1、自主学习 01 教材内容第七章 自旋与角动量知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节第五节 第六节 第七节 第八节 本章习题 本章自测 知识框架重点难点1.自旋算符与泡利矩阵2.轨道自旋耦合及自旋自旋耦合3.两电子体系的自旋波函数4.两个角动量的耦合(CG 系数)7.1 电子的自旋教学目标:理解电子的自旋重点难点:自旋教学内容:在较强的磁场下（ T10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它但是，当这些原子或离子置入弱磁场（ T10）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电
2、子仅用三个自由度 z,yx来描述并不是完全的。我们将引入一个新的自由度自旋，它是粒子固有的。当然，自旋是 Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。(1)电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach 实验（1922 年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩 ，那在磁场中的附加能量为 cosBU如果经过的路径上，磁场在 z方向上有梯度，即不均匀，则受力 dBUFcos从经典观点看 s取值（从 1）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值 dzB 所以原子分裂成一个带。但 Stern-Gerlach 发现，当一束
3、处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（ 47z）基态 0l，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩 s，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A碱金属光谱的双线结构钠原子光谱中有一谱线，波长为 5893，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。93.58D1.2这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。B反常塞曼效
4、应（Anomalous Zeeman effect）原子序数 z为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠1D和 2的两条光谱线，在弱磁场中分裂为 4条和 6条）。这种现象称为反常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。C在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为Be2，而是egD2。对于不同能级， Dg可能不同，而不是简单为 1 ( Dg称 eLand因子)。根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设 电子具有自旋 S，并且有内禀磁矩 s，它们有关系mes 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个
5、值 2，所以ez2ezS以 em2为单位，则 2sg（而 1l）自旋的回磁比为 2gs现在很清楚，电子自旋的存在可由 Dirac 提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正02319.)21(sg4.2 自旋波函数教学目标:掌握自旋波函数重点难点:自旋波函数教学内容:考虑电子自旋后,电子不是一个简单的具有三个空间自由度的粒子,它还有自旋自由度.为描述自旋自由度,引入自旋 z 分量 zs作为波函数的一个新自变量,于是波函数坐标表示形式 tsrz,(1)由于 zs只能取 2两个分离值,与自旋算符在 zs对角化表象中是 2矩阵相对应,使用二分量波函数形式 trtrtrtrtsrZ ,21, 21
6、21 (2)称为旋量波函数. 是 zs的本征态,本征值为21,即 zs(3)10,01(4)分别表示自旋向上和向下的态,它们构成了电子的自旋态的一组完备基矢,任何一个自旋态 ZS都可用它们来展开 baasz(5)自旋波函数(1) 正是电子的计及空间坐标的波函数,可理解为考虑自旋后的电子波函数,按 zS表象基矢的展开,其物理意义就非常显,即 21,tr和2,tr分别表示 t 时刻在空间 r处找到电子自旋向上和自旋向下的几率密度.所以,归一化条件为 1,2,21,3223 trtrxdtSrxdzSz (6)即电子波函数的归一化包括对空间的积分和对自旋的求和.在许多情况下, 例如, 哈密顿算符不含
