1、 中 学 数 学 逻 辑 基 础所 谓 逻 辑 ，在 日 常 应 用 中 多 指 思 维 规 律 。这 里 所 说 的 中 学 数 学 的 逻辑 基 础 ，主 要 是 指 形 式 逻 辑 ，而 正 确 地 理 解 和 运 用 形 式 逻 辑 的 有 关 知 识可 以 说 是 现 代 社 会 公 民 应 该 具 备 的 基 本 素 质 ，无 论 是 进 行 思 考 、交 流 ，还 是 从 事 各 项 工 作 ，都 需 要 正 确 地 理 解 和 运 用 形 式 逻 辑 的 有 关 知 识 表 达自 己 的 思 想 。于 是 ，本 章 便 着 重 择 要 对 中 学 数 学 逻 辑 基 础 的 基
2、 本 内 容 ，包 括 数 学 概 念 、数 学 命 题 、数 学 推 理 和 数 学 证 明 以 及 形 式 逻 辑 的 基 本 规律 进 行 研 究 。 数 学 概 念1概 念 与 数 学 概 念概 念 是 反 映 事 物 本 质 属 性 的 思 维 形 式 。所 谓 “本 质 属 性 ”,就 是 指 它 构成 某 种 事 物 的 基 本 特 征 ,这 类 属 性 只 为 该 种 事 物 所 具 有 ,它 是 这 种 事 物 区别 于 其 它 事 物 的 根 本 依 据 。数 学 概 念 是 揭 示 现 实 世 界 空 间 形 式 与 数 量 关 系 本 质 属 性 的 思 维 形式 。它
3、 的 产 生 ，一 般 说 来 有 两 种 情 形 ：一 种 是 直 接 从 对 客 观 事 物 的 空 间形 式 或 数 量 关 系 的 反 映 而 得 到 的 ，如 自 然 数 的 概 念 ；另 一 种 是 在 已 有 数学 概 念 的 基 础 上 ，经 过 多 层 次 的 抽 象 概 括 而 形 成 的 ，如 平 行 四 边 形 的 概念 。内 涵 与 外 延 是 构 成 数 学 概 念 的 两 个 重 要 方 面 。数 学 概 念 的 内 涵 反 映数 学 对 象 的 本 质 属 性 ，外 延 是 数 学 概 念 所 有 对 象 的 总 和 。例 如 ，“对 边 平行 ”、“对 角 相
4、 等 ”、“同 旁 内 角 互 补 ”、“对 角 线 相 互 平 分 ”等 都 是 平 行 四 边形 的 内 涵 ；而 “所 有 的 平 行 四 边 形 ”则 是 “平 行 四 边 形 ”的 外 延 。又 如 ，“奇数 ”这 个 概 念 ，它 的 内 涵 是 “整 数 ”“被 2 除 余 1”，而 外 延 是。在 概 念 的 内 涵 和 外 延 之 间 有 着 密 切 的 关 系 ：内 涵 扩Znx,12大 ，则 外 延 就 缩 小 ；反 之 ，内 涵 缩 小 ，则 外 延 就 扩 大 ，它 们 之 间 的 这 种 关系 ,称 为 反 变 关 系 。例 如 ,在 四 边 形 的 内 涵 中 ,
5、再 增 加 “两 组 对 边 分 别 平 行 ”这 个 条 件 ,就 得 到 平 行 四 边 形 的 概 念 ,其 外 延 比 四 边 形 的 外 延 就 缩 小 了 。在 等 腰 三 角 形 的 概 念 中 减 少 “有 两 边 相 等 ”这 个 条 件 ,就 得 到 三 角 形 的 概念 ,其 外 延 就 比 等 腰 三 角 形 的 外 延 扩 大 了 。要 注 意 的 是 ,这 种 反 变 关 系 只能 适 用 于 外 延 间 存 在 着 包 含 和 被 包 含 的 两 个 概 念 之 间 。2概 念 间 的 关 系我 们 只 研 究 可 比 较 概 念 间 的 关 系 。所 谓 可 比
6、 较 概 念 ,就 是 指 它 们 在 外延 上 具 有 某 种 可 比 较 关 系 的 概 念 。例 如 ,“正 数 ”和 “整 数 ”就 是 可 比 较 的概 念 ,而 “正 数 ”和 “多 边 形 ”就 是 不 可 比 较 的 概 念 。对 于 可 比 较 概 念 间 的关 系 ,有 相 容 和 不 相 容 两 类 。（1）相 容 关 系 外 延 有 公 共 部 分 的 两 个 概 念 间 的 关 系 称 为 相 容 关 系 ,这两 个 概 念 称 为 相 容 概 念 。在 相 容 关 系 里 ,又 分 为 同 一 关 系 、交 叉 关 系 和 从属 关 系 。1）同 一 关 系 :外
