1、1作业 11、四脚呈长方形的椅子在不平的地上能放稳吗？问题分析：把椅子往不平的地面上放，通常是只有三只脚触地，放不稳的，然而，只需要稍微的挪动几次，一般都可以使四只脚同时触地。模型假设：为了使问题数学化，可以用建模的思想求解，可做如下三种假设。椅子的四条腿长度一样，四个椅脚与地面均点接触，四角连线呈长方形。地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面。地面相对平坦，使椅子在任意位置至少有三只脚触地。模型构成：解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。我们很容易注意到，椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它
2、的对称中心旋转 后，椅子仍在原地把长方形绕它的对称中心 O 旋转，这可018以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度 这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题，其图形如图一所示；其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。C 1B 1D 1A 10xyCBA0D图一 椅子四只脚旋转示意图容易得知当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是 的函数，因此，椅脚与地2面的竖直距离也是 的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是 的函数而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数
3、对于任意的 ，其函数值至少有三个同时为 0，因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形 ABCD 是中心对称图形，绕其对称中心 O 沿逆时针方向旋转 180后，长方形位置不变，但 A,C 和 B,D 对换了。因此，记 A、B 两脚与地面竖直距离之和为 ，C、D 两脚与地面竖直距离之和1h为 ，其中 0，从而将原问题数学化。2h数学模型：已知 和 是 的非负连续函数，对任意 ， 1h2 1h0，证明：存在 0，使得 0 成立。 2 010h2模型求解：1.如果 0，那么结论成立。1h22.如果 与 不同时为零，不妨设 0， 0。这时，将1h2长方形 ABCD 绕点 O 逆时针旋转角度 后，点
4、A，B 分别与 C，D 互换，但长方形 ABCD 在地面上所处的位置不变，由此可知， ， 。而由 0， 0，得 0，1h202h101h22h0。令 ，由 和 的连续性知 也是连续函数。H1212H又 0， 0，,根据连续函数介值hHh定理，必存在 （0，）使得 0，即 ；120h又因为 0，所以 0。于是，椅子的四只脚同时1212着地，放稳了。2、有四个商人带四个随从过河，船只能容纳 2 人,由人划。随从们密约：一旦河的任一岸随从数比商人多，就杀商人。但是乘船渡河的方案由商人决定，且商人已获知该密约，问商人们怎样安全过河？（写出模型即可）问题分析：多步决策过程决策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到
5、此岸)船上的人员3要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）目标：经有限步使全体人员过河模型构成：kx第 次 渡 河 前 此 岸 的 商 人 数 ,0,1234;kxyy第 次 渡 河 前 此 岸 的 随 从 数 S允许状态集合(,)kksx过 程 的 状 态S=(x, y)|x =0, y =0,1,2,3,4; x =4,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3ku第 次 渡 船 上 的 商 人 数 ,0,12;kuvv第 次 渡 船 上 的 随 从 数 3D=(u,v)|u+v=1,2允许决策集合(,)kkd决 策状态转移律1ksd多步决策问题： 11(,2),4,)(0.
