1、应用时间序列课程小论文：针对某地区 19832005 年各季度的实际国内生产总值数据的时间序列问题，用spss 软件曲线估计方法建立随机线性模型数学与信息科学学院 08 级统计学小组成员：易成栋 200812217胡斌 200812218赵仓仓 200812219郭照璞 200812222针对某地区 19832005 年各季度的实际国内生产总值数据的时间序列问题，用spss 软件曲线估计方法建立随机线性模型一般建立随机线性模型的标准手法时间序列分析在工程技术中有重要的作用，常用于做预报、控制等。为建立其随机线性模型，首先，我们应明白什么是时间序列：时间序列是随机序列，即参数离散的随机过程。由于
2、工程中遇到的随机序列的参数经常为时间，故称随机序列为随机时间序列，简称时间序列。可以说，时间序列是随时间改变而随机变化的序列。平稳时间序列是平稳序列，它满足期望为零，且任意两个时刻的相关函数与时间 t 无关，仅与两个时刻的时间差相关。本文主要介绍平稳时间序列的随机线性模型的建立。为建立平稳时间序列的随机线性模型；我们应掌握以下基本知识：一基本知识1）两个重要参数及其性质A：自相关函数 k=rk/r0 自相关函数刻划了任意两个时刻之间的关系。B: 偏相关函数 kk偏相关函数刻划了平稳序列任意一个长 k1 的片段在中间量固定的条件下，两端的线性密切程度。与他们相关的性质有：拖尾性和截尾性。拖尾性：
3、指它们随 k 无限增长以负指数的速度趋向于 0，其图像像拖一条尾巴。截尾性：指它们在 kp 或 kq 后，其值变为零，其图像像截断了的尾巴一样。2）平稳时间序列的线性随机模型的三种重要形式 at 为白噪声。这三种形式可以描述如下：A：AR（p）自回归模型 t- 1 t-1- 2 t-2- p t-p=atAR（p）模型有 p2 参数刻画;B: MA(q)滑动平均模型 t = at 1at-1 2at-2 - qat-qMA(q)模型有 q2 参数刻画;C: ARMA(p,q)混和模型 t- 1 t-1- 2 t-2- p t-p= at 1at-1 2at-2 - qat-qARMA(p,q)
4、混和模型有 pq3 参数刻画；其实，我们可以把 AR(p)和 MA(q)模型看成 APMA(p,q)的两种特例。3）三种形式和两个重要参数的关系三种 model 和两个重要参数的关系有如下表的关系：modelfunction AR(p) MA(q) ARMA(p,q) k 拖尾 k=q 处截尾 拖尾 kk k=q 处截尾 拖尾 拖尾 依据上表，我们可以跟据 k和 kk判别模型类别。二建模掌握上述基本知识后，下面我们来看看具体如何建立平稳时间序列的随机线性模型。此过程可以分为五步，具体如下：1 对一个时间序列作 n 次测量得到一个样本 Z1，Z 2， ,Z n,一般取 n50；2 数据预处理：作
5、 t = Zt ( = 为样本数据的算术平均值)，得到1nin 个数据： 1, 2， , n；3计算样本自协方差函数 ，样本自相关函数 ，偏相关函数 数值，krkkk=0,1,2,k；一般取 kp 时，样本偏相关函数不为零，而偏相关函数 kk=0，这就给判断带来一定的困难。我们可以采用一下方法解决：当 kp 时，平均 20 个样本偏相关函数中至多有一个使| | 2/ ,则认为 kk截尾在 k=p 处，其理论依据为：kn定理：对于具有 AR（p）自回归模型的正态平稳时间序列 t，当 n 很大时，样本偏相关函数在 kp 时近似服从正态分布 N(0,1/n).(摘自 安鸿志 时间序列分析及其应用)。
6、2）若 kk拖尾， k在 k=p 处截尾，那么线性模型为 MA(q)滑动平均模型。 kk拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断，只要| |愈变愈小（k 增大时） 。但是，用样本自相关函数判断自相关函数 k在 k=q 处截尾可采用如下方法：当 kq 时，若平均 20 个样本自相关函数中至多有一个使| |2/ ,其理论依据如下：n定理：对于具有 MA(q)滑动平均模型的正态平稳时间序列 t,当 n 很大时，样本自相关函数在 kq 时服从正态分布 N(0,(1+ )/n)。(摘自 安鸿志 时间序列分析及21ql其应用)。3)若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模型可以看成混和模型（或者，
7、样本自相关函数和样本偏相关函数都不为截尾的，又被负指数型的数列所控制） 。其具体的判别方法和上述一样。识别 p,q 办法可以从低阶到高阶逐个取（p,q）为（1，1）,(1,2),(2,1),等值尝试，即先认定（p,q）为某值（如（1，2） ）再进行下一步的参数估计，并且定出估计模型来，然后经过一定方法（自相关函数检验法，周期图检验法）检验这个估计模型是否被接受，即与原序列符合的好不好；若不被接受，就调整（p,q）尝试值，再重新作参数估计和检验，直到被接受为止。此法虽然繁琐但是很为实用。对平稳时间随机线性模型的三种形式都适用，只是对于自回归模型 q=0,对于滑动平均模型 p=0。另外，混和模型在