7、延 完 全 重 合 的 两 个 概 念 A 和 B 间 的 关 系 称 为 同 一 关系 。例 如 ，“直 线 ”与 “一 次 曲 线 ”这 两 个 概 念 ，虽 然 它 们 是 从 不 同 的 角 度来 说 明 问 题 的 ,但 是 ,它 们 的 外 延 完 全 重 合 ,是 指 的 同 一 类 对 象 。在 同 一 个思 维 过 程 中 ,具 有 同 一 关 系 的 两 个 概 念 可 以 相 互 代 替 使 用 .2）交 叉 关 系 :外 延 只 有 一 部 分 重 合 的 两 个 概 念 A 和 B 间 的 关 系 ,称 为交 叉 关 系 ,这 两 个 概 念 称 为 交 叉 概 念
8、。例 如 , “菱 形 ”与 “矩 形 ”是 两 个 具 有交 叉 关 系 的 概 念 。具 有 交 叉 关 系 的 两 个 概 念 是 可 以 互 相 说 明 的 ,但 必 须用 “有 些 ”两 字 来 限 制 。例 如 ,我 们 可 以 说 “有 些 整 数 是 负 数 ”，也 可 以 说“有 些 负 数 是 整 数 ”；却 不 能 说 “整 数 是 负 数 ”,也 不 能 说 “负 数 是 整 数 ”。3）从 属 关 系 (包 含 关 系 ):如 果 概 念 A 的 外 延 包 含 概 念 B 的 外 延 ,那 么这 两 个 概 念 间 的 关 系 称 为 从 属 关 系 。其 中 概
9、念 A 叫 做 概 念 B 的 属 概 念(或 上 位 概 念 ), 概 念 B 叫 做 概 念 A 的 种 概 念 (或 下 位 概 念 )。例 如 , “实 数 ”和 “有 理 数 ”是 两 个 具 有 从 属 关 系 的 概 念 ，“实 数 ”是 属 概 念 ，“有 理 数 ”是种 概 念 。(2)不 相 容 关 系 外 延 没 有 公 共 部 分 的 两 个 概 念 间 的 关 系 称 为 不 相 容关 系 ,这 两 个 概 念 称 为 不 相 容 概 念 。不 相 容 关 系 分 为 对 立 、矛 盾 关 系 两 种 。1）对 立 关 系 若 概 念 A 和 B 不 相 容 ，且 它
10、 们 的 外 延 之 和 小 于 其 最 邻近 的 属 概 念 的 外 延 ,那 么 这 两 个 概 念 间 的 关 系 称 为 对 立 关 系 ,这 两 个 概 念就 称 为 对 立 概 念 。例 如 ,“正 实 数 ”与 “负 实 数 ”相 对 于 实 数 来 说 是 具 有 对立 关 系 的 两 个 概 念 。2） 矛 盾 关 系 若 概 念 A 和 B 不 相 容 ,且 它 们 的 外 延 之 和 等 于 其 最 邻 近的 属 概 念 的 外 延 ,那 么 这 两 个 概 念 间 的 关 系 称 为 矛 盾 关 系 ,这 两 个 概 念 就称 为 矛 盾 概 念 。例 如 ,“直 角
11、三 角 形 ”与 “非 直 角 三 角 形 ”相 对 于 三 角 形 来说 是 具 有 矛 盾 关 系 的 两 个 概 念 。3概 念 的 定 义（1）定 义概 念 是 用 定 义 叙 述 的 。给 概 念 下 定 义 就 是 揭 示 它 所 反 映 事 物 的 本 质属 性 。例 如 ：1）三 角 形 是 三 边 相 等 的 三 角 形 ；2）函 数 叫 做 的 对 数 函 数 。xyalog)1,0(x任 何 定 义 都 由 被 定 义 项 、定 义 项 和 定 义 联 项 三 部 分 组 成 。被 定 义 项是 需 要 加 以 明 确 的 概 念 , 1）中 的 “等 边 三 角 形 ”
12、，2）中 的 “对 数 函 数 ”，分别 是 这 两 个 定 义 的 被 定 义 项 。定 义 项 是 用 来 明 确 被 定 义 项 的 概 念 ，1）中的 “三 边 相 等 的 三 角 形 ”，2）中 的 “函 数 ”，分 别 是xyalog),0(这 两 个 定 义 的 定 义 项 。定 义 联 项 是 用 来 联 结 被 定 义 项 和 定 义 项 的 语 词 。一 般 常 用 的 定 义 联 项 有 “是 ”、“就 是 ”、“叫 做 ”、“称 为 ”等 。(2) 定 义 的 方 法在 数 学 中 通 常 采 用 下 列 方 法 给 概 念 下 定 义 。1）属 加 种 差 定 义 法