6、k kknsSs求 使 按 转 移 律由 到 达作业 2请举例说明数学建模解决工程研究问题（或者实际生活问题）的例子。有完整的解决过程最好，没有的话，提出问题也可以（只要你认为是可以通过数学建模去解决的）通过数学建模解决污水处理问题问题说明：如图 1，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口均有污水处理站，处理站对面是居民点，工厂 1 上游的江水流量和污水浓度、国家标准规定的水污染浓度以及各个工厂的污水流量和污水浓度均为已知。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知.处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，江水
7、会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数，该4系数可以估计)，试确定各污水处理厂出口的污水浓度在符合国家标准规定的条件下为多少时总费用最小。工厂 1 工厂 2 工厂 3处理站 1 处理站 2 处理站 3居民点 1 居民点 2 居民点 3江水图 1 沿江污水处理点与居民点分布图对此问题，我们应先建立一般情况的数学模型再求具体问题。设上游江水流量为 ，污水浓度为 ，3 个工厂的污水流量均为120/minL0.8/mgL，污水浓度(从上游到下游排列)分别为 100 mg/ L, 60 mg/ L, 50 mg/ 125/iL，处理系数均为 1 万元/ ，3 个工厂之间两段江面的自12/in/L净系数
8、( 从上游到下游) 分别为 0.9 和 0.6 国家标准规定水的污染浓度不能超过。1/mg问题分析：将上述情况分为两个问题来解决，问题 1：使江面上所有地段的污水达到国家标准，最少需要花费多少？问题 2：如果只要求三个居民点上游的污水达到国家标准，最少需要花费多少？根据上文假设知，三个工厂污水总量均为，从上游到下游工厂污水浓度分别为 100 mg/ L, 60 mg/ L 和 50 1250/minLmg/ L，上游流量为 ，上游污水浓度为 ，3 个工厂之120/minL0.8/mg间的两段江面的自净系数(上游至下游)为 0. 9 和 0. 6.根据污水处理费用与污水5处理前后的浓度关系可以得
9、出 ，式中： 为污水处理费用， 为处理zvczc前后的污水浓度差， 为污水流量。由假设知处理系数均为 1 万元，得 k= 1，v污水经工厂处理站处理后与江水混合流入对面居民点。问题 1：如果使江面上所有地段的污水均达到国家标准，那么各居民点污水的污染浓度均不得超过国家标准( )。问题 2：要求三个居民点上游的水污染达标，即江水流入各居1/mgL民点之前均达到国家污水标准.在分析过程中作如下假设：(1)假设处理前后污水中的杂质均匀地分布在水中。(2) 假设污水和江水混合后水的总量不变。(3) 假设除工厂外没有其他污染源. (4)假设处理过程不受人为因素的影响。模型的建立与求解：在问题 1 中，为
10、了得到所在地段水质都达标的情况下的费用最低方案，得如下方程： 1212306500Minxx 式中 ， ， 分别为工厂 1，2，3 排出的污水经污水处理厂处理后的污1x23水浓度。（1）当江水流过工厂 1 的处理厂时，江水的浓度为 ，流量为0.8/mgL。问题要求所有地段污水都达标，即排出的污水与江水混合也20/minL要达标，也就是说混合后的浓度不超过国家标准，约束条件为： 121210.850xy（2）工厂 1 的污水与江水混合后浓度变为 ，混合后的江水与工厂 2 处的1y污水再混合后的浓度也要达标.约束条件为： 121212120.90.85050y xx ( 3)同理，工厂 3 处混合
11、后的污水浓度达标的约束条件为： 1212122 330.60.850503y xx 6(4)考虑到与实际问题的一致性，处理厂排出的污水浓度 ， ， 必须小1x23于工厂排出的污水浓度，即 ，此时1230/,60/,50/xmgLxgmgL为工厂排出的污水经处理厂处理后的浓度(i= 1,2,3)， 为处理厂排出的污水ix iy与江水混合的后的浓度(i= 1, 2, 3)，利用 lingo 软件求解，编写程序如下：12311222333123in0650;.85/;.9/;0.65/10;50xxyyxyyx运行知，在满足问题 1 的要求时，3 个污水处理厂排出的污水浓度分别是，此时，污水与江水混
12、合后的浓度分别为41/,2./mgLmgL和，此时可计算得出最低费用为 489.5 万元。和 084在问题 2 中，只要求 3 个居民点上游的污水浓度达到国家标准，即不需要考虑处理厂排出的污水与江水混合后的浓度，只要在江水流过下一个居民区时，水质达标就可以了.可建立如下方程： 1212Min0650;x （1）工厂 1 的上游水流过居民区时，满足题目要求，即污水与江水混合后，通过江水的自净功能，到达居民点 2 时水质达标就可以。居民点 2 处的江水浓度 的约束条件为：1y 121210.850xy(2)从居民点 2 处流过的江水与工厂 3 的处理厂排出的污水混合后水质依然要达标.即 的约束条件
