1、黄石理工学院 数学建模论文- 1 -学 号： 200740610201数学建模结业论文姓 名 黄亚萍班 级 土木建筑工程学院 07 级土木工程2010 年 6 月 18 日黄石理工学院 数学建模论文- 2 -数学建模结业论文-最佳阵容问题李婧雯（计算机学院 07 级网络工程）有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许 10 名运动员参赛，每一个项目可以有 6 名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；0.1；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能
2、比赛（四项全参加）与单项比赛这两类比赛中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有 4 人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。现某代表队的教练已经对其所带领的 10 名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在 4 个得分上（见下表） ，她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如：8.40.15 表示取得 8.4 分的概率为0.15） 。试建立模型为教练解决该队的出场问题提供方法：（1） 每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；（2） 每个选手的各单项得分
3、按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；（3） 若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于 236.2 分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠的前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有 90%的把握战胜怎样水平的对手？附表：运动员各项目得分及概率分布表运动员项目1 2 3 4 5高低杠8.40.159.20.259.50.59.40.19.30.19.50.19.60.69.80.28.40.18.80.29.00.6100.18.10.19.10.59.30.39.50.18.40.159.50.59.20.2
4、59.40.1平衡木8.40.18.80.28.40.159.00.58.10.19.10.58.70.18.90.29.00.19.20.1黄石理工学院 数学建模论文- 3 -9.00.6100.19.20.259.40.19.30.39.50.19.10.69.90.19.40.69.70.2跳马9.10.19.30.19.50.69.80.28.40.18.80.29.00.6100.18.40.159.50.59.20.259.40.19.00.19.40.19.50.59.70.38.30.18.70.18.90.69.30.2自由体操8.70.18.90.29.10.69.90.1
5、8.90.19.10.19.30.69.60.29.50.19.70.19.80.6100.28.40.18.80.29.00.6100.19.40.19.60.19.70.69.90.2运动员项目6 7 8 9 10高低杠9.40.19.60.19.70.69.90.29.50.19.70.19.80.6100.28.40.18.80.29.00.610.0.18.40.159.50.59.20.259.40.19.00.19.20.19.40.69.70.2平衡木8.70.18.90.29.10.69.90.18.40.18.80.29.00.6100.18.80.059.20.059.8
6、0.5100.48.40.18.80.19.20.69.80.28.10.19.10.59.30.39.50.1跳马8.50.18.70.18.90.59.10.38.30.18.70.18.90.69.30.28.70.18.90.29.10.69.90.18.40.18.80.29.00.6100.18.20.19.20.59.40.39.60.1自由体操8.40.159.50.59.20.259.40.18.40.18.80.19.20.69.80.28.20.19.30.59.50.39.80.19.30.19.50.19.70.59.90.39.10.19.30.19.50.69.8