13、 。这 是 给 数 学 概 念 下 定 义 最 常 用 的 一 种 方 式 。其公 式 为 ：被 定 义 项 =最 邻 近 的 属 +种 差 。“最 邻 近 的 属 ”就 是 被 定 义 项 最 邻 近 的 属 概 念 ,“种 差 ”就 是 被 定 义 项 与 它最 邻 近 的 属 概 念 中 其 它 种 概 念 之 间 的 本 质 差 别 。例 如 ,以 “平 行 四 边 形 ”为 最 邻 近 属 概 念 的 种 概 念 有 “矩 形 ”和 “菱 形 ”,“矩 形 ”的 “有 一 个 角 是 直 角 ”是 区 别 于 “菱 形 ”的 本 质 差 别 ,“有 一 个 角 是 直 角 ”就 是
14、“矩 形 ”的 种 差 。于 是 ，用 属 加 种 差 定 义 法 就 可 以 得 到 矩 形 的 定 义 ：的 是) ( 种 差 有 一 个 角 是 直 角 ) ( 属 最 邻 近 属 概 念 平 行 四 边 形 ) ( 种 被 定 义 概 念 矩 形 用 属 加 种 差 的 方 式 定 义 概 念 ,可 借 助 于 已 知 的 属 概 念 的 内 涵 来 揭 示被 定 义 概 念 的 内 涵 。这 样 的 定 义 方 式 准 确 、明 了 、精 练 ,它 有 助 于 建 立 概念 间 的 联 系 ,使 概 念 系 统 化 。2）发 生 定 义 法 :通 过 被 定 义 概 念 所 反 映
15、对 象 的 发 生 或 形 成 过 程 的 特征 描 述 来 揭 示 被 定 义 概 念 本 质 属 性 的 定 义 方 法 称 为 发 生 定 义 法 。这 种 定义 方 式 是 属 加 种 差 定 义 的 一 种 特 殊 形 式 ，定 义 中 的 种 差 是 描 述 被 定 义 概念 发 生 或 形 成 过 程 的 特 征 ,而 不 是 揭 示 被 定 义 概 念 所 特 有 的 本 质 属 性 。例 如 :等 于 定 长 的 点 的 叫 做) ( 种 差 平 面 内 到 定 点 的 距 离 ) ( 属 集 合 ) ( 种 圆 3）列 举 定 义 法 :用 列 举 概 念 的 外 延 给
16、概 念 下 定 义 的 方 法 称 为 列 举 定义 法 。用 公 式 表 示 为 :被 定 义 概 念 (属 )=种 概 念 1A+种 概 念 2+种 概 念3A+。例 如 ,有 理 数 和 无 理 数 统 称 为 实 数 。这 是 实 数 的 列 举 定 义 。4）约 定 式 定 义 法 :有 些 被 定 义 概 念 ,不 易 揭 示 它 的 内 涵 ,就 以 客 观 实 践为 基 础 ,直 接 指 出 概 念 的 外 延 ,把 它 规 定 下 来 ,这 种 定 义 法 称 为 约 定 式 定义 法 。例 如 ,零 指 数 和 负 指 数 的 定 义 ,规 定 : 10a(a0), m1(
17、a0)5）递 归 定 义 法 :递 归 定 义 法 也 是 数 学 概 念 的 一 种 重 要 定 义 方 式 。其 形式 为 :设 A1,A2,A3,A4，An,是 一 族 待 定 义 的 对 象 (n 为 自 然 数 ),首 先定 义 (i=1,2,n),假 定 A1,A2,A3,An 已 经 定 义 ,再 定 义 An+1 例 如 , n 个 i A 实 数 和nni aa21的 定 义 :设)(1fai,这 里 RNf:(自 然 数与 实 数 的 对 应 关 系 )且 满 足 :A1)(af，:Bkif1)(,:C1)(kafkf(3)定 义 的 要 求对 概 念 下 定 义 ，一 般
18、 应 符 合 下 列 要 求 :1）定 义 必 须 相 称 ，即 要 求 定 义 项 概 念 的 外 延 与 被 定 义 项 概 念 的 外 延应 当 相 等 ，也 就 是 通 常 所 说 的 定 义 时 不 能 过 宽 也 不 能 过 窄 。定 义 过 宽 ,就是 下 定 义 概 念 的 外 延 大 于 被 定 义 概 念 的 外 延 。例 如 ，无 理 数 是 无 限 小 数 ，就 是 犯 了 定 义 过 宽 的 逻 辑 错 误 。定 义 过 窄 ,就 是 下 定 义 概 念 的 外 延 小 于被 定 义 概 念 的 外 延 。例 如 ，无 理 数 就 是 有 理 数 的 开 不 尽 方