8、实际应用中阶数(p,q)一般少用 MA 或 ARMA 模型；除此之外，尚有其他定阶的手法。5参数估计：计算参数估计值，下面具体介绍用粗估计：矩估计方法进行参数估计，具体如下：1）AR（p）模型参数估计：AR（p）模型有 p+2 个参数：p， 1, 2, p, 。 p 在确定其阶数时已经确定了，2a所以此时只要确定 1, 2, p, 。利用 yule-walker 方程，利用 Toeplitz 矩阵求逆a和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数 kk，计算量是很大的，可以采用递推公式计算，计算量要小一些。在计算样本偏相关函数时，同时也计算了自回归模型的参数值，因此AR（p）模型的参数值不必作专门的计算
9、，只要在样本偏相关函数计算的记录中取出样本参数值即可。此时 1, 2, p,都已经确定了，那如何确定 。事实上，经过推理我们可 2a以得到： 0 j j2a1p因而，只需用相应的样本计算值带入上式即可得出 。此时，AR（p）模型的参数估2a计完成。2）MA(q)滑动平均模型参数估计：对：k = 0, r 0 = (1+ + )2a12q0q, rk=0上述式子两边对 rk， ， k取估计值可得 q+1 个方程，其中样本协方差函数 k数值2a r已算出，而未知数 1, 2，, q, ,共 q+1 个，此方程组是非线性方程组，要求2a1, 2， , q, ，即可解这个非线性方程组。另外也可采用近似
10、解法（略） 。a3）ARMA(p,q)混和模型参数估计对于满足一个条件： 1 1. .ttptttptqaa采用先计算 ，., ，在计算 1, 2，, q, 的方法，具体如下：2,p2aA：先算： ，., 12,p可利用 Toeplitz 矩阵和作矩阵乘法的方法求出 ，., 。12,pB：在算： 1, 2，, q,2a令 12qln 1.tttpt于是混和模型化为： 1.tttptqaa这是关于 的 MA（q）模型，由上所述，可用 的样本协方差函数估计 1, 2，,ttq, 的值，为此应先推导 的自协方差函数和 的自协方差函数的关系 ,具体的方2at t法见教材。事实上，模型参数的估计方法还可
11、采用精确估计方法，模型的精确估计方法主要有以下几种：1）.最小二乘估计（LSE）：AR(p),MA(q),ARMA(p,q)模型参数均可采用 LSE 估计方法。2)最小均方差估计（LMS）:AR(p),MA(q),ARMA(p,q)模型参数均可采用 LMS 估计方法。3)精估计的数值解法和其他近似解法：对 MA(q),ARMA(p,q)模型均不能得到参数估计的明显表达式，只可用数值解法求极值问题的数值方法。4)极大似然估计（MLE）及估计的优效性质：对于正态平稳过程 t 对于 ARMA（p，q）模型序列可采用极大似然估计方法讨论参数估计问题，另外，还可讨论一下这种方法所得的估计的优良性质，这是
12、很具有实际意义和理论价值的。至此，模型建立完毕，由上面的描述，我们可以看出前三步为准备工作，后两步是确定模型的实质性步骤，最后，我们获得关于 t的线性模型。依托 spss 软件建立时间序列随机线性模型一、数据表年份 国内生产总值 季度依次递增1983 5944.0 11983 6077.6 21983 6197.5 31983 6325.6 41984 6448.3 51984 6559.6 61984 6623.3 71984 6677.3 81985 6740.3 91985 6797.3 101985 6903.5 111985 6955.9 121986 7022.8 131986 7
13、051.0 141986 7119.0 151986 7153.4 161987 7193.0 171987 7269.5 181987 7332.6 191987 7458.0 201988 7496.6 211988 7592.9 221988 7632.1 231988 7734.0 241989 7806.6 251989 7865.0 261989 7927.4 271989 7944.7 281990 8027.7 291990 8059.6 301990 8059.5 311990 7988.9 321991 7950.2 331991 8003.8 341991 8037.5