13、为：y71212120.850yx ( 3)与实际一致，污水与江水混合后的浓度要低于工厂排出的污水浓度，即和 的约束条件为： ；1x2 120,6x利用 lingo 软件求解，编写程序如下： 121122212min505;0.8.9/;.6/;06;xxyyxx 运行知，满足问题 2 的要求时，污水处理厂 1 排出的污水浓度为 63. 3 mg/ L，污水处理厂 2 排出的污水浓度为 60 mg/ L，而工厂 3 的污水可不经过处理直接排入江中.污水与江水混合后在达到第二、三个居民区时江水浓度分别为 1 mg/ L 和 0. 78 mg/ L。进而计算得污水处理费用为 183. 3 万元.通
14、过上述污水处理问题的数学模型的建立过程可以看到，利用数学建模解决实际问题的基本过程体现了数学思想与数学软件相结合处理实际问题的方便之处.理解数学建模的作用有利于进一步推动数学思想与专业问题的结合。参考文献1 薛毅.数学建模基础 M北京：北京工业大学出版社，2004：3-4.2 李志林，欧宜贵数学建模及典型案例分析M北京：化学工业出版社,2007: 160-168.3母丽华，周永芳数学建模M科学出版社，20114彭红军，张伟，李媛微积分M机械工业出版社，20135谭永基等经济管理数学模型案例教程M高等教育出版社，20068作业 3飞机货舱分为 5 个区域，每个区域的最大载重（吨）及最大容积(米
15、3)如下表所示最大载重 (吨) 最大容积 (米 3)货舱 1 10 6800货舱 2 12 7600货舱 3 15 8700货舱 4 10 6800货舱 5 8 5300飞机平衡要求五个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例。现有 8 种货物待运输，假定每种货物可以分割到任意小，可以在一个或多个货舱中任意分布且多种货物可以混装，8 种货物信息如下表所示，问如何装载使本次飞行获利最大？重量 (吨) 空间 (米 3/吨) 利润 (元/ 吨)货物 1 10 680 3100货物 2 12 650 3800货物 3 8 400 3000货物 4 15 700 4000货物 5 23 580 3500货物
16、 6 18 550 2800货物 7 20 200 1400货物 8 12 390 2850此题中已经给出假设：每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙。9模型建立：决策变量：用 表示第 i 种货物装入第 j 个货仓的重量（吨） ，ijxi=1，2 ，3， 4，5，6，7， 8；j=1 ，2，3，4，5；决策目标可获得的最大总利润，即目标函数 1213415212342531234354 5 666712734758120()0(xx)0(x)x 8xMaz8345约束条件有以下四个：供装载的八种货物的总重量约束： 1213415231
17、23435451253456667127347588808120xxxxxxxxx五个货仓的重量限制： 12314516718222132345367384 441523545675800xxxxxxxx五个货仓的空间限制： 12131415161718122222221323343536373834446800780096075xxxx44441525354556575856800780090xxxx五个货仓装入重量的平衡约束：1012314516718123245267281323453673814234546748152354567580 108xxxxxxxxx到 这 40 个变量都是
18、非负数才有实际意义，即185 1850x编程得到： 【LINGO 命令】 Model:max=3100*(x11+x12+x13+x14+x15)+3800*(x21+x22+x23+x24+x25)+3000*(x31+x32+x33+x34+x35)+4000*(x41+x42+x43+x44+x45)+3500*(x51+x52+x53+x54+x55)+2800*(x61+x62+x63+x64+x65)+1400*(x71+x72+x73+x74+x75)+2850*(x81+x82+x83+x84+x85); x11+x12+x13+x14+x15=0;x12=0;x13=0;x1
19、4=0;x15=0;x21=0;x22=0;x23=0;x24=0;x25=0;x31=0;x32=0;x33=0;x34=0;x35=0;x41=0;x42=0;x43=0;x44=120;x45=0;x51=0;x52=0;x53=0;x54=0;x55=0;x61=0;x62=0;x63=0;x64=0;x65=0;x71=0;x72=0;x73=0;x74=0;x75=0;x81=0;x82=0;x83=0;x84=0;x85=0;end13Global optimal solution found.Objective value: 201600.0Infeasibilities: 0
20、.000000Total solver iterations: 34Variable Value Reduced CostX11 0.000000 0.000000X12 0.000000 0.000000X13 0.000000 55.5555614X14 5.000000 0.000000X15 0.000000 0.000000X21 6.666667 0.000000X22 5.333333 0.000000X23 0.000000 38.88889X24 0.000000 0.000000X25 0.000000 0.000000X31 0.000000 100.0000X32 0.