7、0.2摘要：题目要求我们求出团体总分最高的阵容，而我们知道每一个阵容得团体总分不是确定的，所以所建立得模型一定是一个随机优化模型，但是我们必须将最强阵容中每一个运动员参加的项目给出才把题目解决好，所以我们引进 0 和 1 变量进行建模，再加上所包含的约束条件，我们就可以建立一个随机优化 0-1 模型。关键词：最悲观估算 均值估算 最佳阵容 正态分布 最佳阵容问题;期望值; 正态分布，0-1规划一、问题的提出该题目通过对实际生活中体操队参加团体比赛的模拟，通过对该模型中不同问题的分析，找出目标函数和约束条件，建立了相应的 0-1 规划模型.应用 Lingo 数学软件进行计算，在队员发挥存在悲观，
8、乐观等各种可能的情况下，依照各自在参赛项目的特点，通过最优化，找到最佳阵容.在已知夺冠最低分，为该团队排出一个最佳出场阵容问题的求解过程中，建立了两个模型，第一个模型为求总分最大，第二个模型求期望最大，可用 Lingo 数学软件黄石理工学院 数学建模论文- 4 -求解，即通过建立 0-1 规划模型在所有大于或等于 236.2 分的阵容中找到最佳阵容.此外，还得出了该团队夺冠前景，得分前景等相关问题的解二、问题的分析每个团队最多可以有十名队员，每个项目可以有六个队员参加，也就是说每个单项最多只能有六个队员参加（包括全能队员与参加单个项目的队员） 。在团队参赛中，不仅要注重团队整体质量的提高，更加
9、要注重如何合理的利用现有队员在各项目中的优劣来获得最高的总分.本案例的主要矛盾是队员已有成绩的限制和参赛时的要求与获得团队参赛最高分的矛盾.对本案例处理的难点是参赛时的要求，参赛队员的 4 个成绩稳定值与相应概率的限制等诸多因素，针对各目标问题分别建立模型。每个团队应该有四个人参加全能项目，其余的参加单项比赛：每个运动员只能参加单项比赛与全能比赛中的一类；参加单项比赛的运动员最多只能参加 3 个单项。这两条就是说参加全能与单项的运动员不允许出现冲突。根据问题，为了达到总分最高的要求，那么入选的队员应该利用最可能多的得分机会得分。三、基本假设1、10 名队员全部参加比赛。2、单项比赛中，每个队员
10、至多参加 3 个项目。3、每一个项目可以有 6 名选手参加,参加全能比赛的四名选手，占用其中的名额。4、每一个阵容的团体总分概率分布符合正态分布。四、定义符号说明1、 表示第 i 名 2. 运动员参加第 j 个项目的得分2、 表示第 i 名 5. 运动员在一个项目上的得分方差3、min：队员 i 的第 j 种项目的最差成绩4、E()：是队员 i 的第 j 种项目的的期望成绩，即平均成绩5、max：为分布表中每个队员在每个项目上的最高成绩五、模型的建立第一问：黄石理工学院 数学建模论文- 5 -1、问题分析：题目要求我们求出团体总分最高的阵容，而我们知道每一个阵容得团体总分不是确定的，所以所建立
11、得模型一定是一个随机优化模型，但是我们必须将最强阵容中每一个运动员参加的项目给出才把题目解决好，所以我们引进 0 和 1 变量进行建模，再加上所包含的约束条件，我们就可以建立一个随机优化 0-1 模型。2、模型建立：根据以上分析，我们建立如下模型：3、模型求解：最悲观估算首先，我们对“最悲观” 作出解释，即每名选手得分最低的时候。然后，我们将 10 名选手 4个单项的最差成绩找出来，见下表（1）：最悲观情况下 高低杠 平衡木 跳马 自由体操 1 8.40 8.40 9.10 8.70 2 9.30 8.40 8.40 8.90 3 8.40 8.10 8.40 9.50 4 8.10 8.70
12、 9.00 8.40 5 8.40 9.00 8.30 9.40 6 9.40 8.70 8.50 8.40 7 9.50 8.40 8.30 8.40 8 8.40 8.80 8.70 8.20 9 8.40 8.40 8.40 9.30 10 9.00 8.10 8.20 9.10 求解思路：根据上表及假设 3、4，建立模型。：从十名选手中任选四人出来参加团体赛（不一定他们的四项单项成绩总分加起来最高）：再选出剩下的六名选手各单项成绩最好的两项，相加；：将、所得结果加和，挑出最高的总分。 最佳阵容问题黄石理工学院 数学建模论文- 6 -求解：我们用 MATLAB 编程，得出在最悲观情况下团
