1、新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 1 页共 17 页）新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答第三章 导数及其应用31 变化率与导数练习（P76）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度1大约以 1 h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 h 的速率上升.练习（P78）函数 在 附近单调递增，在 附近单调递增. 并且，函数 在 附近比在 附()t3t4t()t43t近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.练习（P79）函数 的图象为3()4Vr(05)根据图象，估算出 ， .(0.6)3r(1.
2、2)0r说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题 3.1 A 组（P79 ）1、在 处，虽然 ，然而 .0t1020()Wtt10102020()()WtttWt所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ，所以， .()(4.93.hthtt(1)3h这说明运动员在 s 附近以 3.3 ms 的速度下降 .13、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 在 时的导数.()t5，所以， .()(0sttt10s因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10
3、 ms，它在第 5 s 的动能 J.21305kE4、设车轮转动的角度为 ，时间为 ，则 .t2()kt新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 2 页共 17 页）由题意可知，当 时， . 所以 ，于是 .0.8t2258k258t车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 在 时的导数.()t3，所以 .(3.2)(.508ttt.20因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 弧度秒.说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 在 处切线的斜率大于 0，所以函数在 附近单调递增. ()fx55x同理可得，函数 在 ，
4、，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，4单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用 .6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于 0 的常数；函数（2）的 均大于 0，并()fx且随着 的增加， 的值也在增加；对于函数（3） ，当 小于 0 时， 小于 0，当 大x()fx xx于 0 时， 大于 0，并且随着 的增加， 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的()f x()f导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P80 ）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理
5、知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的 的信息获得 的相关信息，并据此画出 的图象的大致形状. 这个()vt()st ()st过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知，函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，所以此点附近曲线呈下()fx(1,5)1降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（2） （3）某点处函数图象的大致形状. 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 3 页共 17 页）32 导数的计算练习（P85）1、 ，所以， ， .
6、()7fx(2)3f(6)5f2、 （1） ； （2） ；ln2y xye（3） ； （4）4065xsin4cosx习题 3.2 A 组（P85 ）1、 ，所以， .()(2SrSrr0()lim(2)rSr2、 . 3、 .()9.865htt3214V4、 （1） ； （2） ； （3） .213lnyx1nxnye21sinyx5、 . 由 有 ，解得 .()8f0()4fx 0820x6、 （1） ； （2） . 7、 .l1yx1y1y8、 （1）氨气的散发速度 .()5ln34tAt（2） ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克天的速率减少.(7)5.A习题 3.2 B
7、 组（P86 ）1、当 时， . 所以函数图象与 轴交于点 .0yxx(0,)P，所以 .e01xy所以，曲线在点 处的切线的方程为 .Py2、 . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为 mh；上午 9:00 时潮水的速度()4sindtt 0.42为 mh；中午 12:00 时潮水的速度为 m h；下午 6:00 时潮水的速度为0.630.83mh.133 导数在研究函数中的应用练习（P93）1、 （1）因为 ，所以 .2()4fx()2fx新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 4 页共 17 页）当 ，即 时，函数 单调递增；()0fx12()4fx当 ，即 时，函数 单调递减