21、000000 100.0000X33 0.000000 0.000000X34 0.000000 100.0000X35 0.000000 100.0000X41 3.111111 0.000000X42 2.222222 0.000000X43 0.000000 66.66667X44 4.166667 0.000000X45 5.500000 0.000000X51 0.2222222 0.000000X52 4.444444 0.000000X53 15.00000 0.000000X54 0.8333333 0.000000X55 2.500000 0.000000X61 0.0000
22、00 300.0000X62 0.000000 300.0000X63 0.000000 283.3333X64 0.000000 300.0000X65 0.000000 300.0000X71 0.000000 1700.000X72 0.000000 1700.000X73 0.000000 1488.889X74 0.000000 1700.000X75 0.000000 1700.000X81 0.000000 250.0000X82 0.000000 250.0000X83 0.000000 144.4444X84 0.000000 250.0000X85 0.000000 250
23、.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 201600.0 1.0000002 5.000000 0.0000003 0.000000 700.00004 8.000000 0.0000005 0.000000 900.0000156 0.000000 400.00007 18.00000 0.0000008 20.00000 0.0000009 12.00000 0.00000010 0.000000 3100.00011 0.000000 0.00000012 0.000000 5257.77813 0.000000 3100.00014 0.000000
24、 3100.00015 160.0000 0.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 0.555555618 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 0.000000 0.00000021 0.000000 37200.0022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 0.000000 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 5.000000 0.00000028 0.000000 0.00000029 6.66666
25、7 0.00000030 5.333333 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.00000033 0.000000 0.00000034 0.000000 0.00000035 0.000000 0.00000036 0.000000 0.00000037 0.000000 0.00000038 0.000000 0.00000039 3.111111 0.00000040 2.222222 0.00000041 0.000000 0.00000042 4.166667 0.00000043 5.500000 0.00000044 0.22222
26、22 0.00000045 4.444444 0.00000046 15.00000 0.00000047 0.8333333 0.00000048 2.500000 0.00000049 0.000000 0.0000001650 0.000000 0.00000051 0.000000 0.00000052 0.000000 0.00000053 0.000000 0.00000054 0.000000 0.00000055 0.000000 0.00000056 0.000000 0.00000057 0.000000 0.00000058 0.000000 0.00000059 0.0
27、00000 0.00000060 0.000000 0.00000061 0.000000 0.00000062 0.000000 0.00000063 0.000000 0.000000实验结果分析：第一种货物装在第四个货仓为5吨，第二种货物装在第一个货仓为6.666667吨，第二种货物装在第二个货仓为5.333333 吨，第四种货物装在第一个货仓为3.111111吨，第四种货物装在第二个货仓为 2.222222吨，第四种货物装在第四个货仓为4.166667吨，第四种货物装在第五个货仓为 5.500000吨，第五种货物装在第一个货仓为0.2222222吨，第五种货物装在第二个货仓为4.444
28、444吨，第五种货物装在第三个货仓为15吨，第五种货物装在第四个货仓为0.8333333吨，第五种货物装在第五个货仓为2.500000 吨。获得的总利润为201600.0元。作业 4有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每个人做各项工作所消耗的时间如表。问应该如何指派，才能使总的消耗时间为最小？1717232119丁19161726丙18222319乙24211815甲DCBA 工作 所耗时间 工人模型建立：当 = 1 时派第 i 人去完成第 j 项工作；当 = 0 时不指派第 i 人去ijx ijx完成第 j 项工作， = 1,2,3,4。这可以表示为一个 0-1 整数规划问题：j,
