不超过三次，就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近 1000，可选999，10009991，后面 6 个 9 要得到“1”，就很简单了 999999，问题可求解；还可以用另一种方法接近 1000，999991111，11111000111，后面 9999 想办法等于111，9999111，问题也可解出。解：9999999
8、9910009999999991000说明：先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比较多时常常用到。当然此题还有其它方法，同学们可以用上面的思路再试一试。例 5 填入适当运算符号，使下式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 11000分析：此题中 91 九个数字各不相同，位置固定，初看与前面的例题有很大不同，但是经仔细读题，认真分析，我们可以发现，做此题时，、（）均可使用，运算符号用多少次没有限制，数字可以连用，也可以分开，条件很宽松。由于 1000 数比较大，我们也采用例 4 中靠近结果，再凑较小数的方法解决。可以用 9876993，再用 5 4 3 2 1 凑成
9、7 即可，这个方法就很多了。还可以取前边 987 和后边的 21 相加得 1008，中间的 6 5 4 3 凑成 8 就行了。解：98765432110009876543+2110009876（54）（321）100098765（43）211000987（6543）211000说明：此题还有许多解决，但不论哪种方法，都遵循先靠近结果，再凑较少数的原则，大家可以再想想，你还能想到什么方法？例 6 在下列算式中合适的地方，填上括号，使算式成立。（1）45684230（2）45684239（3）45684221（4）456842140分析：（1）从最后一步逆推，减 2 前面的式子得 32，还从后面入
10、手，这就需要4568，填上适当的括号得 128，尝试发现括号的填法有两种（45）68，45（68），分别得 128，74，因此括号的填法为（45）68 4230（2）从最后一步逆推，减号前面的式子要得 41，还从后面入手要求4568414 这是无法实现的。从前面入手考虑，就应设法使 5684235，还从前面想这就需要 68427，可从这样实现（68）（42）。因此括号的填法为 45（68）（42）39（3）从后面减 2 前面的式子得 23 才能有解，可 45684 无论如何填加括号，都不可能现实。把 42 放在一个括号里等于 2，i 除号前面的式子就要得 42，通过观察容易发现，4568 按顺
11、序计算就可得 42，所以此题括号的填法是（4568）（42）21（4）140 比较大，应充分发挥“”的作用，使“”左右两侧的因数尽可能大，即（45）（68）280，再缩小 2 倍，就是所求结果，正好“”后面 422，所以此题括号的填法是（45）（68）（42）140解：（1）（45）684230（2）45（68）（42）39（3）（4568）（42）21（4）（45）（68）（42）140说明：填括号时既可以用“（）”，也可以根据需要用“”，从一端想起经过尝试，淘汰，最终可以找到解题方法。阅读材料数学符号的起源数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和
12、使用比数字晚，但数量多得多。现在常用的 200 多个，初中数学书里就不下 20多种。他们都有一段有趣的经历。例如：（1）加号曾经有好几种，现在通用“+”号。“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销。这样就成了个“+”号。到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”号用作减号。（2）乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“”，最早是英国数学家奥屈特 1631 年提出的；一个是“”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“”向拉
13、丁字母“X”，加以反对，而赞成用“ ”号。到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“”作为乘号，他认为“”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。（3）“”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到 1631 年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的代数学里，才根据群众创造，正式将“”作为除号。（4）十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从 1540 年开始使用起来。1591 年，法国数学家韦达大量使用这个符
14、号，才逐渐为人们接受。练习题1在“24”点游戏中提出了下面几组牌，你能很快求出“24”吗？（1）1，3，5，7 （2）2，5，7，9（3）1，3，9，10 （4）10，4，10，4（5）K，Q，J，J （6）Q，10，Q，1分析：（4）1010100 是 4 的 25 倍，100496，正好是 4 的 24 倍，所以可以这样做（10104）424（5）K，Q，J，J 即 13，12，11，11，依据 25124 可得 1312111124（6）Q，10，Q，1 即 12，10，12，1，依据 12224 可得 12（1210）124解：（1）（57）（31）24 （2）579224（3）（11