8、.（2）因为 ，所以 .()xfe()1xfe当 ，即 时，函数 单调递增；0当 ，即 时，函数 单调递减.()fx()xfe（3）因为 ，所以 .3x23当 ，即 时，函数 单调递增；()0fx13()fx当 ，即 或 时，函数 单调递减.xx（4）因为 ，所以 .32()fx2()31fx当 ，即 或 时，函数 单调递增；01x32()fx当 ，即 时，函数 单调递减.()fx3x2、3、因为 ，所以 .2()(0)fxabc()2fxab（1）当 时，0，即 时，函数 单调递增；()f2()(0)fc，即 时，函数 单调递减.x2baxab（2）当 时，0a，即 时，函数 单调递增；()
9、f2()(0)fc，即 时，函数 单调递减.x2baxab4、证明：因为 ，所以 .3()67fx2()61fx当 时， ，0,2()10fx因此函数 在 内是减函数.3x(,)练习（P96）1、 （1）因为 ，所以 .2()6f()2fx注：图象形状不唯一.新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 5 页共 17 页）令 ，得 .()120fx12x当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.()f()f 12x()0fx()f所以，当 时， 有极小值，并且极小值为12xx.2149()6()f（2）因为 ，所以 .37fx2()37fx令 ，得 .2()0 下面分两种情况讨论：
10、当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fx3x()0fx3x当 变化时， ， 变化情况如下表：()ffx,(3,)3 (,)()f 0 0 x单调递增 54 单调递减 54单调递增因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；3()fx当 时， 有极大值，并且极大值为 54.x（3）因为 ，所以 .3()612f2()13fx令 ，得 .0x2下面分两种情况讨论：当 ，即 时；当 ，即 或 时.()fx()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：x()ff,2(2,)2 (,)()fx 0 0 单调递减 1单调递增 22 单调递减因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；2x()fx1当 时，
11、有极大值，并且极大值为 22新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 6 页共 17 页）（4）因为 ，所以 .3()fx2()3fx令 ，得 .20 1下面分两种情况讨论：当 ，即 时；当 ，即 或 时.()fxx()0fx1x当 变化时， ， 变化情况如下表：()ffx,1(1,)1 (,)()f 0 0 x单调递减 2单调递增 2 单调递减因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；1()fx当 时， 有极大值，并且极大值为 2x2、 ， 是函数 的极值点，x4()yf其中 是函数 的极大值点，其中 是函数 的极小值点.2x4x()yfx练习（P98）（1）在 上，当 时， 有极小
12、值，并且极小值为 .0,12()6f149()2f又由于 ， .()2f0因此，函数 在 上的最大值是 20、最小值是 .6x,2 4（2）在 上，当 时， 有极大值，并且极大值为 ；4,33()7fx(3)5f当 时， 有极小值，并且极小值为 ；x又由于 ， .()f(4)f因此，函数 在 上的最大值是 54、最小值是 .327x,54（3）在 上，当 时， 有极大值，并且极大值为 .1,3()612fxx(2)f又由于 ， .5()327f35因此，函数 在 上的最大值是 22、最小值是 .61xx,3 527（4）在 上，函数 无极值.2,3()f新课程标准数学选修 11 第三章课后习题
13、解答（第 7 页共 17 页）因为 ， .(2)f(3)18f因此，函数 在 上的最大值是 、最小值是 .x2,218习题 3.3 A 组（P98 ）1、 （1）因为 ，所以 .()21f()0fx因此，函数 是单调递减函数.x（2）因为 ， ，所以 ， .()cosf(,)2()1sin0fx(,)2x因此，函数 在 上是单调递增函数.x0（3）因为 ，所以 .()24f()fx因此，函数 是单调递增函数.x（4）因为 ，所以 .3()f2()640fx因此，函数 是单调递增函数.24x2、 （1）因为 ，所以 .()f()2fx当 ，即 时，函数 单调递增.0x14当 ，即 时，函数 单调
14、递减.()f2()fx（2）因为 ，所以 .23x3当 ，即 时，函数 单调递增.()0f42()fx当 ，即 时，函数 单调递减.x（3）因为 ，所以 .3()fx2()30fx因此，函数 是单调递增函数.（4）因为 ，所以 .32()fxx2()1fx当 ，即 或 时，函数 单调递增.01332()fx当 ，即 时，函数 单调递减.()fxx3、 （1）图略. （2）加速度等于 0.4、 （1）在 处，导函数 有极大值；()yf新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 8 页共 17 页）（2）在 和 处，导函数 有极小值；1x4x()yfx（3）在 处，函数 有极大值；3()f（
15、4）在 处，函数 有极小值.5xyx5、 （1）因为 ，所以 .2()6f()12fx令 ，得 .10x x当 时， ， 单调递增；2()f()f当 时， ， 单调递减.1xx所以， 时， 有极小值，并且极小值为()f.2149()6()22f（2）因为 ，所以 .31fx2()31fx令 ，得 .2()0下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fx2x()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：()ffx,(,)2 (,)()f 0 0 x单调递增 16 单调递减 16单调递增因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 16；2()fx当 时， 有极小值，并且极小值为 .x