19、根 ，就 是 犯 了定 义 过 窄 的 逻 辑 错 误 。2）定 义 不 能 循 环 ，即 不 能 借 助 甲 概 念 来 定 义 乙 概 念 ，而 乙 概 念 又 借助 甲 概 念 来 定 义 。 例 如 ，用 两 直 线 垂 直 来 定 义 直 角 ,反 过 来 又 用 两 直 线交 成 直 角 来 定 义 垂 直 。就 是 犯 了 循 环 定 义 的 逻 辑 错 误 。3）定 义 必 须 简 明 ，即 定 义 中 不 应 有 非 本 质 属 性 或 多 余 的 词 语 。例 如 ,把 平 行 四 边 形 定 义 为 “两 组 对 边 分 别 平 行 的 平 面 四 边 形 ”，这 里 “
20、平 面 ”一词 是 多 余 的 。4）定 义 一 般 不 用 否 定 形 式 ，这 是 因 为 否 定 形 式 的 定 义 ，通 常 不 能 够揭 示 出 被 定 义 概 念 的 内 涵 。 例 如 ,把 无 理 数 定 义 为 ：“不 是 有 理 数 的 数 叫做 无 理 数 ”。这 样 定 义 既 不 能 揭 示 无 理 数 的 内 涵 ,又 不 能 确 定 它 的 外 延 。但 是 ,有 些 概 念 的 特 有 属 性 就 是 它 缺 少 的 某 个 属 性 ,对 这 样 的 概 念 下 定 义可 用 否 定 形 式 。例 如 ,“同 一 平 面 内 不 相 交 的 两 条 直 线 叫
21、做 平 行 线 ”就 是用 的 否 定 形 式 。4概 念 的 划 分(1)划 分划 分 是 揭 示 概 念 外 延 的 逻 辑 方 法 ，也 就 是 把 被 划 分 的 概 念 作 为 属 概念 ,并 根 据 一 定 的 属 性 把 它 的 外 延 分 成 若 干 个 全 异 的 种 概 念 。例 如 ：1 三 角 形 可 分 为 锐 角 三 角 形 、直 角 三 角 形 和 钝 角 三 角 形 三 类 。任 何 划 分 都 由 划 分 的 母 项 、划 分 的 子 项 和 划 分 的 依 据 三 部 分 组 成 。划 分 的 母 项 是 指 被 划 分 的 属 概 念 ,1）中 的 “三
22、角 形 ”就 是 划 分 的 母 项 。划分 的 子 项 就 是 划 分 后 所 得 的 各 个 种 概 念 , 1）中 的 “锐 角 三 角 形 ”、“直 角 三角 形 ”和 “钝 角 三 角 形 ”就 是 划 分 的 子 项 。划 分 的 依 据 就 是 划 分 时 所 依 据的 标 准 ，1）中 划 分 的 依 据 就 是 三 角 形 最 大 内 角 的 大 小 。(2)划 分 的 类 别 划 分 有 一 次 划 分 、连 续 划 分 和 二 分 法 等 基 本 形 式 。1）一 次 划 分 :只 包 括 母 项 和 子 项 两 个 层 次 的 划 分 称 为 一 次 划 分 。例 如
23、，根 据 奇 偶 性 ,把 整 数 划 分 为 奇 数 和 偶 数 。2）连 续 划 分 :包 括 母 项 和 子 项 三 个 层 次 及 以 上 的 划 分 ,即 把 一 次 划 分得 出 的 子 项 作 为 母 项 ,继 续 划 分 子 项 ,直 到 满 足 需 要 为 止 。例 如 :把 有 理 数划 分 为 整 数 和 非 整 数 的 有 理 数 ，接 着 再 把 整 数 划 分 为 正 整 数 、零 和 负 整数 。3）二 分 法 :它 是 每 次 划 分 后 所 得 的 子 项 总 是 两 个 相 互 矛 盾 概 念 的 划分 法 。它 是 把 一 个 概 念 的 外 延 中 具
24、有 某 个 属 性 的 对 象 作 为 一 类 ,把 恰 好缺 乏 这 个 属 性 的 对 象 作 为 另 一 类 。例 如 ,把 复 数 划 分 为 虚 数 和 实 数 ，虚 数再 划 分 为 纯 虚 数 和 非 纯 虚 数 ，实 数 再 划 分 为 有 理 数 和 无 理 数 。二 分 法 常 用 于 以 下 两 种 场 合 :一 是 不 需 要 了 解 被 划 分 概 念 的 全 部 外延 性 质 时 ;二 是 被 划 分 的 概 念 的 外 延 尚 未 完 全 弄 清 时 。二 分 法 是 一 种 简便 易 行 、不 易 发 生 错 误 的 划 分 方 法 ,这 又 是 它 的 优 点