14、351991 8069.0 361992 8157.6 371992 8244.3 381992 8329.4 391992 8417.0 401993 8432.5 411993 8486.4 421993 8531.1 431993 8643.8 441994 8727.9 451994 8847.3 461994 8904.3 471994 9003.2 481995 9025.3 491995 9044.7 501995 9120.7 511995 9184.3 521996 9247.2 531996 9407.1 541996 9488.9 551996 9592.5 561997
15、 9666.2 571997 9809.6 581997 9932.7 591997 10008.9 601998 10103.4 611998 10194.3 621998 10328.8 631998 10507.6 641999 10601.2 651999 10684.0 661999 10819.9 671999 11014.3 682000 11043.0 692000 11258.5 702000 11267.9 712000 11334.5 722001 11297.2 732001 11371.3 742001 11340.1 752001 11380.1 762002 11
16、477.9 772002 11538.8 782002 11596.4 792002 11598.8 802003 11645.8 812003 11738.7 822003 11935.5 832003 12042.8 842004 12127.6 852004 12213.8 862004 12303.5 872004 12410.3 882005 12534.1 892005 12587.5 90二、对数据作散点图由图可知可用时间序列问题做一个随机线性模型三、软件运行出来的结果及模型的确定Model DescriptionModel Name MOD_2Dependent Variabl
17、e 1 国内生产总值1 Linear2 Cubic3 PoweraEquation4 ExponentialaIndependent Variable 季度Constant IncludedVariable Whose Values Label Observations in Plots UnspecifiedTolerance for Entering Terms in Equations .0001a. The model requires all non-missing values to be positive.Case Processing SummaryNTotal Cases 9
18、2Excluded Casesa 2Forecasted Cases 0Newly Created Cases 0a. Cases with a missing value in any variable are excluded from the analysis.Variable Processing SummaryVariablesDependent Independent国内生产总值 季度Number of Positive Values 90 90Number of Zeros 0 0Number of Negative Values 0 0User-Missing 0 0Numbe
19、r of Missing ValuesSystem-Missing 2 2Model Summary and Parameter EstimatesDependent Variable:国内生产总值Model Summary Parameter EstimatesEquation R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2 b3Linear .984 5397.793 1 88 .000 5868.232 71.417Cubic .992 3754.845 3 86 .000 6233.111 49.647 .172 .001Power .820 402.24
20、5 1 88 .000 4350.058 .203Exponential .992 10583.323 1 88 .000 6231.736 .008The independent variable is 季度.这部分结果给出了所选的4种曲线函数相应的统计量的值。从中可以看出，在所选的4种曲线函数以Cubic曲线的拟合优度最高.所以选者Cubic（三次函数）拟合国内生产总值在各季度的变化趋势，下面还将进一步结合观察值和各种函数模型预测值的对比图。对比图可以看出，国民生产总值的趋势分析采用指数进行回归分析，具体模型为Y=6233.111+49.647*X+0.172*X2+0.001*X3Y 代表“某地区国内生产总值” X 代表“季度”