16、（3）因为 ，所以 .3()61f2()13fxx令 ，得 .20xx2下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fx()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：x()ff新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 9 页共 17 页）x(,2)(2,)2 (,)f 0 0 (x单调递增 22 单调递减 1单调递增因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 22；2()fx当 时， 有极小值，并且极小值为 .x 0（4）因为 ，所以 .3()48f 2()483fx令 ，得 .20x下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fx2()0fx2x当 变化时， ，
17、 变化情况如下表：x()ff,4(4,)4 (,)()fx 0 0 单调递减 128单调递增 128 单调递减因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；4x()fx128当 时， 有极大值，并且极大值为 128.6、 （1）当 时， 有极小值，并且极小值为 .12x()fx492由于 ， ，()7f9所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 9， .26x1,42（2）在 上，当 时，函数 有极大值，并且极大值为 16；3, 3()2fx当 时，函数 有极小值，并且极小值为 .x3()12fx16由于 ， ，9f所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 16， .3()x,3 16（3）函数
18、在 上无极值.612f新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 10 页共 17 页）因为 在 上单调递减，且 ， ，3()612fxx1,1269()37f(1)5f所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， .,3（4）当 时， 有极大值，并且极大值为 128x()fx由于 ， ，317f51f所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 128， .3()48x, 128习题 3.3 B 组（P99 ）（1）证明：设 ， .()sinf(0,)因为 ，co1xx所以 在 内单调递减()sif(,)因此 ， ，即 ， . 图略n0xf(0,)xsinx(0,)（2）证明：设 ， .2
19、()f(,1)因为 ，xx所以，当 时， ， 单调递增，(0,)2()20fx()f； xf当 时， ， 单调递减，1(,)()1fx()f； 20xf又 . 因此， ， . 图略()024f x(,1)（3）证明：设 ， .1xe因为 ，()f所以，当 时， ， 单调递增，0x()10xfe()fx； 当 时， ， 单调递减，x()xfe()fx； 0综上， ， . 图略1xe0新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 11 页共 17 页）（4）证明：设 ， .()lnfx0x因为 ，1所以，当 时， ， 单调递增，0x1()0fx()fx； lnf当 时， ， 单调递减，1x()
20、1fx()x； l0f当 时，显然 . 因此， .nln由（3）可知， ， .1xex. 综上， ， 图略ln034 生活中的优化问题举例习题 3.4 A 组（P104 ）1、设两段铁丝的长度分别为 ， ，则这两个正方形的边长分别为 ， ，两个正xl4xl方形的面积和为 ， .22221()()()46Sf xl0l令 ，即 ， .()0fx 0xllx当 时， ；当 时， .,2l()f(,)2l()fx因此， 是函数 的极小值点，也是最小值点.xx所以，当两段铁丝的长度分别是 时，两个正方形的面积和最小.l2、如图所示，由于在边长为 的正方形铁片的四角截去a四个边长为 的小正方形，做成一个
21、无盖方盒，所以无x盖方盒的底面为正方形，且边长为 ，高为 . 2x（1）无盖方盒的容积 ， .()Vx0a（2）因为 ，32()4xa所以 .18x令 ，得 （舍去） ，或 .()0Vx26ax当 时， ；当 时， .,6a()0x(,)2()0Vx因此， 是函数 的极大值点，也是最大值点.xV xa（第 2 题）新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 12 页共 17 页）所以，当 时，无盖方盒的容积最大.6ax3、如图，设圆柱的高为 ，底半径为 ，hR则表面积 2SR由 ，得 .2V2V因此， ， .2() R0令 ，解得 .40SR3V当 时， ；3(0,)2V()SR当 时，
22、 .3(,)R()0因此， 是函数 的极小值点，也是最小值点. 此时， .32V()SR 32VhR所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于 ，所以 .21()()niifxa12()()niifxa令 ，得 ，()0f 1ni可知， 是函数 的极小值点，也是最小值点.1nixa()fx这个结果说明，用 个数据的平均值 表示这个物体的长度是合理的，这就1nia是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 m，则半圆的半径为 m，半圆的面积为 ，x2x28xm矩形的面积为 ，矩形的另一边长为 m28a()ax因此铁丝的长为 ，2()(1)24xal80ax令 ，得 （负值舍去）.