25、 ;但 是 ,由 于 这 种 划 分方 法 总 有 一 部 分 外 延 不 能 明 确 地 显 示 出 来 ,这 是 它 的 缺 点 . 划 分 的 规 则1）划 分 应 当 是 相 称 的 ，就 是 指 划 分 后 所 得 的 种 概 念 外 延 的 总 和 等 于被 划 分 属 概 念 的 外 延 。例 如 :把 正 整 数 划 分 为 质 数 与 合 数 ，显 然 就 违 反 了规 则 1），因 为 正 整 数 还 包 括 “1”,而 “1”既 不 是 质 数 也 不 是 合 数 。2）每 次 划 分 只 能 依 同 一 标 准 进 行 ， 也 就 是 每 次 划 分 不 能 交 叉 使
26、 用 几个 不 同 的 标 准 ,只 能 用 同 一 标 准 划 分 。例 如 ,把 三 角 形 划 分 为 等 边 三 角 形 、等 腰 三 角 形 、钝 角 三 角 形 , 显 然 就 违 反 了 规 则 2），因 为 这 个 划 分 中 使 用了 边 、角 大 小 两 个 不 同 的 标 准 。3）划 分 后 各 个 子 项 应 当 互 不 相 容 ，也 就 是 划 分 后 所 得 的 子 项 的 外 延不 允 许 交 叉 、重 叠 。例 如 ,把 平 行 四 边 形 划 分 为 正 方 形 、菱 形 和 邻 边 不 等的 平 行 四 边 形 ，显 然 就 违 反 了 规 则 3），因
27、为 正 方 形 是 菱 形 ,它 们 之 间 相容 。4）划 分 不 能 越 级 ，在 每 次 划 分 中 ,被 划 分 的 概 念 与 划 分 出 来 的 概 念 必须 具 有 最 邻 近 的 属 种 关 系 ,不 能 越 级 。例 如 ，把 实 数 划 分 为 整 数 、分 数 、无 理 数 ，显 然 就 违 反 了 规 则 4），因 为 整 数 和 分 数 与 实 数 不 是 最 邻 近 的 属种 关 系 。5原 始 概 念 在 一 个 科 学 系 统 中 每 给 一 个 概 念 下 定 义 ,都 要 用 一 些 已 知 的 概 念 来定 义 新 概 念 ,这 样 就 构 成 一 个 概
28、 念 的 序 列 。可 是 概 念 的 个 数 是 有 限 的 ,所以 在 这 个 概 念 的 序 列 中 总 有 一 些 概 念 是 不 能 引 用 别 的 概 念 来 定 义 它 的 ,这 样 的 概 念 叫 做 在 这 个 科 学 系 统 中 的 原 始 概 念 。例 如 ,数 学 中 的 数 、量 、点 、直 线 、平 面 、集 合 、对 应 等 都 是 原 始 概 念 。在 科 学 中 ,原 始 概 念 是 不予 定 义 的 ,它 们 的 本 质 属 性 通 过 公 理 加 以 规 定 。但 在 学 科 中 ,常 用 直 观 描述 性 的 方 法 对 原 始 概 念 加 以 解 释
29、,目 的 是 使 学 习 者 心 领 神 会 ,留 下 鲜 明 的印 象 。例 如 ,用 拉 紧 的 细 绳 和 由 小 孔 射 入 的 光 线 来 建 立 直 线 形 象 ;把 由 确定 的 事 物 组 成 的 整 体 称 做 集 合 ,都 不 是 下 定 义 ,而 是 一 种 帮 助 学 习 者 领 会的 直 观 描 述 。在 逻 辑 推 理 中 这 种 描 述 是 不 起 任 何 作 用 的 。 数 学 命 题1判 断 与 命 题判 断 是 对 客 观 事 物 的 一 种 认 识 ,是 对 客 观 事 物 有 所 肯 定 或 否 定 的 思维 形 式 ,判 断 是 概 念 与 概 念 的
30、 联 合 。数 学 判 断 是 对 空 间 形 式 和 数 量 关 系 有 所 肯 定 或 否 定 的 思 维 形 式 。例如 ,“正 数 都 大 于 零 ”、“有 些 一 元 二 次 方 程 无 实 根 ”等 都 是 数 学 判 断 。判 断有 真 有 假 。如 果 一 个 判 断 能 如 实 地 反 映 客 观 事 物 ,在 质 和 量 上 都 能 正 确地 反 映 客 观 事 物 的 真 实 性 ,而 无 虚 假 ，那 么 这 个 判 断 就 是 真 判 断 ,否 则 就是 假 判 断 。上 面 提 到 的 两 个 判 断 都 是 真 判 断 。而 “所 有 的 一 元 二 次 方 程都