15、0）3924 （4）（10104）424（5）1312111124 （6）12（1210）1242在“24”点游戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗？（1）3，3，7，7 （2）1，5，5，5分析：（1）用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”，是否就没有办法了呢？当然不是，用乘法分配律的方法就可以求解（337）73737724（2）用同样的方法求解（515）55515524解：（1）（337）724（2）（515）524说明：熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易，这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界，拓宽同学们的思路。3抽的四张牌恰好是“19”中从大到小连续排列的四张，这样的牌能算出
16、“24”吗？分析：符合要求的组合有六组：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1 不难发现它们均可求出 24 点。解：（1）依据 4624 得 8（97）624（2）依据 21224 得（75）（86）24（3）依据 21224 得（57）（64）24（4）依据 4624 得 2（345）24（5）依据 4624 得 123424说明：这个例子告诉我们不论从大到小，还是从小到大，连续取“19”中任意四个数均可凑成“24”。4添上适当的运算符号，使算式成立。（1）6 6 6 61 （2）6 6 6 62（3）6 6 6 63 （4）6 6 6
17、64（5）6 6 6 65 （6）6 6 6 66分析：（1）根据 AA1，可得许多种解，如（66）（66）1 或（66）（66）1（2）根据 112，可得 66662（3）根据 1863，可得（666）63（4）根据 624，可得 6（66）64（5）根据 3065，可得（666）5（6）根据 066，可得 6（66）66 或（66）660解：（1）（66）（66）1 （2）（66）（66）2（3）（666）63 （4）6（66）64（5）（666）65 （6）（66）6605用 7 个 7 组成 4 个数，并使运算结果为 1007，7，7，7，7，7，7100分析：首先要使一部分接近 10
18、0，7777111，11110011，后面的 777 凑成 11就可以了 77711，所以可以这样解：77777771006在 9 个 9 之间填适当的运算符号，使下面算式成立。9 9 9 9 9 9 9 9 92008分析：先要想办法使一部分靠近“2000”，9999991998，2008199810，后面的三个 9 凑成 10 即可。解：9999999992008说明：前六个数也可以用其他方法求得 1998，如 999（99）91998 这种题目往往不只一种解法。7填上适当的运算符号，使算式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 12007分析：结果较大，先用一部分凑出与 2007 相接近的
19、数，即 65431962 而2007196245，现在我们要办法使 9，8，7，2，1 凑成 45，而452124，98724。解：98765432120078在 1115 之间，选择恰当位置，填上适合的运算符号，使算式结果为 100。11 12 13 14 15=100分析：原题的意思是使下式成立：1 1 1 2 13 14 15 100取 121 靠近 100，1112131101，415 凑成“1”即可有解，（41）51。还可以取 111 靠近 100，1112190，3 1 4 1 5 凑成 10 即可有解，314110此题还有许多方法，请同学们自己试一试。解：1112131（41）5
20、100 或 111213141 51009现有的牌为 110，请从中选牌，每张牌只用一次，使下列“24”点游戏成立。（1）1124 （2）（5）224（3）（10）41124（4）3224（5）54424（6）1331024分析：观察这六个算式，我们发现（5），（6）很好确定所选牌是 5 和 7。再观察余下的四个算式，（4）3224，324，可取 9，10，取 10 时，2 的方块在 110 中无值可取，所以3 只能取 9，另一个中可以取 6。再来观察（3）（10）424 24496，所以1096，10100，110 中，只能取 10，另一个方中就只能取 4。接下来看（1）+6+1124，24
21、1113，+613，613 的方格中可取 1 和 2；取 1 时有 71613，7 在（6）中已经用过，所以6 的方格中只能取 2，另一个中取 1。最后观察（2）式，现在只剩下 3、8，（5）2 为偶数，24 为偶数，所以第二个只能取 8，第一个方面中取 3。解：（1） 1124 （2）（ 5）2 24（3）（ 10 ）424 （4） 3 224（5） 54424 （6）133102410在适当的位置中，填上括号，使下列算式成立。（1）960324130（2）960324156（3）960324115（4）960324145分析：（1）题中只有3，1 两处可以使数值变小，特别值得注意的是“”后面只有 1，所以要想办法使算式中数靠近 30，又要小于 30，（960）323，再使后面得7 即可，241 正好得 7。（2）56 是个较大的数，我们还要先靠近 56，再凑小数，在中间的、之间想办法，60（32）448，再加 8 就得结果了，918。（3）从前端想 1596，想办法使后面部分得 6，60106，3241 正好得10。（4）从前端想 45936，3612394，60（32）12，413，可求解。解：（1）（960）324130（2）960（32）4156（3）960（3241）15（4）960（32）（41）45