13、体总分最高为 212.3 分，并在表（2）中给出了最佳阵容的分配（见下） 。参加全能比赛选手 2,5,6,9 参加单项比赛选手 项目 参加选手 高低杠 7,10 平衡木 4,8 跳马 1,4 自由体操 3,10 均值估算我们先将每名选手在各个单项中得分期望求出（见表（3） ） 均值 a b c d 1 9 9 9.5 9.1 2 9.6 9 9 9.3 3 9 9.1 9 9.8 4 9.1 9.1 9.5 9 5 9 9.4 8.9 9.7 6 9.7 9.1 8.9 9 7 9.8 9 8.9 9.2 8 9 9.8 9.1 9.3 9 9 9.2 9 9.7 10 9.4 9.1 9.2
14、 9.5 求解：用 MATLAB 根据均值估算（程序见附录（ 2） ）的团体最高总分为 224.7 分，在表（4）中给出了最佳阵容的分配（见下） 。 参加全能比赛选手 2，3，8，10 参加单项比赛选手 项目 参加选手 黄石理工学院 数学建模论文- 7 -高低杠 6，7 平衡木 5，9 跳马 1，4 自由体操 5，9 表（4-2）参加全能比赛选手 2，8，9，10 参加单项比赛选手 项目 参加选手 高低杠 6，7 平衡木 4，5（或 3,5 或 5,6) 跳马 1，4 自由体操 3，5 说明：参加平衡木比赛的选手组合有三种，即第 4 位,第 5 位选手，或第 3 位，第 5 位选手，或第 5
15、位，第 6 位选手。不同组合，但是得到结果一样。第二问：1、问题分析：本问题的关键是要找出取得冠军概率最大得阵容，但是第一问中的模型是用来求团体总分最高的阵容，所以不能应用到这个问题来。尽管如此，问题的约束条件还是没有变，我们要改变的只是目标函数，即改成求团体总分超过 236.2 的的阵容的概率，就可以确定出最强的阵容；最佳阵容求出来后，就可以用概率论的知识来求出这个阵容有 0.9 的把我战胜的对手的水平。2、模型建立：根据以上分析，我们建立如下模型：3、模型求解：由于本次夺冠的团体总分估计不少于 236.2 分，据此我们用 MATLAB 编程（程序见附录（3） ） ，目标是找出可以使总分大于
16、或等于 236.2 分的所有可能组合。最终，我们得到四种结果，分别为：黄石理工学院 数学建模论文- 8 -A:236.2 分（有两种阵容组合（具体阵容见附录表 1） ） ，在此只给出参加全能比赛的选手1，3，8，9 号及 2，4，7，8 号；B:236.4 分（具体阵容见附录表 2） ，参加全能比赛的选手 1,4,8,9 号；C:236.5 分参加全能比赛的选手 4，7，8，9 号。以下我们就将各阵容简称为 1389，2478，1489，4789由阵容，我们又求出其相应的期望值：E(1389)=222.4;E(2478)=222.5;E(1489)=222;E(4789)=222.5比较发现，
17、阵容 4789 不仅使得团体总分最高而且选手得分的期望也最大，所以我们认为此阵容为最佳阵容，具体阵容安排见表（5）参加全能比赛选手 4,7,8,9 参加单项比赛选手 项目 参加选手 高低杠 3,6 平衡木 1,6 跳马 1,2 自由体操 3,5 下面我们分析一下该队夺得冠军的前景与得分期望当我们确定该最强阵容后，也就可以从这个阵容求出该阵容的团体总分方差与期望，由最强阵容每一个运动员在每一个项目上的得分分布情况我们得到：表示第名运动员在一个项目上的得分分布，表示该运动员在一个项目的得分期望，表示该运动员在一个项目的得分方差。我们求得参数结果为：那么我们就知道该团队比赛总分 的分布情况，即根据该
18、分布，我们把该队以该阵容比赛的得分大于 236.2 的概率求出，发现只有，所以有黄石理工学院 数学建模论文- 9 -理由说该队几乎不可能夺冠。由分布函数，我们很容易得到该队以该阵容比赛，得分期望为：222.5对于该队以该阵容比赛有 90 的把握战胜怎样水平的对手这个问题，我们可以通过该阵容的得分分布函数求得结果。设对手水平为 ,则当 时，求得 220.5模型评价与推广对于假设 3，我们还有另外一种考虑，即参加全能的四名选手不占用每个单项中的 6 个名额。然后，对数据进行分析，按我们的模型处理后，得出在最悲观情况下，团体总分最高为 296.8 分。用题目中第二问所给数据检验，明显大于 236.2 分。说明无论派怎样的阵容出场，总能夺得冠军，这显然是没有意义的。我们在网上查阅了最新的体操团体赛新规程（6-3-3 规则：即每队可报名 6 人，但每个单项每队只能派 3 人上场，这 3 人的总分就是全队在该项目中的得分。 ） ，根据新规程计算后，团体最高分为 246.6 分，也要比 236.2 分高。从而进一步验证了假设 3 的合理性。六、结果分析我们的模型可以应用到其他运动比赛的阵容安排上，比如跳水比赛中。参考文献1 李鹏翔,大力培养单项体操选手，http:/ 年 9 月 6 日黄石理工学院 数学建模论文- 10 -黄亚萍2010 年 6 月 18 日