31、 有 实 根 ”却 是 一 个 假 判 断 。在 数 学 中 ，表 达 判 断 的 语 句 或 符 号 的 组 合 称 为 命 题 。例 如 ,“等 角 的 余角 相 等 ”、“5 6”、“x2=0”、“a2-2ab+b2=(a-b)2”、“x 1”、“ABCABC”等 都 是 数 学 命 题 。由 于 判 断 有 真 有 假 ,所 以 命 题 也 有 真 假 之 分 。总 的 来 说 ,数 学 命 题 一 般 由 题 设 和 结 论 两 部 分 组 成 。题 设 是 已 知 事 项 ,结论 是 由 题 设 推 出 的 事 项 。根 据 命 题 结 构 差 异 ,又 往 往 把 数 学 命 题
32、 分 为 简单 命 题 和 复 合 命 题 。2简 单 命 题 与 复 合 命 题在 逻 辑 中 ，通 常 用 p、q、r 等 表 示 命 题 ,称 为 命 题 变 量 或 命 题 变 项 。命题 变 量 只 能 取 “真 ”、“假 ”二 值 。常 用 “I”表 示 “真 ”,用 “O”表 示 “假 ”。若 命题 q 是 一 个 真 命 题 ,则 说 q 的 真 值 等 于 I,记 作 q=I;若 命 题 P 是 一 个 假 命题 ,则 说 P 的 真 值 等 于 0,记 作 P=0。(1) 简 单 命 题简 单 命 题 就 是 不 包 含 其 它 命 题 的 命 题 。简 单 命 题 可 分
33、 为 性 质 命 题 和关 系 命 题 两 种 。1 性 质 命 题性 质 命 题 就 是 断 定 某 对 象 具 有 或 不 具 有 某 种 属 性 的 命 题 。例 1 一 切 正 方 形 都 是 平 行 四 边 形 ;分 数 都 不 是 无 理 数 ;有 些 负 数 是 整 数 ;有 些 整 式 不 是 多 项 式 。性 质 命 题 由 主 项 、谓 项 、量 项 和 联 项 四 部 分 组 成 。主 项 表 示 判 断 的 对 象 。例 1 中 的 “正 方 形 ”、“分 数 ”、“负 数 ”、“整 式 ”分 别 是 四 个 命 题 的 主 项 。谓 项 表 示 主 项 具 有 或 不
34、 具 有 性 质 。例 1 中 的 “平 行 四 边 形 ”、“无 理 数 ”、“整 数 ”、“多 项 式 ”分 别 是 四 个 命 题 的 谓 项 。量 项 表 示 主 项 的 数 量 ,反 映 判 断 对 象 的 量 的 差 别 。表 示 对 象 全 体 的 量项 叫 做 全 称 量 项 ,常 用 “一 切 ”、“所 有 ”、“任 意 ”、“任 何 ”、“每 一 个 ”等 全 称量 词 来 表 示 。表 示 对 象 的 一 部 分 的 量 项 叫 做 特 称 量 项 ,常 用 “一 些 ”、“有些 ”、“有 的 ”、“至 多 ”、“至 少 ”、“存 在 ”等 存 在 量 词 来 表 示 。
35、全 称 量 项 有 时省 略 不 写 ,如 例 1中 的 全 称 量 项 “所 有 ”省 略 了 。联 项 表 示 主 项 和 谓 项 之 间 的 关 系 ,反 映 对 象 的 质 的 差 别 。常 用 “是 ”、“有 ”、“不 是 ”、“没 有 ”等 表 示 肯 定 或 否 定 。2）关 系 命 题关 系 命 题 就 是 断 定 对 象 与 对 象 之 间 的 关 系 的 命 题 。例 2 所 有 正 数 都 大 于 零 ;直 线 a 平 行 于 直 线 b。关 系 命 题 由 主 项 、谓 项 和 量 项 三 部 分 组 成 。主 项 又 称 关 系 项 ,是 指 存 在 某 种 关 系
36、的 对 象 。例 2中 的 “正 数 ”和 “零 ”,例 2中 的 “直 线 a”和 “直 线 b”,分 别 是 两 个 命 题 的 主 项 。其 中 ,“正 数 ”、“直 线 a”在 前 面 ,称 为 关 系 前 项 ;“零 ”、“直 线 b”在 后 面 ,称 为 关 系 后 项 。谓 项 又 称 为 关 系 ,就 是 指 各 个 对 象 之 间 的 某 种 关 系 。例 2 中 的 “大 于 ”、“平 行 ”分 别 是 两 个 命 题 的 谓 项 。量 项 表 示 主 项 的 数 量 。同 性 质 命 题 一 样 ,关 系 命 题 的 量 项 也 有 全 称 、特 称 和 单 称 三 种
