时间序列分析的基本思想.doc

1、时间序列分析的基本思想时 间 序 列 分 析 是 一 种 动 态 数 据 处 理 的 统 计 方 法 。 该 方 法 基 于随 机 过 程 理 论 和 数 理 统 计 学 方 法 ， 研 究 随 机 数 据 序 列 所 遵 从 的 统计 规 律 ， 以 用 于 解 决 实 际 问 题 。 它 包 括 一 般 统 计 分 析 (如 自 相 关分 析 ， 谱 分 析 等 ),统 计 模 型 的 建 立 与 推 断 ， 以 及 关 于 时 间 序 列 的最 优 预 测 、 控 制 与 滤 波 等 内 容 。 经 典 的 统 计 分 析 都 假 定 数 据 序 列具 有 独 立 性 ， 而 时 间 序

2、 列 分 析 则 侧 重 研 究 数 据 序 列 的 互 相 依 赖 关系 。 后 者 实 际 上 是 对 离 散 指 标 的 随 机 过 程 的 统 计 分 析 ， 所 以 又 可看 作 是 随 机 过 程 统 计 的 一 个 组 成 部 分 。 例 如 ， 记 录 了 某 地 区 第 一个 月 ， 第 二 个 月 ， ， 第 N 个 月 的 降 雨 量 ， 利 用 时 间 序 列 分 析方 法 ， 可 以 对 未 来 各 月 的 雨 量 进 行 预 报 。时 间 序 列 分 析 是 根 据 系 统 观 测 得 到 的 时 间 序 列 数 据 ， 通 过 曲线 拟 合 和 参 数 估 计 来

3、 建 立 数 学 模 型 的 理 论 和 方 法 。 它 一 般 采 用 曲线 拟 合 和 参 数 估 计 方 法 （ 如 非 线 性 最 小 二 乘 法 ） 进 行 。 时 间 序 列分 析 常 用 在 国 民 经 济 宏 观 控 制 、 区 域 综 合 发 展 规 划 、 企 业 经 营 管理 、 市 场 潜 量 预 测 、 气 象 预 报 、 水 文 预 报 、 地 震 前 兆 预 报 、 农 作物 病 虫 灾 害 预 报 、 环 境 污 染 控 制 、 生 态 平 衡 、 天 文 学 和 海 洋 学 等方 面 。时间序列的变化大体可分解为以下四种：(1)趋势变化，指现象随时间变化朝着一

4、定方向呈现出持续稳定地上升、下降或平稳的趋势。(2)周期变化（季节变化） ，指现象受季节性影响，按一固定周期呈现出的周期波动变化。(3)循环变动，指现象按不固定的周期呈现出的波动变化。(4)随机变动，指现象受偶然因素的影响而呈现出的不规则波动。时间序列一般是以上几种变化形式的叠加或组合。时间序列预测方法分为两大类：一类是确定型的时间序列模型方法；确定型时间序列预测方法的基本思想是用一个确定的时间函数来拟合时间序列，不同的变化采取不同的函数形式来描述，不同变化的叠加采用不同的函数叠加来描述。具体可分为趋势预测法、平滑预测法、分解分析法等。另一类是随机型的时间序列分析方法。随机型时间序列分析法的基

5、本思想是通过分析不同时刻变量的相关关系，揭示其相关结构，利用这种相关结构来对时间序列进行预测。2.2 平稳性的检验对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特性做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。图检验方法是一种操作简便、运用广泛的平稳性判别方法，它的缺点是判别结论带有很强的主观色彩。所以最好能通统计检验方法加以辅助判断。所谓时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。时序图可以直观的帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而

6、且波动的范围有界的特点。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。根据这个性质，很多非平稳序列通过查看它的时序图可以立刻被识别出来。ARMA 模型的性质ARMA 模型的全称是自回归移动平均模型，它是目前最常用的拟合平稳序列模型。它又可以细分为 AR 模型、MA 模型和 ARMA 模型三大类。AR（p）模型tXapjjtt ,1是一个 p 阶自回归模型，简称为 AR（p）模型。满足 AR（p）模型（2-2）的平稳时间序列 称为平稳解或 AR（p）序列。称t是 AR（p）模型的自回归系数。定义中的 AR Tpaa),(21是 Auto-regression 的缩