29、12131421223243 4458918267697Minzxxxx x约束条件：甲乙丙丁四个人每个人有且仅能干一样工作，其约束条件为： 121342341243xxABC D 四种工作，每种工作只能一个人干，其约束条件为： 123142314234xx编程得到： 【LINGO 命令】 Model:min=15*x11+18*x12+21*x13+24*x14+19*x21+23*x22+22*x23+18*x24+ 1826*x31+17*x32+16*x33+19*x34+19*x41+21*x42+23*x43+17*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x
30、23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1;x13+x23+x33+x43=1; x14+x24+x34+x44=1; BIN(x11);BIN(x12);BIN(x13);BIN(x14); BIN(x21);BIN(x22);BIN(x23);BIN(x24); BIN(x31);BIN(x32);BIN(x33);BIN(x34); BIN(x41);BIN(x42);BIN(x43);BIN(x44); end 19Global optimal solution
31、found.Objective value: 70.00000Objective bound: 70.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX11 0.000000 15.00000X12 1.000000 18.00000X13 0.000000 21.00000X14 0.000000 24.00000X21 1.000000 19.00000X22 0.000000 23.00000X23 0.000000 22.
32、00000X24 0.000000 18.00000X31 0.000000 26.00000X32 0.000000 17.00000X33 1.000000 16.00000X34 0.000000 19.00000X41 0.000000 19.00000X42 0.000000 21.00000X43 0.000000 23.00000X44 1.000000 17.00000Row Slack or Surplus Dual Price201 70.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.00
33、00005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.000000实验结果分析：让甲去做 B 工作，让乙去做 A 工作，让丙去做 C 工作，让丁去做 D 工作，可以得到总耗时的最小值 70。作业 5利用层次分析方法，针对某个实际问题（报考院校选取、旅游地点选取、物品购买选取等）开展建模分析某位学生打算外出旅游, 有三个地方景点是他所比较喜爱的, 假定他要考虑 5 个因素: 费用、景色、居住条件、饮食以及旅游条件。因为该学生没有固定收入, 他对费用最为看重, 其次是
34、旅游点的景色, 至于旅游条件、饮食, 差不多就行。 这四个旅游点没有一个具有明显的优势 , 而是各有优劣. 该同学拿不定主意, 请用层次分析法帮助他找出最佳旅游点。1、利用层次分析法构造层次分析模型：准则层目标层方案层 衡山3张家界2景色丽江费用 居住条件 旅游条件饮食景点选择择212、列表主要影响因素对比费用 景色 居住条件 饮食 旅游条件费用 1 2 9 4 5景色 1/2 1 4 3 2居住条件 1/9 1/4 1 1/3 1/2饮食 1/4 1/3 3 1 1旅游条件 1/5 1/2 2 1 13.构造成对比较判断矩阵(1) 建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵由于 ，因此该矩阵不一致
35、，此时其12/1534/95421A 1321a最其特征值 ，对应权值量为5049.max1axmax(0.483,.7,.2,0.7)15.049.370.12.TnCIRI因此认为其一致性可以接受。（2）准则层关于方案层的成对比较判断矩阵1 2 34 52313514/ /2/3161/3/2BBB计算可求得最大特征值与对应的权向量分别为：22(1)max122(3)ax34m4(5)ax5.09(0.596,.70,.134) 782,.,. ().00.6,.30,.1TT由于 ，因此他们的一致性可以接受。()ax3.18(,245)kCI kn则可得方案 受准则因素 影响的权重矩阵iyjx10.2.17.02.1634.034689765.,xjyi设三个方案 在决策 中的权重向量为,yf 1235,1 1522,11 1533,11,0.96.48,0.,.40,.60.568.7.,.,.,.3.290.64.20,.7,.20,Tfyffyffxjjjfyyxjjjfyyxjjjww 则 1.0.48其中 表示向量 的第 元素。jw11j综上所述，方案 即选择丽江为令人满意的决策。y