7、自旋变量,或可以表成自旋变量部分与空间部分之和, H 的本征函数可以分离变量, 即 zzsrs,(7)7.3 自旋算符与泡利矩阵教学目标:理解自旋算符，掌握泡利矩阵重点难点:自旋算符与泡利矩阵教学内容:自旋是一种角动量,但与轨道角动量不同,它无经典对应.在非相对论量子力学中,可根据其角动量的特征加以描述.设自旋算符 s的三个分量 3,21is满足与轨道角动量相同的对易关系 ,即kijjiss,(1)也可表示成 si(2)引入无量纲算符,即泡利算符 2s(3)则对易关系(1) 化为 kijji2,(4)或 2i(5)自旋 s沿任何指定方向的投影(本征值) 只能取21,这导致 沿任何指定方向的投影
8、只能取 1,因而2i(i=1,2,3) 的取值只能为 1,即 3,21,2iIi(6)式中 I是单位算符.利用对易关系(4) ,可以证明 的各分量还满足反对易关系 ijijji 2,或 ijji2 (7)将式(4) 和(7) 结合起来,得 kijijji (8)总自旋算符的平方为 IIss 12434 22213212 (9)由于2s正比于单位算符,显然有 0,2is(10)以上是自旋算符的代数性质,与具体表象无关.下面在 3对角化表象中讨论泡利算符的矩阵形式.由于 3只能取 1,所以 3的矩阵可表示为 103(11)令 1的矩阵形式为 dcba1(12)考虑到 0131,得 dcbadcba
9、(13)所以 0da.于是 1简化为 01cb(14)再根据厄米性要求 1,可得bc,所以 01b(15)而 Ibb22100(16)所以 12b,因而可令ieb, 为实数.于是 01iie(17)利用 132i,得 02iie(18)力学量算符在任何表象中都有一个相位不定性,这里遵从泡利的选择,取 0,得01,2i,13(19)思考题1. 证明 i3212. 设 A和 B是与 对易的任何矢量算符, 证明 BAiBA3. 令 21i,证明 2,4,0 324. 设 是与 对易的任何矢量, , ,证明sincos ei7.4 电子的总角动量和轨道自旋耦合教学目标:掌握电子的总角动量和轨道自旋耦合
10、重点难点:总角动量和轨道自旋耦教学内容:设一个电子的轨道角动量算符和自旋角动量算符分别为 l和 s,则轨道角动量算符和自旋角动量算符之和为 slj.根据两个角动量的耦合原理,2j的量子数只能取 21lj,其中 l为轨道角动量平方算符的量子数.当 21lj由于取 21lm时, s, lmsl, 按相位约定 , 有21,21ll(1)用降算符 slj作用于上式两边, 得21,21,2121 , lllsllj (2)两式相等, 即有 21,21,21, lll(3)再一次作用, 有 21,212,1,21,23,12,1 lllll llsl lllj(4)所以 21,21,2123,1 llll
11、(5)在作用 p 次之后, 得到 21,21,2121, plpllll(6)令 21plm,则上式化为 21,21 21, llmmllllll (7)当 21lj取 21maxl的态 21,l应是 21,l与 21,l的线性组合, 即,1, lll(8)归一化要求 12(9)且与 21,l正交, 即有 02l(10)式(9) 和(10) 联立, 得12,12ll (11)代入式(8), 得 21,21,12,1llll(12)用 j一次一次作用于上式, 得 21,321 21,12,1 llmmllllll (13)由此可得旋量球谐函数 jmsszzljm,即 ,21,21 ,21,21,
12、21 ,21 mllml mllml YllrYllr7.5 碱金属原子光谱的双线结构教学目标:了解碱金属原子光谱的双线结构重点难点: 碱金属原子光谱的双线结构教学内容:碱金属原子有一个价电子，原子核及内层满壳电子（“原子实”）对它的作用，可近似地用一个屏蔽库仑场 rV描述 . 碱金属原子的低激发能级是由价电子激发而来 . 价电子的哈密顿算符可表成drVcrslrVpH220 1, (1)式中 slrH是自旋轨道耦合能, 它是相对论量子力学过渡到非相对论极限时出现的 . 首先, 讨论哈密顿算符(1) 的守恒量完全集. 在无耦合表象中, 取zslH,20为力学量完全集. 但由于 0,0,zzsl