7、写。通常把由（2-1）定义的 称为模型)(z（2-2）的特征多项式。利用时间 t 的向后推移算子可以将 AR（p）模型（2-2）改写成tXBt,)(定义 则01)(jjBtBXjjtt ,)(01MA（ q） 模型tbXjjtt ,1（ 2-7）是 q 阶 滑 动 平 均 模 型 ， 简 称 MA（ q） 模 型 ， 而 称 由 （ 2-7）决 定 的 平 稳 序 列 是 滑 动 平 均 序 列 ， 简 称 为 MA（ q） 序 列 。 如tX果 进 一 步 要 求 多 项 式 在 单 位 圆 上 也 没 有 零 点 ： ，)(z 10)(z当就 称 （ 2-7） 是 可 逆 的 MA（ q）

8、 模 型 ， 称 相 应 的 平 稳 序 列 是 可 逆 的MA（ q） 序 列 。利 用 时 间 的 向 后 推 移 算 子 B ， 可 将 MA（ q） 模 型 （ 2-7）写 成 ： （2-8）tBXt,)(ARMA（p,q）模型定义 设 是 ，实系数多项式 没有公共根，t),0(2WN）（和 z)(满足 1,01,01,1 00 bzazba qjjpjjqp ）（和和 （2-12）我们称差分方程tbXaqjjpjtt ,01（2-13） 是一个自回归滑动平均模型，简称 ARMA（p,q）模型。称满足(2-13)的平稳序列 为平稳序列 为平稳解或 ARMA（p,q）序列。tXtX利用推

9、移算子可以将(2-13)写成tBXt,)()(2-14)2.5 平稳序列建模假如某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，我们就可以利用模型对该序列建模。（1）求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。（2）根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质，选择阶数适当的 ARMA（p，q）模型进行拟合。（3）估计模型中未知参数的值。（4）检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向步骤（2） ，重新选择模型再拟合。（5）模型优化。如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤（2） ，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。

10、（6）利用拟合模型，预测序列的将来走势。计算 ACF，PACF ARMA 模型识别估计模型中未知参数的值模型检验预测序列将来的走势模型优化平稳非白噪声序列NY图 2-1 建模步骤2.6 序列预测到目前为止，我们对观察值序列做了许多工作，包括平稳性判断、白噪声判别、模型选择、参数估计及模型检验。这些工作的最终目的常常就是要利用这个拟合模型对序列的未来发展进行预测。所谓预测就是要利用序列已观测到得样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达最小。2.6.1AR（p）序列预测在 AR（p）序列

11、场合： )()1( ),),() 11plxlxxEltpt tltltlttt 式中 0,1)()(kxktt预测方差为： 2121)() lt GleVar2.6.2MA(q)序列预测 对一个 MA（q）序列 而言，有qttttx1qltltltltx1在 已知的条件下，求 的估计值，就等价于在,1t ltx已知的条件下，求 的估计值，而未来时刻的随机扰动,1tlt是不可预测的，属于预测误差。所以：2tt当预测步长小于等于 MA 模型的阶数时 ， 可以分解为：qlltx)(11lxett qlttltll qttltt 当预测步长大于 MA 模型的阶数时（lq）, 可以分解为:ltx)(1lxett qltl ltltltt 即 MA（q）序列 l 步的预测值为：qlqllxiqiitit,)(这说明 MA（q）序列理论上只能预测 q 步之内的序列走势，超过 q 步预测值恒等于序列均值。这是由 MA（q）序列自相关 q 步截尾的性质决定的。MA（q）序列预测方差为：qlleVarqt ,)1()2212.6.3ARMA（p，q）序列预测 在 ARMA（p,q）模型场合： qlpxlx qlxElxtpqiittttqlt ltltpltltt ),()1( ,),() 11 11 式中，0,)()(kxtt预测方差为： 21210)() lt GleVar