23、2()104alxx8R h（第 3 题）新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 13 页共 17 页）当 时， ；当 时， .8(0,)4ax()0lx8(,)4a()0lx因此， 是函数 的极小值点，也是最小值点.()l所以，当底宽为 m 时，所用材料最省.84a6、利润 等于收入 减去成本 ，而收入 等于产量乘价格.LRCR由此可得出利润 与产量 的函数关系式，再用导数求最大利润.q收入 ，21(25)8qp利润 ， .221(04)08q20q14L令 ，即 ， .02q当 时， ；当 时， ；(,8)q0(84,20)L因此， 是函数 的极大值点，也是最大值点.4L所以，产
24、量为 84 时，利润 最大,习题 3.4 B 组（P105 ）1、设每个房间每天的定价为 元，x那么宾馆利润 ， .21801()5)(7036Lx1806x令 ，解得 .1()70x35因为 只有一个极值，所以 为最大值点.0x因此，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大.2、设销售价为 元件时，x利润 ， .4()(4)()5bLaccxab54bax令 ，解得 .8508当 时， ；当 时， .4(,)x()Lx(,)()0Lx所以，销售价为 元件时，可获得最大利润.8ab第三章 复习参考题 A 组（P110 ）1、 （1）3； （2） .4y新课程标准数学选修 11 第三章
25、课后习题解答（第 14 页共 17 页）2、 （1） ； （3） .2sincoxylnxxey3、 .3GMmFr4、 （1） . 因为红茶的温度在下降.()0ft（2） 表明在 3附近时，红茶温度约以 4min 的速度下降. 图略.45、因为 ，所以 .32()fx32()fx当 ，即 时， 单调递增；3()0fx()f当 ，即 时， 单调递减.32()f()fx6、因为 ，所以 .2fxpq2fp当 ，即 时， 有最小值.()0 1x()fx由 ，得 . 又因为 ，所以 .12p2()4fq57、因为 ，32()fxcxcx所以 .24()当 ，即 ，或 时，函数 可能有极值.()0fx
26、3xc2()fxc由题意当 时，函数 有极大值，所以 . 22()f 0由于所以，当 时，函数 有极大值. 此时， ， .3cx2()fxc23c68、设当点 的坐标为 时， 的面积最小.A,0aAOB因为直线 过点 ， ，B()(,)Px,3c(,)3cc(,)()f 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 15 页共 17 页）所以直线 的方程为 ，即 .AB01yxa1()yxa当 时， ，即点 的坐标是 .0xaB(0,因此， 的面积 .O2()21()AOSa令 ，即 .()0Sa21()0)a当 ，或 时， ， 不合题意
27、舍去.Sa由于所以，当 ，即直线 的倾斜角为 时， 的面积最小，最小面积为 2.2aAB135AOB9、 .D10、设底面一边的长为 m，另一边的长为 m. 因为钢条长为 14.8m.x(0.)x所以，长方体容器的高为 .14.8283.24x设容器的容积为 ，则V.32()0.5)(3).16xx令 ，即 ， .()0x264.1616所以， （舍去） ，或 .15x是函数 在 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.x()Vx,)所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m3.11、设旅游团人数为 时，0旅行社费用为 .2()(05)01yfxx(08,)xN
28、令 ，即 ， .()fx15又 ， ， .0(8)f()12f所以， 是函数 的最大值点.5xx所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为 cm 时，可使其打印面积最大.x(0,2)2 (2,)()f 0 x单调递减 极小值 单调递增新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 16 页共 17 页）因为打印纸的面积为 623.7，长为 ，所以宽为 ，x623.7x打印面积 623.7().54)(.1)Sx， .289690x5.0983令 ，即 ， （负值舍去） ， .()x 21303662789.是函数 在 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.
29、2.()Sx5.8,)所以，打印纸的长、宽分别约为 27.89cm，22.36cm 时，可使其打印面积最大.13、设每年养 头猪时，总利润为 元.qy则 .21()030yRqq(04,)qN令 ，即 ， .3当 时， ；当 时， .q25y42y是函数 在 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.30()p0,所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元.第三章 复习参考题 B 组（P111 ）1、 （1） . 所以，细菌在 与 时的瞬时速度分别为 0 和 .43()021btt5t10t 41（2）当 时，细菌在增加；当 时，细菌在减少.52、设扇形的半径
30、为 ，中心角为 弧度时，扇形的面积为 .rS因为 ， ，所以 .21Sl2lr， .2 211()()Srlr0l令 ，即 ， ，此时 为 2 弧度.040ll是函数 在 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.lr()r,2所以，扇形的半径为 、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.4l3、设圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 ，那么 .rhV22rhR因此， ， .222311()33VhR0令 ，解得 .20 h新课程标准数学选修 11 第三章课后习题解答（第 17 页共 17 页）是函数 在 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.3hR()Vh0,R把 代入 ，得 .22r6
31、3r由 ，得 .R63所以，圆心角为 时，容积最大.24、由于 ，所以 .2801k45k设船速为 kmh 时，总费用为 ，则xy240485x，961令 ，即 ， .0y29601x4是函数 在 上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.24xy(,)当 时， （元）. 于是 （元时）647822078()94.8所以，船速约为 24kmh 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元.5、设汽车以 kmh 行驶时，行车的总费用 ，x 2313()60xy501x令 ，解得 ， ；当 ， ；当 ， .0y5314y50x48y因此，当 时，行车总费用最少.x所以，最经济的车速约为 53kmh；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114元.