13、H(2)因而 0,zzsHl(3)即 zl和 s不是守恒量, 相应的量子数 lm和 s不是好量子数. 在有自旋轨道耦合的情况下, 耦合表象zjlH,2才构成守恒量完全集, 也就是说, 它们中任何两个都是对易的. 这只需注意到221sljsl(4)就容易验证这一点. 这样,角度部分及自旋部分波函数可选为zjl,2的共同本征态zljmzsljs,.令 zljmzsrRsr,(5)代入薛定薛方程 EslrVrlr212(6)利用 12,12 4311 22ljllljsljsl lmj ljmljjm(7)当 rV给定后, 可求解方程(6), 得出能量本征值, 它与量子数 jln,都有关, 记为 n
14、ljE. 能级与量子数 m 无关, 因而能级对量子数 m 还存在 2j+1 度简并. 在原子中, 0rV( 吸引力), 0rV, 从而 0r.因此 2121lnjlnjE(8)即 21lj能级高于 21lj能级, 但自旋轨道耦合项较小, 两条能级很靠近, 这就是碱金属双线结构的由来. 对类氢原子, slrcZeslrZerVss 12, 32 (9)作为一级微扰论估计, 双线分裂大小为 2123lrcZeEs(10)利用 12133 llnaZlrn(11)可得 123lnaZceEs(12)可见自旋轨道耦合造成的分裂E 随 Z 增大而迅速增大, 但随 l增大而减小. 对碱金属原子, 锂的双线
15、分裂就很小, 不易测出. 从钠开始就比较显著. 如图 7.5.2 所示, 给出了钠原子的能级图. 钠原子组态是(1s)2(2s)2(2p)6(3s)1, 即价电子处于 213s能级. 对于 s 能级( 0l),没有自旋轨道耦合分裂. 钠原子的第一激发态是价电子激发到 3p 能级, 由于自旋轨道耦合,3p 能级分裂为两条, 23p 能级略高于 21p能级. 这两条靠近的能级上的电子往基态跃迁, 就产生钠黄线, 即 012213 A5896Dsp,fd等能级分裂都非常小 , 一般实验中观测不出来, 这是由于在这些能级上的电子离开原子核的平均距离较大, 自旋轨道耦合作用很小的缘故.7.6 两电子体系
16、的自旋波函数教学目标: 掌握两电子体系的自旋波函数重点难点: 两电子体系的自旋波函数教学内容:图 7.5.2 钠原子能级图及光谱的双线结构. 图中只标出了可见光部分的双线设两个电子的自旋算符分别为 1s和 2,则两个电子自旋算符之和为 21s.若选 zs21,为自旋力学量的完全集(无耦合表象), 那么它们的共同本征态有四个 zzzz ss21212121,(1)现求 zs,2自旋力学量的完全集 (耦合表象)的共同本征态. 为此, 先考察这四个自旋态是不是zs和 的本征态. 显然, 它们是 zzs21的本征态, 本征值分别为 0,.利用 212121212121 , iiyyxx(2)及 zyx
17、sss 2121212121212 43 (3)可得 zzzz sss 21212121 (4)所以 zzs2121及 zzs2121是 是的本征态, 本征值为 2,即总自旋量子数s.另两个态 zz和 zz21是 s的两个简并的本征态, 它们就不是2的本征态. 但可以把它们线性叠加, 以构成 s的本征态. 令zzzz scc 21212121 (5)代入本征方程 22s(6)无量纲, 待定. 利用 zzzzzz ssss 212121212121 (7)可得 zzzz scsc 21212121 即有012c(8)此方程有非平庸解的充要条件为 01(9)解出 2,0(10)用=0 代入式(24
18、), 得 121c(11)用=2 代入式(24), 得 12c(12)再利用归一化条件,并取适当相角, 可求出2s的归一化本征态为1,21 0,2121212 ssszzzz zzzz (13) 图 7.6.2 两个电子的自旋三重态( 平行)与单态(反平行)= 11= 1-1=1000= 0现将 zs,2的共同本征态记为 sm,那么 s可表达为如下形式zzzz zzzz sss ss2112211201 2112211201 (14)1,01sm的态称为自旋三重态, 它们对于两个电子交换是对称的 .s=0(ms=0) 的态称为自旋单态, 它对于两电子交换是反对称的. 图 7.6.2 有助于形象
19、地理解三重态与单态. 思考题1. 证明 2213,并利用此结果, 求 21的本征值. 答:1.-32. 令2112P,证明: (a) IP12;(b) 12s;(c) ssmm12,说明 12有何物理意义.7.7 角动量算符的基本性质教学内容:掌握角动量算符的基本性质重点难点:角动量算符 教学目标:角动量的代数性质(厄米性和对易关系) 给出一般角动量算符的定义, 接着介绍确定角动量算符本征值谱的一种方法, 最后给出角动量算符的矩阵表示.若算符 ),(32,1zyxj满足下列代数关系 jjij,(1)则以 3,21,j为三个分量的矢量算符 j称为角动量算符. 轨道角动量算符以及自旋算符的对易关系