37、。每 一 个 关 系 项 ,都 是 有 量 项 的 ,例 2用 的 是 全 称 量 词“所 有 ”例 2用 的 是 单 称 量 词 “1”。如 果 例 2 中 的 两 个 命 题 的 两 个 主 项 用 a、b 表 示 ,用 R 表 示 关 系 ,那 么两 个 命 题 就 具 有 一 个 共 同 的 形 式 :a 与 b 有 关 系 R,记 作 aRb。(2) 复 合 命 题复 合 命 题 是 由 两 个 或 两 个 以 上 的 其 它 命 题 被 逻 辑 连 接 词 结 合 起 来 而构 成 的 命 题 。1) 逻 辑 连 接 词 常 用 的 逻 辑 连 接 词 有 否 定 、合 取 、析
38、取 、蕴 涵 、当 且 仅 当 五 种 。第 一 ,否 定 (非 ，“”)。给 定 一 个 命 题 p,它 与 连 接 词 非 （）构 成 复 合命 题 “非 P”,记 作 P。若 p 为 真 ,则 p 为 假 。若 p 为 假 ,则 p 为 真 , p 的真 值 表 如 表 (6.1)。表 6.1P P1001p 称 为 p 的 否 定 式 ,也 称 为 负 命 题 。例 如 ,“ 2是 无 理 数 ”是 一 个 真 命 题 ,它 的 否 定 式 为 “ 2不 是 无 理 数 ”是 一 个 假 命 题 。第 二 ,合 取 (与 、且 ，“”)。给 定 两 个 命 题 p 与 q，用 连 接
39、词 与 （）连 接起 来 ,构 成 复 合 命 题 “p 与 q”,记 作 pq。若 p、q 均 为 真 ,则 pq 为 真 ;若p、q 中 至 少 有 一 个 为 假 ,则 pq 为 假 。pq 的 真 值 表 如 表 (6.2)。表 6.2p q pq1 1000 0111 000pq 称 为 p、q 的 合 取 式 ,p、q 称 为 合 取 项 。命 题 pq 也 称 为 联 言 命 题 。例 如 ,命 题 “15 是 3 的 倍 数 ”,是 个 真 命 题 。第 三 ,析 取 (或 ，“”)。给 定 两 个 命 题 p 与 q,用 或 （）连 接 起 来 ,构 成 复合 命 题 “p
40、或 q”,记 作 pq。若 p、q 中 至 少 有 一 个 为 真 ,则 pq 为 真 ;若p、q 均 为 假 ,则 pq 为 假 。pq 的 真 值 表 如 表 (6.3)。表 6.3p q pq1 1001 0101 110pq 称 为 p、q 的 析 取 式 ,p、q 称 为 析 取 项 。pq 也 称 为 选 言 命 题 。例如 ,命 题 “3=3”和 “3 3”,前 者 为 真 命 题 ,后 者 为 假 命 题 ,其 析 取 式 为 “33”是 一 个 真 命 题 。第 四 ,蕴 涵 (若 则 ，“ ”)。给 定 两 个 命 题 p 与 q,用 若 则 （ ）连结 起 来 ，构 成
41、复 合 命 题 “若 p 则 q”，记 作 p q。若 p 真 q 假 ,则 p q 为 假 ;在p、q 的 其 余 情 况 下 ,p q 均 为 真 。p q 的 真 值 表 如 表 (6.4)表 6.4p q p q1 1 11 0 00 1 10 0 1p q 称 为 命 题 p、q 的 蕴 涵 式 ,p 称 为 条 件 (或 前 件 ),q 称 为 结 论 (或 后件 )。命 题 p q 也 称 为 假 言 命 题 。例 如 ,命 题 “4 被 3 整 除 ”、“5 被 7 整 除 ”是 两 个 假 命 题 ,其 蕴 涵 式 为 “若 4 被 3 整 除 ,则 5 被 7 整 除 ”是
42、 个 真 命 题 。第 五 ,当 且 仅 当 ()。给 定 两 个 命 题 p 与 q,用 “”连 接 起 来 ,构 成 复合 命 题 “p 当 且 仅 当 q”,记 作 p q。若 p、q 同 真 或 同 假 ,则 p q 为 真 ;否则 ,p q 为 假 ,p q 的 真 值 表 如 表 (6.5)表 6.5p q Pq1 1 11 0 00 1 00 0 1pq 称 为 p、q 的 等 值 式 ,也 称 为 充 要 条 件 假 言 命 题 。例 如 ,命 题4 3”是 一 个 真 命 题 ,命 题 “5 2”是 一 个 假 命 题 ,其 等 值 式 为“4 3 5 2”是 一 个 假 命