20、就是这种形式.下面将根据此基本对易式以及角动量算符的厄米性,考察角动量算符的一般性质. 因此, 下面所得结果, 对轨道角动量算符、自旋算符以及任何角动量算符都适用. 由于 32,1j彼此不对易, 不能构成力学量完全集. 但可定义角动量平方算符 3122jj(2)与轨道角动量算符以及自旋算符相似, 由式(1) 和(2),可证明 jjzyxjz,),(32,10,2(3)其中 jjijyx,(4)其逆表示为 jijjjyx 21,21(5)还可证明 zjjj22(6)z,(7)2zjjj(8)由于2j和 z对易 ,它们可以有共同的本征态 , 记为 jm,即有jmjjj z 122(9)现在来定出量
21、子数 mj,.由式(6) 和（7）, 有jmj jz2 2221(10)又由式(4), 上式可得 01 2 jjjjm(11)所以 01mj(12)由此定出 jmj(13)且当 01mj时, 由式(11)有 0,j(14)当 jm时, 由式(3), 有 jmjj jjmzz 221 (15)即 jm也是 zj,2的共同本征态, 本征值分别是 ,2j.重复这一论证jjmq,(16)都是 zj,2的共同本征态, zj 的本征值为 jqmm,2,1(17)由于 q为非负整数, 且 jq2,所以 j 为半整数, 即 ,231,0j(18)而 m 满足式(13), 且相邻值相差 1, 所以 jjm,1,
22、(19)由式(15) 还可见, j与 1只能相差一个与 j,有关的常数, 记该数为jmC,则有1jmCj (20)并有 jjjm2(21)将式(11) 代入上式,得 1jeCijm(22)式中为任意正实数, 这表明 j与 1之间有一相位不定性. 习惯上采用 Condon & Shortley约定, 即取=0. 在这种相位规定下 , 把式(22) 代入式(20), 得 1 jmjjm(23)由此得 j的非零矩阵元 11jjj(24)由式(5) 和(24) 可给出 xj和 y的非零矩阵元为 121,1, mjimjjjmj jyyxx(25)例 1. 给定 21j,写出 zyxj,的矩阵表示.解:
23、 由 j,可知 m.既然 j给定, 基矢 jm可简记为 ,并约定矩阵的行和列以m从大到小的顺序排列.由式(9), zj不为零的矩阵元为212,21 zzjj (26)所以 zzzzzz jjj 2102121 (27)由式(25), xj不为零的矩阵元为 2121xxjj(28)所以 xxxx jjj 2012121(29)同理 yyij20(30)将式(27)、（29）和（30）总结起来， mmjj 212(31)即 zyxj,2(32)式中 zyx,为泡利矩阵 .思考题在 zj,2表象中就 23,1j写出 yxzjj,的矩阵表示本章训练1、设 为常数，证明 sincoziez。2、若,1y
24、xi证明 023、在 z表象中，求 n的本征态， cos,ins,sinco是 ),(方向的单位矢。4、证明恒等式： BAiBA其中 ,都与 对易。5、已知原子 c12的电子填布为202)()1(jps，试给出（1）简并度；（2）给出 j耦合的组态形式；（3）给出 LS耦合的组态形式；6、电子的磁矩算符Sel02，电子处于 zjl,2的本征态 jml中，求磁矩 。jmjzjll7、对于自旋为 21的体系，求 yxS的本征值和本征态，在具有较小的本征值所相应的态中，测量zs的几率是多大？8、自旋为 21的体系，在 0t时处于本征值为 2/的 xS的本征态，将其置于 B.0的磁场中，求 t时刻，测
25、量 xS取 /的几率。9、某个自旋为 2/1的体系，磁矩 0,t时，处于均匀磁场 0B中， 指向 Z方向，0t时，再加上一个旋转磁场 )(1tB，其方向和 Z轴垂直。 201021 sincos)( etBett 其中 cB/0已知 0t时，体系处于 2/zs的本征态 2/1，求 0t时，体系的自旋波函数，以及自旋反向所需要的时间。第七章 自测练习一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分。）1、 s（C）A. i B. i C. s D. i2、 xyxs（B）A. 1 B. 0 C. -1 D.i3、 jm2（B）A. j B. jj1 C.jm1 D.jmj214、下列对易关系正确的是（A ）A.0,2jB. 0,yxs C. 0,yx D.1,yx 5、 zyx（B）A. 0 B.i C. 1 D. -1二、判断题（每小题 4 分，共 20 分。）1、电子具有自旋角动量是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度（对）2、考虑电子的自旋后，电子的波函数是两行一列的矩阵（对）3、电子具有自旋角动量是可以用经典力学来解释的（错）4、自旋角动量不是一个力学量（错）5、两个电子的自旋可以构成自旋单态和自旋三重态（对）三、计算题(共三题，共 60 分)