43、 题 。否 定 式 、合 取 式 、析 取 式 、蕴 涵 式 、等 值 式是 复 合 命 题 中 最 简 单 、最 基 本 的 形 式 ,由 这 些 基 本 形 式 ,经 过 各 种 组 合 ,可以 得 到 更 为 复 杂 的 复 合 命 题 。为 了 省 略 括 号 ,通 常 约 定 逻 辑 连 接 词 、 、的 结 合 力 依 次 减 弱 。例 如 ,可 以 将 (pq) r 记 作 pq r。2） 复 合 命 题 的 值 复 合 命 题 的 真 值 ，取 决 于 它 所 包 含 的 各 个 命 题 的 真 假 及 其 复 合 方 式 。根 据 复 合 命 题 各 种 基 本 形 式 的
44、真 值 情 况 ,可 以 确 定 一 个 复 合 命 题 在 各 种情 况 下 的 真 值 。例 3 求 复 合 命 题 pP 的 真 值 。解 依 合 取 与 否 定 的 定 义 ,有 当 p=1 时 ,P=0,所 以 p P=0例 4 求 (p q)(q r) (p r)的 真 值 。解 依 蕴 涵 与 合 取 的 定 义 ,有 表 (6.6) 表 6.6p q r pqq r (p q)(q r) (p r) (p q)(q r) (p r)1 11100001 10011001 01010001 10011111 01110111 00010111 01011111 1111111例
45、3 表 明 ,无 论 p 取 什 么 值 ,pP 总 是 假 的 ;例 4 表 明 ,无 论 p、q、r 取什 么 值 (p q)(q r) (p r)总 是 真 的 。在 命 题 逻 辑 中 ,在 任 何 情 况 下总 是 假 的 命 题 称 为 恒 假 命 题 ;在 任 何 情 况 下 总 是 真 的 命 题 称 为 恒 真 命 题(重 言 式 )。例 3 是 恒 假 命 题 ,例 4 是 恒 真 命 题 。恒 真 命 题 在 逻 辑 上 起 着重 要 的 作 用 。如 例 4 这 一 恒 真 命 题 ,揭 示 了 蕴 涵 的 传 递 性 ,在 形 式 逻 辑 中称 为 假 言 三 段 论
46、 定 律 。3） 命 题 的 演 算 法 则 如 果 两 个 复 合 命 题 M、S 的 真 值 完 全 相 同 ,那 么 称 M、S 为 逻 辑 等 价(或 称 M、S 为 等 价 命 题 ),记 作 MS。逻 辑 等 价 的 两 个 命 题 ,在 推 理 论 证 中可 以 作 为 命 题 的 演 算 法 则 互 相 代 替 。利 用 上 述 真 值 表 6.1-6.5，容 易 证 明 下 列 法 则 成 立 ：等 幂 律 ppp; ppp交 换 律 pqqp; pqqp结 合 律 (pq)rp(qr);(pq)rp(qr)分 配 律 p(qr)(pq)(pr);p(qr)(pq)(pr)吸
47、 收 律 p(pq)p; p(pq)p德 摩 根 律 (pq) p q(pq) pq双 重 否 定 律 ( p)p么 元 律 pOp;pIp极 元 律 pII;pOO 互 补 律 ppI;p p0利 用 命 题 的 演 算 法 则 可 以 将 结 构 复 杂 的 命 题 化 简 ,也 可 以 推 证 两 个命 题 的 等 价 关 系 。例 5 试 证 pq(p q)(q p)。解 依 当 且 仅 当 、蕴 涵 、合 取 的 定 义 ,有 表 (6.7)。表 6.7p q Pq p q q p (p q)(q p)1 1001 0101 0011 0111 1011 001由 表 6.7 得 ,
48、pq(p q)(q p)。在 一 定 条 件 下 ,简 单 命 题 也 可 以 用 复 合命 题 来 表 示 。例 如 ,全 称 肯 定 命 题 SAP,其 含 义 也 可 理 解 为 :“对 于 任 何 一个 x(x 表 示 对 象 ),如 果 x 是 S,则 x 是 P”。若 用 “”表 示 全 称 量 词 ,S(x)表示 x 是 S,P(x)表 示 x 是 P,则 SAP 可 表 为xs(x) p(x)类 似 的 ,全 称 否 定 命 题 SEP 可 表 为 xs(x) p(x)若 用 “”表 示 存 在 量 词 则 特 称 肯 定 命 题 SIP 可 表 为 xs(x)p(x)特 称 否 定 命 题 SOP 可 表 为xs(x)p(x)3命 题 的 四 种 基 本 形 式 及 等 价 关 系数 学 命 题 通 常 用 蕴 涵 式 “p q”给 出 ，它 的 四 种 形 式 是 ：原 命 题 p q;逆 命 题 q p;否 命 题 p q;逆 否 命 题 q p 它 们
